В-36. Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона в оценке качества уравнений, построенных по временным рядам

При моделировании врем рядов нередко встречается ситуация, когда остатки созд тенденцию или цикл колеб. Это свид-ет о том, что каждое след знач остатков зав от предшест-их. В этом случае гов о нал автокорреляции остатков.

Автокорр остатков мб вызвана неск причинами, им разл природу: 1) связана с исх данными и вызвана нал ошибок изм в знач рез-ого признака. 2) проблема в формул модели. Модель м-т не включать фактор, оказ сущ возд на рез-т, влияние кот отраж в остатках, вследствие чего последние м-т оказ автокорреллированными. Очень часто этим фактором явл ф-ор времени t. в кач таких существ ф-ов м-т выступать лаговые знач перем, включ в модель. Либо модель не учит несколько второстеп фа-ов, совместное влияние кот на результат существенно ввиду совпадения тенденций их изм или фаз цикл колебаний.

От ист автокорреляции остатков следует отл ситуации, когда причина автокорр закл в неправ спецификации функц-ой формы модели. Сущ 2 наиб распростр метода опр автокорр остатков. 1) построение графика зав-ти остатков от вр и визуальное опр-е нал/отсут автокорр. 2) исп критерия Дарбина – Уотсона и расчет величины d. Знач критерия Дарбина-Уотсона указ наряду с коэф детерминации, значениями t и F критериев.

Соотн м/у критерием Дарбина-Уотсона и коэф автокорр остатков первого порядка: d=сумм(от t=2 до n)(et-et-1)² / сумм(от t=1 до n)et²

d≈2*(1-r_ε1).

Т.о., если в остатках сущ полная полож автокорр и r_ε1=1, то d=0. Если в остатках полная отр автокорр, то r_ε1=-1 и d=4. Если автокорр остатков отсутствует, то rε1=0 и d=2. След, 0≤d≤4.

Алгоритм выявл автокорр остатков на основе критерия Дарбина-Уотсона след:1)выдвигается гипотеза Но об отсутствии автокорр остатков. Альтернативные гипотезы Н1 и Н* состоят, соответственно, в наличии полож или отр автокорр в остатках. 2)по специальным таблицам опред критические знач критерия Дарбина-Уотсона dL и dU для заданного числа наблюдений n, числа незав переменных модели k и уровня значимости α. По этим значениям числовой промежуток [0;4] разбивают на 5 отрезков. Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в зону неопр-ти, то на практике предполагают суще автокорр остатков и отклоняет гипотез.

В-38. Модели с лаговыми переменными (основные понятия, определения и направления использования)

Рассм модель с распреде лагом в ее общем виде в предположении, что макс вел лага конечна: yt=a+b0*x1+b1*xt-1+…+bp*xt-p+ εt.

Эта модель говорит о том, что если в некоторый момент времени t происходит изменение независимой переменной x1 то это изменение будет влиять на значения переменной y в течение l следующих моментов времени.Коэффициент регрессии b0 (краткосрочный мультипликатор) при переменной xt характеризует среднее абсолютное изменение yt при изменении xt на 1ед. своего измерения в некоторый фиксированный момент времени t, без учета воздействия лаговых значений фактора x. Еще две важные характеристики модели множественной регрессии: величина среднего лага и медианного лага. Средний лаг определяется по формуле средней арифметической взвешенной: l = Σj*βj и представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент времени t. Небольшая величина среднего лага свидетельствует об относительно быстром реагировании результата на изменение фактора, тогда как высокое его значение говорит о том, что воздействие фактора на результат будет сказываться в течение длительного периода времени. Медианный лаг – это величина лага, для которого Σβj≈0,5.

Это тот период времени, в течение которого с момента времени t будет реализована половина общего воздействия фактора на результат.

Применение обычного МНК к таким моделям в большинстве случаев затруднительно по следующим причинам: 1)текущие и лаговые значения независимой переменной, как правило, тесно связаны друг с другом. Тем самым оценка параметров модели проводится в условиях высокой мультиколлинеарности факторов. 2) при большой величине лага снижается число наблюдений, по которому строится модель. И увеличивается число е факторных признаков. Это ведет к потере числа степеней свободы в модели. 3) в моделях с распределенным лагом часто возникает проблема автокорреляции остатков. Вышеуказанные обстоятельства приводят к значительной неопределенности относительно оценок параметров модели, снижению их точности и получению неэффективности оценок.

