Перечислите основные свойства математического ожидания

Свойства математического ожидания

1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Это свойство справедливо для произвольного числа случайных величин.

4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Это свойство также справедливо для произвольного числа случайных величин.

Пусть производится п независимых испытаний, вероятность появления события А в которых равна р.

Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появления события А в п независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании.

Однако, математическое ожидание не может полностью характеризовать случайный процесс. Кроме математического ожидания надо ввести величину, которая характеризует отклонение значений случайной величины от математического ожидания.

Это отклонение равно разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием. При этом математическое ожидание отклонения равно нулю. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, другие отрицательны, и в результате их взаимного погашения получается ноль.

Перечислите основные свойства дисперсии.

Свойства дисперсии

1) Дисперсия постоянной величины равна нулю.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Справедливость этого равенства вытекает из свойства 2.

Теорема. Дисперсия числа появления события А в п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и не появления события в каждом испытании.

Дайте определение ковариации.

Ковариа́ция (корреляционный момент) в теории вероятностей и математической статистике мера линейной зависимости двух случайных величин.

Определение

Пусть X, Y — две случайные величины, определённые на одном и том же вероятностном пространстве. Тогда их ковариация определяется следующим образом:

,

в предположении, что все математические ожидания E в правой части определены.

Замечания

§ Если , то есть имеют конечный второй момент, то ковариация определена и конечна.

§ В гильбертовом пространстве несмещённых случайных величин с конечным вторым моментом ковариация имеет вид и играет роль скалярного произведения.

11. Коррелированность и некоррелированность - это свойство пары (случайных величин, наборов данных). Определяется по величине коэффициента корреляции (есть разные варианты).

 

12. Генеральная совокупность – все множество имеющихся объектов.

Выборка – набор объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности.

Объем генеральной совокупности N и объем выборки n – число объектов в рассматривае-мой совокупности.

Виды выборки:

Повторная – каждый отобранный объект перед выбором следующего возвращается в генеральную совокупность;

Бесповторная – отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

 

13. выборочным средним называется случайная величина

.

Пусть — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

где символ M обозначает математическое ожидание

Среднеквадратическое отклонение:

стандартное отклонение (несмещённая оценка среднеквадратического отклонения случайной величины x относительно её математического ожидания):

где — дисперсия; — i -й элемент выборки; — объём выборки; — среднее арифметическое выборки:

14. Оценка О называется несмещенной оценкой параметра О, если ее мат. ожидание равно оцениваемому параметру: М(О)= О. В противном случае оценка называется смещенной.

Оценка О* называется эффективной оценкой параметра О, если ее дисперсия Д(О*) меньше дисперсии любой другой альтернативной несмещенной оценки при фиксированном объёме выборки n, т.е. Д(О*)= Д_мин.

Оценка О*_n называется состоятельной оценкой параметра О, если О*_n сходится по вероятности к оцениваемому параметру О при n-∞. Другими словами, состоятельной называется такая оценка, которая дает истинное значение при достаточно большом объёме выборки вне зависимости от значений входящих в нее конкретных наблюдений.

 

15.

 

16. Точечной оценкой О* параметра О называется числовое значение этого параметра, полученное по выборке объёма n.

Точечная оценка может быть дополнена интервальной оценкой- интервалом (О₁;О₂), внутри которого с наперед заданной вероятностью у находится точное значение оцениваемого параметра О.

 

17. Гипотеза Н₀, подлежащая проверке, -нулевая гипотеза. Гипотеза Н₁, которая будет приниматься, если отклоняется Н₀- альтернативная.

 

18. Вероятность совершить ошибку 1-го рода принято обозначать буквой а и ее называют уровнем значимости.

Статистический критерий- СВ К, котторая служит для проверки нулевой гипотезы.

 

19. Важнейшей целью статистики является изучение объективно существующих связей между явлениями. В ходе статистического исследования этих связей необходимо выявить причинно-следственные зависимости между показателями, т.е. насколько изменение одних показателей зависит от изменения других показателей.

Существует две категории зависимостей (функциональная и корреляционная) и две группы признаков (признаки-факторы и результативные признаки). В отличие от функциональной связи, где существует полное соответствие между факторными и результативными признаками, в корреляционной связи отсутствует это полное соответствие.

Корреляционная связь - это связь, где воздействие отдельных факторов проявляется только как тенденция (в среднем) при массовом наблюдении фактических данных. Примерами корреляционной зависимости могут быть зависимости между размерами активов банка и суммой прибыли банка, ростом производительности труда и стажем работы сотрудников.

 

20. Суть регрессионного анализа сводится к установлению уравнения регрессии, т.е. вида кривой между случайными величинами (аргументами x и функцией y), оценке тесноты связей между ними, достоверности и адекватности результатов измерений.