Основы магнитостатики. Магнитное поле в вакууме

Данное выражение представляет собой закон полного тока для магнитного поля в вакууме, или теорему о циркуляции вектора В.

Все вышерассмотренное относится к вакууму. Можно доказать, что циркуляция вектора вдоль замкнутого контура, не охватывающего проводник с током, равна нулю.

Рассмотренная нами теорема имеет в магнитостатике такое же значение, как теорема Гаусса в электростатике. Она позволяет находить магнитную индукцию различных полей без применения закона Био-Савара-Лапласа.

1.7. Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса для магнитного поля. @

Аналогично определению электрического потока, или числа силовых линий Е, пересекающих поверхность S, определим магнитный поток, поток вектора магнитной индукции, или число силовых линий , пересекающих поверхность S. Потоком вектора магнитной индукции через элементарную площадку dS называется физическая величина dФ_m, равная произведению величины этой площадки и проекции вектора В на направление нормали к площадке dS (рис. 1.13):

Интегрируя это выражение по S, получим магнитный поток Ф_m сквозь произвольную замкнутую поверхность S: .

Для однородного поля и плоской поверхности, расположенной перпендикулярно В, поток рассчитывают по формуле Ф = ВS, из которой можно определить единицу магнитного потока, которая называется вебер (Вб). 1 Вб – это такой магнитный поток, который проходит через плоскую поверхность площадью 1 м², расположенную перпендикулярно магнитному полю, индукция которого равна 1Тл: 1Вб=1Тл∙1 м².

Мы уже знаем, что силовые линии магнитного поля замкнуты. Поэтому, интеграл ∫ Вds по любой замкнутой поверхности должен быть равен нулю, так как внутрь поверхности входит тот же поток, что и выходит из нее. Если имеется k токов, то создаваемый ими магнитный поток:

1. 8. Рамка с током в однородном магнитном поле. @

При исследовании магнитного поля часто используется замкнутый плоский контур с током (рамка с током), линейные размеры которого малы по сравнению с расстоянием до токов, образующих данное поле. Ориентация контура в пространстве определяется направлением нормали к контуру (рис.1.14). Нормаль строится по правилу правого винта: если головку винта вращать в направлении тока, то движение его острия совпадает с направлением n. На каждый элемент тока в рамке действует сила Ампера, и под действием этой силы магнитное поле поворачивает рамку таким образом, чтобы нормаль к ней располагалась вдоль линий магнитной индукции В. Кстати, так же располагается и стрелка компаса (рис.1.15). Рассчитаем силы, действующие на каждую из четырех сторон рамки. Для простоты будем считать, что стороны в и d перпендикулярны В (рис.1.16 а). Силы и , приложенные к проводникам а и с, численно равны и направлены вдоль вертикальной оси рамки в противоположные стороны, поэтому они полностью уравновешивают друг друга: F₂ =F₄=I a B.

Силы и , действующие на прямолинейные проводники в и d, направлены перпендикулярно плоскости рисунка в противоположные стороны (на рис.4.16 б показан вид рамки сверху) и по закону Ампера численно равны: Силы и создают вращающий момент , который поворачивает рамку. Модуль этого вектора М = 2F₁l, где l = а sinβ (β – угол между направлением магнитной индукции поля В и нормалью к рамке). Воспользовавшись вышеприведенным выражением для силы F₁, получим М = 2I a Вsinβ = ISBsinβ, где S = ab- площадь рамки.

Данную формулу можно преобразовать, введя понятие магнитного момента рамки с током (или контура с током).

Магнитным моментом плоского замкнутого кон тура с током I называется вектор , где S – площадь поверхности, ограниченной контуром (ее называют также поверхностью, натянутой на контур); – единичный вектор нормали к плоскости контура.

Векторы направлены перпендикулярно плоскости контура так, что из их концов ток в контуре виден идущим против часовой стрелки (рис.1.17). Для момента сил получаем , модуль момента сил будет равен М = рmBsinβ.

Действие магнитного поля на рамку с током широко применяется в электроизмерительных приборах. Работа любого прибора магнитоэлектрической системы (например, зеркального гальванометра) основана на взаимодействии магнитного поля постоянного магнита и рамки с током. Как известно, в данном случае возникает вращающий момент, который будет поворачивать рамку. Угол поворота рамки и связанные с ним показания шкалы прибора будут зависеть от силы тока в рамке. Такие гальванометры могут измерять постоянные токи порядка 10-11 А.

2. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ. @

2.1. Магнитные моменты атомов. @

Для полного описания атома необходимы знания квантовой механики, которую мы будем изучать позднее. Однако магнитные свойства вещества хорошо объясняются с помощью простой и наглядной планетарной модели атома, предложенной Э.Резерфордом. По Резерфорду атом состоит из положительно заряженного ядра, вокруг которого по своим орбитам движутся отрицательно заряженные электроны. В целом система электрически нейтральна, так как заряд ядра равен суммарному заряду всех электронов в атоме. Согласно представлениям классической физики, электроны в атоме движутся по замкнутым круговым орбитам с постоянной скоростью, образуя систему замкнутых орбитальных токов. Данные токи называются токами Ампера, поскольку Ампер впервые сделал предположение об их существовании. Каких магнитных эффектов можно ожидать в такой системе?

Орбитальному току так же, как и в случае витка и рамки с током, соответствует магнитный момент , называемый орбитальным магнитным моментом электрона. Он направлен из центра орбиты электрона перпендикулярно ее плоскости (как и магнитный момент витка с током), а его модуль рm= IS = Iπr², где r - радиус орбиты электрона; S – площадь орбиты. Если электрон движется по круговой орбите со скоростью υ (рис. 2.1), то сила орбитального тока I=q/t=e/Teν, где T – время одного оборота электрона по орбите, т.е. период; ν – частота вращения электрона по орбите, т.е. число оборотов электрона вокруг ядра за 1 с. Отсюда получаем , откуда и

Равномерно вращаясь по своей орбите, электрон обладает механическим моментом импульса Le, определяемым относительно центра его орбиты (рис. 2.1). Такой момент импульса называется орбитальным. По определению . Численное значение орбитального момента импульса: Le= mυr sin(υ,r) = mυr, так как угол между векторами равен 90°. Вектор Le противоположен по направлению рm, поскольку скорость электрона и ток имеют противоположное направление, однако эти векторы лежат на одной прямой. Поэтому можно записать

Что касается магнитного момента самого ядра, то в большинстве случаев им можно пренебречь, потому что, благодаря своей значительной массе, ядро движется гораздо медленнее электрона, и его магнитный момент в тысячи раз меньше, чем у электрона. Для атома, содержащего больше одного электрона, орбитальным магнитным моментом называется вектор, равный геометрической сумме орбитальных магнитных моментов всех электронов в атоме: . Полный магнитный момент атома складывается из геометрической суммы орбитальных и спиновых моментов всех электронов в атоме:

2.2. Атом в магнитном поле. @

Рассмотрим влияние внешнего магнитного поля на движение электронов в атомах вещества. При внесении атома любого вещества в магнитное поле каждый электрон продолжает двигаться по своей орбите, образуя орбитальный ток. Однако теперь на этот ток, как на рамку с током, действует вращательный момент. Это приводит к тому, что электронная орбита приобретает дополнительное вращение. Частота данного вращения зависит только от величины приложенного поля и отношения заряда электрона к его массе: Отсюда следует, что под влиянием внешнего магнитного поля связанные с электронной орбитой векторы вращаются с той же самой угловой частотой ω_L. При этом они описывают круговые конические поверхности с общей вершиной в центре орбиты электрона О вокруг оси, параллельной направлению индукции магнитного поля В (рис.2.3). Частота ω_L называется Ларморовой частотой, а возникающее под действием поля дополнительное движение орбиты электрона называется Ларморовой прецессией.

Все вышеизложенное составляет суть теоремы Лармора: единственным результатом влияния магнитного поля на орбиту электрона в атоме является прецессия орбиты и магнитного момента электрона с угловой скоростью ω_Lвокруг оси, проходящей через ядро атома и параллельной вектору В. Сэр Джозеф Лармор, английский физик и математик, доказал эту теорему в 1895 г., еще до того, как стало известно строение атома. Ларморова частота ω_L одинакова для всех электронов, входящих в атом.

