Основні операції над множинами

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

До виконання поточних робіт

для студентів базового напрямку 6.0305 – “Філологія”

системи дистанційного навчання

 

Затверджено

на засіданні кафедри

прикладної математики

Протокол № 6 від 29.12.2006

 

 

Львів - 2007

Дискретна математика: Методичні вказівки до виконання поточних робіт для студентів базового напрямку 6.0305 – “Філологія” системи дистанційного навчання / Укл.: О.С.Манзій, І.Є.Тесак. – Львів: Ви-давництво Національного університету “Львівська політехніка”, 2007. - 39 с.

 

 

Укладачі Манзій О.С., канд. фіз.-мат. наук, доц.,

Тесак І.Є., ст.викл.

 

Відповідальний за випуск Костробій П.П., к.ф.-м.н, професор

 

 

Рецензенти Гнатів Б.В., канд. фіз.-мат. наук, доц.,

Токарчук М.В., докт. фіз.-мат. наук, проф.

 

Елементи теорії множин

 

Під множиною розуміють сукупність елементів, наділених спільними властивостями.

Є два способи задання множин:

а) перелічуванням її елементів;

б) заданням спільної властивості елементів множини.

Перший спосіб застосовний до скінчених множин. Другий – більш універсальний і застосовується для задання як скінчених, так і безконечних множин. Множину прийнято позначати великими літерами (латинськими, грецькими, готичними), наприклад: множина , множина R або , множина . Множину, що не містить жодного елемента, будемо називати порожньою множиною (позначатимемо ), тобто порожня множина містить нуль елементів.

Запис – означає, що елемент належить множині ;

– означає, що елемент не належить множині .

 

Приклади задання множин:

а) перечисленням (переліком):

{1, 3, 12} - множина з трьох елементів.

б) заданням властивості:

– сукупність всіх елементів , для яких висловлювання є істинним.

Якщо кожний елемент множини є разом з тим елементом множини , то множина називається підмножиною множини . Цей факт позначається наступним чином: ; якщо ж множина є підмножиною множини , цей факт позначають: .

Поряд із символами включення та необхідно розрізняти символи і , які означають, що включено в , і тут не виключений варіант рівності множин. Згідно з цим означенням будь-яка множина є підмножиною самої себе, тобто .

Порожня множина завжди є підмножиною будь-якої множини.

Множину, яка є об’єднанням усіх множин, називають універсальною та позначають літерами або .

Множини та операції над ними можна графічно відобразити за допомогою діаграм Ейлера-Венна.

 

Основні операції над множинами

Множина елементів, кожний з яких входить хоч би в одну з множин сімейства , називається об'єднанням (сумою) множин.

.

Розглянемо множини та , тоді .

 

Cукупність елементів множини , які не входять в множину В називається різницею множин і .

.

Якщо розглянути множини, задані в поданому вище прикладі, тоді результатом теоретико-множинної операції різниця буде така множина:

Множина елементів, кожен з яких входить одночасно у множини та називається перетином (добутком) цих множин

.

Перетином двох множин, розглянутих попередньо, буде наступна множина: .

Симетричною різницею множин і називається множина, яка містить елементи обидвох множин, що не співпадають

.

Симетричною різницею розглянутих вище множин і є така множина .

Доповненням множини називається множина, що не містить елементів множини .

Множина є доповненням множини до універсальної множини , то .

 

Якщо за універсальну множину прийняти множину натуральних чисел, то для розглянутої вище множини , отримаємо