В-39. Аддитивная модель сезонности
Простейшим подходом к модел явл расчет знач-ий сезонной компоненты (S) методом скользящей средней и постр аддитивной или мультипликативной модели времен ряда. Общий вид аддитивной: Y=T+S+E (T-тренд компонента, S-сезон колебания, E-случайн колебания). Аддитивную модель строят, если амплитуда колебаний примерно постоянна. В ней значения S предполагаются постоян для разн циклов.
Постр аддитвной модели сводится к расчету T, S и E компоненты для кажд ур-ня ряда. Процесс построения включ в себя след шаги:

Шаг1. Выравнивание исх ряда методом скользящей средней. Для этого:1-проссумируем ур-ни ряда последовательно за каждые 4кв со сдвигом на 1 момент времени; 2-разделив получен суммы на 4, найдем скользящие средние. Полученные т.о. выравнен знач не содержат сезон компоненты. 3-приведем эти знач в соответствие с фактич моментами времени. Для этого найдём средн знач из 2х последовательных.
Шаг2. Расчет S. Найдём оценки S как разность м\у фактич уровнями ряда и центрированными скользящими средними. Используя эти оценки, рассчитаем значения S. Для этого нарисуем нов.табл. Найдем средние за кажд кв. Для этого просуммируем знач для кажд кв. В моделях сезон компоненты предполагается, что сезон воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивн модели это выражается в том, что ∑Si=0.
Рассчитаем корректирующий k-т: k=∑среднSi/4. Si = среднSi — k.
Шаг3. Устранение сезон компоненты из исх ур-ней ряда и получение выравненных ур-ней (T+E). Исключим влияние S, вычитая ее знач-ие из кажд ур-ня исх времен ряда: Yt-S=T+E
Шаг4. Аналитич выравнивание уровней (T+E) и расчет знач трендовых компонент с использованием получен ур-ия тренда. Определим тренд.компоненту дан модели. Для этого проведем аналит выравнивание ряда T+E=Yt-Si и строим уравнение по моментам времени T=a+bt
Шаг5. Расчет получен по модели знач (T+E). Найдем знач-ия ур-ней ряда, получен по аддитивной модели. Для этого прибавим к уравнению Т значение сезонной компоненты T+S. Затем оценим случ значения (Е) E= yt – (T+S) Для оценки к-ва построенной модели найдем квадрат полученных абсолютных ошибок R²=1-(сумм(E²)/сумм(yt-средн y)²) => аддитивная модель объясняет?% общей вариации уровней времен ряда.

Шаг6. прогнозирование.Расчет относит или абсолютн ошибок. Если получен знач ошибок не содержат автокоррел или м/заменит исх ур-ни ряда и в далнейш использ времен ряд ошибок для анализа взаимосвязи исх ряда и др.времен рядов.

В-40. Мультипликативная модель сезонности
Простейшим подходом к модел явл расчет знач-ий сезонной компоненты (S) методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели времен ряда. Общий вид мультипликативной: Y=T*S*E (T-тренд компонента, S-сезон колебания, E-случайн колебания). Мультипл модель строят, если амплитуда колебаний увеличивается или уменьшается. Она ставит ур-ни ряда в зав-сть от S.
Постр мультипл модели сводится к расчету T, S и E компоненты для кажд ур-ня ряда. Процесс построения включ в себя след шаги:

Шаг1. Выравнивание исх ряда методом скользящей средней. Для этого:1-проссумируем ур-ни ряда последовательно за каждые 4кв со сдвигом на 1 момент времени; 2-разделив получен суммы на 4, найдем скользящие средние. Полученные т.о. выравнен знач не содержат сезон компоненты. 3-приведем эти знач в соответствие с фактич моментами времени. Для этого найдём средн знач из 2х последовательных.
Шаг2. Расчет S. Найдём оценку S как частное от деления фактич уровней ряда на центрирован скользящ среднии В мультипликативной модели работает правило: сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в циклеОпределим k-т коррекции: k=4/∑среднSi. Si=среднSi*k
Шаг3. Разделим каждый уровень исходящего ряда на соответсвенное значение сезонной компоненты. В результате получим: T×E=YS

Шаг4. Аналитич выравнивание уровней (T*E) и расчет знач трендовых компонент с использованием получен ур-ия тренда. Определим T. Для этого рассчитаем параметры лин тренда, используя ур-ни: T×E=YS подставляя в получен ур-ие знач t, найдем тренд.компоненту для кажд момента времени.
Шаг5. Расчет получен по модели знач (T*E). Найдем ур-ни ряда, умножив значен Ti и Si Расчет ошибки в мультипликат модели: E=Y/(T*S) Для оценки к-ва построенной модели найдем k-т детерминации:

R²=1-(сумм(E²)/сумм(yt-средн y)²
Шаг6. Прогнозирование по мультипликативной модели. Расчет относит или абсолютн ошибок. Если получен знач ошибок не содержат автокоррел или м/заменит исх ур-ни ряда и в далнейш использ времен ряд ошибок для анализа взаимосвязи исх ряда и др.времен рядов.