Дополнительное движение электронной орбиты обуславливает дополнительное движение электрона, которому соответствует дополнительный круговой ток, направленный в другую сторону по сравнению с орбитальным током(рис. 2.4):

2.3. Намагниченность вещества. @

Ранее мы предполагали, что провода, несущие ток и создающие магнитное поле, находятся в вакууме. Если же провода находятся в какой-либо среде, то величина создаваемого ими магнитного поля изменится. Это объясняется тем, что всякое вещество, всякая среда способна под действием магнитного поля приобретать магнитный момент, т.е. намагничиваться. Поэтому каждое вещество является магнетиком. Благодаря орбитальным магнитным моментам электронов в атомах, вещество создает свое собственное магнитное поле , которое накладывается на внешнее поле . Согласно принципу суперпозиции полей оба поля в сумме дают результирующее поле:

Это усредненное (макроскопическое) поле, действующее в веществе.

Если внешнее поле отсутствует ( = 0), то молекулярные токи чаще всего ориентированы беспорядочным образом, ориентация магнитных моментов отдельных молекул хаотична, и поэтому создаваемое ими собственное поле также равно нулю. Под действием внешнего поля ( ≠ 0) магнитные моменты молекул приобретают преимущественную ориентацию в одном направлении, вследствие чего суммарный магнитный момент уже не равен нулю, и магнетик намагничивается, возникает поле . Количественной характеристикой намагниченного состояния вещества служит векторная величина - намагниченность J, равная отношению магнитного момента некоторого малого объема вещества к этому объему. Другими словами, намагниченность - это магнитный момент единицы объема вещества:

Расчет показал, что сумма микротоков, охватываемых замкнутым контуром, равна циркуляции вектора намагниченности вдоль этого контура:

Теперь выражение для вектора циркуляции магнитной индукции можно переписать в другом виде:

Разделим обе части равенства на μ₀ : . Отсюда, объединив интегралы, получим

Вектор обозначается буквой и называется напряженностью магнитного поля.

Итак, мы получили . Это уравнение является обобщенным законом полного тока для магнитного поля в веществе: циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль произвольного замкнутого контура равна сумме всех токов сквозь поверхность, ограниченную этим контуром. Напряженность магнитного поля является аналогом электрического смещения .

В несильных магнитных полях, согласно опытным данным, намагниченность вещества прямо пропорциональна напряженности поля, вызывающего это намагничивание:

, отсюда Величина (1+ χ) также безразмерна, обозначается буквой μ и называется относительной магнитной проницаемостью или просто магнитной проницаемостью вещества. Итак, т.е. модуль Н в μμ₀ раз меньше модуля В. Для вакуумамагнитная проницаемость μ=1, поэтому то есть напряженность магнитного поля характеризует магнитное поле в вакууме подобно величине B₀.

Горные породы земной поверхности по-разному намагничиваются в магнитном поле Земли. Это приводит к возникновению так называемых магнитных аномалий - областей, для которых наблюдаются отклонения векторов напряженности магнитного поля в данном месте земной поверхности от нормальных значений. Магнитные аномалии используются при поисках многих полезных ископаемых, прежде всего сильномагнитных, а также для составления геологических карт. При поиске и разведке месторождений полезных ископаемых применяется метод разведочной геофизики - магнитная разведка. Метод основан на различии магнитных свойств горных пород. На различии магнитной восприимчивости разных веществ (компонентов руды) основан способ обогащения полезных ископаемых, который называется методом магнитной сепарации. Это основной способ обогащения железных руд.

2.4. Виды магнетиков. @

Проведем опыт с сильным магнитным полем, создаваемым, например, соленоидом. Соленоид (цилиндр с намотанным на него проводом, по которой течет ток) может создать внутри себя магнитное поле в 100000 раз больше магнитного поля Земли. Будем помещать в такое магнитное поле различные вещества и наблюдать, как действует на них сила магнитного поля. Качественные результаты подобных опытов получаются довольно разнообразными.

· Первую группу составляют вещества, которые слабо отталкиваются полем нашего магнита. Это вода, медь, свинец, хлористый натрий, кварц, сера, алмаз, графит, жидкий азот и еще большой ряд веществ. Они называются диамагнетиками. Ими являются большинство неорганических и почти все органические соединения. Оказывается, диамагнетизм - универсальное свойство каждого атома, но иногда над диамагнетизмом преобладают другие, более сильные явления.

