Обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК). Свойства ОМНК-оценок

Состоятельные, несмещенные и эффективные оценки коэффициентов регрессионной модели с гетероскедаскичными или коррелированными случайными ошибками определяется с помощью ОМНК.

Нормальная линейная регрессионная модель строится на основании следующих предпосылок о случайных ошибках:

Дисперсия случайной ошибки уравнения регрессии является величиной, постоянной для всех наблюдений:

Случайные ошибки уравнения регрессии не коррелированны между собой, то есть ковариация случайных ошибок любых двух разных наблюдений равна 0: , где

В случае гетероскедастичности остатков нарушается первое из перечисленных свойств , где , а в случае автокорреляции остатков нарушается второе свойство . Регрессионная модель, для которой не выполняются указанные свойства, называется обобщенной линейной регрессионной моделью.

В матричном виде обобщенную линейную регрессию можно записать так: , где Х – неслучайная матрица факторных переменных; - случайная ошибка регрессионной модели с нулевым матожиданием и дисперсией , , - ковариационная матрица случайных ошибок обобщенного регрессионного уравнения.

Для нормальной регрессионной модели дисперсия случайной ошибки определялась из условия постоянства дисперсий случайных ошибок.

В обобщенной регрессионной модели ковариационная матрица случайных ошибок строится исходя из условия непостоянства дисперсий регрессионных остатков :

Далее ответ из шпор по эконометрике:

Формально ОЛММР отличается от КЛММР отказом от требования некоррелированности гомоскедастичности регрессионных остатков.

Пусть - некоторая симметричная, положительно определенная матрица [n×n]. Пусть ковариационная матрица регрессионных остатков выражается через соотношением .

ОЛММР описывается системой следующих соотношений и условий:

Сведение ОЛММР к КЛММР

Если квадратная матрица А явл. симметричной и положительно определенной, то существует такая невырожденная матрица С, что А=С*С^Т.

В качестве матрицы А возьмем

Уравнение (1) домножим слева на С^-1.

В КЛММР предполагалось, что матрица с точностью до неизвестной положительной константы равна I_n (что обеспечивало некоррелированность и гомоскедастичность остатков), в то время как в ОЛММР допускается, что ковариации остатков могут быть произвольными при сохранении невырожденности матрицы .

Конец того ответа, что был, представлен дальше:

В классе линейных несмещенных оценок неизвестных коэффициентов обобщенной регрессионной модели оценка будет иметь наименьшую ковариационную матрицу.

Формула для расчета матрицы ковариаций ОМНК – оценок обобщенной регрессии: .

– является неизвестным параметром модели, который нужно оценить:

.

Где n,p –размерность матрицы.

содержание