· Вторая группа – это вещества, втягивающиеся в соленоид. К ним относятся, например, натрий, алюминий, жидкий кислород. Жидкий кислород ведет себя в этом эксперименте весьма эффектно – он втягивается в катушку с силой, превышающей его вес приблизительно в 8 раз! Такие вещества называются парамагнетиками. Для некоторых веществ парамагнитный эффект проявляется слабее (алюминий, натрий) а для некоторых – сильнее (жидкий кислород). Эффект увеличивается с понижением температуры.

· Железо, кобальт, никель, железосодержащие сплавы втягиваются в область магнитного поля с очень большой силой. На кусочек железа массой 1 г со стороны поля действует сила ~ 40000 Н! Такие вещества называются ферромагнетиками. Рассмотрим каждую из трех групп более подробно.

2.5. Диамагнетизм. Диамагнетики. @

К диамагнетикам относятся такие вещества, у которых магнитный момент атома или молекулы в отсутствие внешнего магнитного поля равен нулю:

Для диамагнитных веществ существует линейная зависимость намагниченности от величины напряженности внешнего поля:

Итак, диамагнитные вещества намагничиваются во внешнем магнитном поле в направлении, противоположном направлению вектора магнитной индукции. Это свойство называется диамагнетизмом (диамагнитным эффектом). Характерно то, что диамагнетизм не зависит от температуры. Данное свойство присуще не только диамагнетикам, но и всем без исключения веществам, однако у пара- и ферромагнетиков диамагнетизм незаметен из-за наличия у них более сильных эффектов.

2.6. Парамагнетизм. Парамагнетики. @

К парамагнетикам относятся вещества, у которых магнитный моментатомов или молекул отличен от нуля в отсутствие внешнего магнитного поля:

Поэтому парамагнетики при внесении их во внешнее магнитное поле намагничиваются в направлении поля. В отсутствие внешнего магнитного поля парамагнетик не намагничен, так как из-за теплового движения все магнитные моменты атомов ориентированы беспорядочно, и поэтому намагниченность равна нулю (рис.2.7 а). При внесении парамагнетика во внешнее магнитное поле устанавливается преимущественная ориентация магнитных моментов атомов по полю (рис.2.7 б). Полной ориентации препятствует тепловое движение атомов, которое стремится разбросать моменты. В результате такой преимущественной ориентации парамагнетик намагничивается, создавая собственное магнитное поле, которое, накладываясь на внешнее, усиливает его. Этот эффект называется парамагнитным эффектом или парамагнетизмом.

У парамагнетиков также наблюдаются Ларморова прецессия и диамагнитный эффект, как и во всех веществах. Но диамагнитный эффект слабее парамагнитного и подавляется им, оставаясь незаметным. Для парамагнетиков χ тоже невелика, но положительна, порядка ~10^-7 –10^-4, а значит, μ немногим больше единицы.

Так же, как и для диамагнетиков, зависимость магнитной восприимчивости парамагнетиков от внешнего поля линейная (рис.5.8).

Преимущественная ориентация магнитных моментов по полю зависит от температуры. С ростом температуры усиливается тепловое движение атомов, следовательно, ориентация в одном направлении становится затруднена и намагниченность уменьшается. Французский физик П.Кюри установил следующую закономерность: где С – это постоянная Кюри, зависящая от рода вещества. Классическая теория парамагнетизма была развита в 1905 г. П. Ланжевеном.

2.7. Ферромагнетизм. Ферромагнетики. @

Вещества, образующие третью группу и называемые ферромагнетиками, представляют наибольший интерес для науки и техники. Явление ферромагнетизма известно человечеству уже более трех тысячелетий, а первые упоминания о ферромагнитных материалах встречаются в древних китайских рукописях, относящихся к 1110 г. до нашей эры. Там говорится о том, что при дворе китайского императора мастера умели строить магнитные дорожные колесницы. На колеснице находилась деревянная фигурка, вытянутая рука которой всегда указывала на юг, не давая путешественнику сбиться с пути. По сути дела, колесница представляла собой магнитный компас оригинальной конструкции. Известно, что в Древней Греции и Древнем Риме опыты с магнитом показывались фокусниками на базарах и празднествах. Огромное впечатление производил на зрителей такой опыт: медную чашу наполняли железными опилками, затем внизу водили куском магнита – опилки приходили в движение, вздымались и двигались. Этот опыт превосходно описан великим римским ученым Лукрецием Каром в его поэме «О природе вещей»: