МАГНЕТИЗМ
Электронный учебник по физике
КГТУ-КХТИ. Кафедра физики. Старостина И.А., Кондратьева О.И., Бурдова Е.В.
Для перемещения по тексту электронного учебника можно использовать:
1- нажатие клавиш PgDn, PgUp,, ¯ для перемещения по страницам и строкам;
2- нажатие левой клавиши «мыши» по выделенному тексту для перехода в требуемый раздел;
3- нажатие левой клавиши «мыши» по выделенному значку @ для перехода в оглавление.
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. ОСНОВЫ МАГНИТОСТАТИКИ. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
1.1. Магнитное поле и его характеристики.
1.2. Закон Ампера.
1.3. Закон Био – Савара – Лапласа и его применение к расчету магнитного поля.
1.4. Взаимодействие двух параллельных проводников с током
1.5. Действие магнитного поля на движущуюся заряженную частицу
1.6. Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В)
2. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ
2.1. Магнитные моменты атомов
2.2. Атом в магнитном поле
2.3. Намагниченность вещества
2.4. Виды магнетиков
2.5. Диамагнетизм. Диамагнетики
2.6. Парамагнетизм. Парамагнетики
2.7. Ферромагнетизм. Ферромагнетики
2.8. Доменная структура ферромагнетиков
2.9. Антиферромагнетики и ферриты
3. ЯВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ
3.1. Основной закон электромагнитной индукции.
3.2. Явление самоиндукции
3.3 Явление взаимной индукции
3.4. Энергия магнитного поля
4. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
4.1. Теория Максвелла для электромагнитного поля
4.2. Первое уравнение Максвелла
4.3. Ток смещения.
4.4. Второе уравнение Максвелла
4.5. Система уравнений Максвелла в интегральной форме
4.6. Электромагнитное поле. Электромагнитные волны
МАГНЕТИЗМ
Магнетизм - раздел физики, изучающий взаимодействие между электрическими токами, между токами и магнитами (телами с магнитным моментом) и между магнитами.
Долгое время магнетизм считался совершенно независимой от электричества наукой. Однако ряд важнейших открытий 19-20 веков А.Ампера, М.Фарадея и др. доказали связь электрических и магнитных явлений, что позволило считать учение о магнетизме составной частью учения об электричестве.
ОСНОВЫ МАГНИТОСТАТИКИ. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
1.1. Магнитное поле и его характеристики.@
Впервые магнитные явления были последовательно рассмотрены английским врачом и физиком Уильямом Гильбертом в его работе - «О магните, магнитных телах и о большом магните – Земле». Тогда казалось, что электричество и магнетизм не имеютничего общего. Лишь в начале XIX века датский ученый Г.Х.Эрстед выдвинул идею о том, что магнетизм может оказаться одной из скрытых форм электричества, что и подтвердил в 1820 г. на опыте. Этот опыт повлек за собой лавину новых открытий, имевших огромное значение.
Многочисленные опыты начала XIX века показали, что каждый проводник с током и постоянный магнит способны оказывать силовое воздействие через пространство на другие проводники с током или магниты. Это происходит из-за того, что вокруг проводников с током и магнитов возникает поле, которое было названо магнитным.
Для исследования магнитного поля применяют небольшую магнитную стрелку, подвешенную на нити или уравновешенную на острие (Рис.1.1). В каждой точке магнитного поля стрелка, расположенная произвольно, будет 
поворачиваться в определенном направлении. Это происходит из-за того, что в каждой точке магнитного поля на стрелку действует вращающий момент, который стремится расположить ее ось вдоль магнитного поля. Осью стрелки называется отрезок, соединяющий ее концы.
Рассмотрим ряд опытов, которые позволили установить основные свойства магнитного поля:
1. Если заряженный шарик из диэлектрика подвесить на нити вблизи магнитной стрелки, стрелка и шарик остаются неподвижными. Следовательно, постоянные магниты не действуют на неподвижные заряды и неподвижные заряды не создают магнитного поля.
2. Если магнитную стрелку поместить под прямолинейным проводником с током, то она будет поворачиваться, стремясь расположиться перпендикулярно проводнику (опыт Эрстеда). Смена направления 
тока на противоположное вызовет переориентацию стрелки на 180˚С.
3. Пучок движущихся электронов оказывает действие на магнитную стрелку аналогичное проводнику с током (опыт Иоффе).
4. Конвекционные токи, образуемые движущимися заряженными телами, по своему действию на магнитную стрелку подобны токам проводимости (опыт Эйхенвальда).
На основании данных опытов был сделан вывод о том, что магнитное поле создается только движущимися зарядами или движущимися заряженными телами, а также постоянными магнитами. Этим магнитное поле отличается от электрического поля, которое создается как движущимися, так и неподвижными зарядами и действует как на одни, так и на другие.
Основной характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции 
. За направление магнитной индукции в данной точке поля принимают направление, по которому в данной точке располагается ось магнитной стрелки от S к N (рис.1.1). Графически магнитные поля изображаются силовыми линиями магнитной индукции, то есть кривыми, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора В.
Эти силовые линии можно увидеть с помощью железных опилок: например, если рассыпать опилки вокруг длинного прямолинейного проводника и пропустить через него ток, то опилки поведут себя подобно маленьким магнитикам, располагаясь вдоль силовых линий магнитного поля (рис. 1.2).
Как определить направление вектора около проводника с током? Это можно сделать с помощью правила правой руки, которое иллюстрируется рис. 1.2. Большой палец правой руки ориентируют в направлении тока, тогда остальные пальцы в согнутом положении указывают направление силовых линий магнитного поля. В случае, изображенном на рис.1.2, линии представляют собой концентрические окружности. Линии вектора магнитной индукции всегда замкнуты и охватывают проводник с током. Этим они отличаются от линий напряженности электрического поля, которые начинаются на положительных и кончаются на отрицательных зарядах, т.е разомкнуты. Линии магнитной индукции постоянного магнита выходят из одного полюса, называемого северным (N) и входят в другой - южный (S) (рис. 1.3а). Вначале кажется, что здесь наблюдается полная аналогия с линиями напряженности электрического поля Е, причем полюса магнитов играют роль магнитных зарядов. Однако если разрезать магнит, картина сохраняется, получаются более мелкие магниты со своими северными и южными полюсами, т.е. полюса разделить невозможно, потому что свободных магнитных зарядов, в отличие от электрических зарядов, в природе не существует. Было установлено, что внутри магнитов имеется магнитное поле и линии магнитной индукции этого поля являются продолжением линий магнитной индукции вне магнита, т.е. замыкают их. Подобно постоянному магниту магнитное поле соленоида – катушки из тонкой изолированной проволоки с длиной намного больше диаметра, по которой течет ток (рис.1.3б). Конец соленоида, из которого ток в витке виден идущим против часовой стрелки, совпадает с северным полюсом магнита, другой – с южным. Магнитная индукция в системе СИ измеряется в Н/(А∙м), этой величине присвоено специальное наименование – тесла [Tл].
Согласно предположению французского физика А.Ампера, намагниченное железо (в частности, стрелки компаса) содержит непрерывно движущиеся заряды, т.е. электрические токи в атомном масштабе. Такие микроскопические токи, обусловленные движением электронов в атомах и молекулах, существуют в любом теле. Эти микротоки создают свое магнитное поле и могут сами поворачиваться во внешних полях, создаваемых проводниками с током. Например, если вблизи какого-либо тела поместить проводник с током, то под действием его магнитного поля микротоки во всех атомах определенным образом ориентируются, создавая в теле дополнительное магнитное поле. О природе и характере этих микротоков Ампер в то время ничего не мог сказать, так как учение о строении вещества находилось еще в самой начальной стадии. Гипотеза Ампера была блестяще подтверждена лишь спустя 100 лет, после открытия электрона и выяснения строения атомов и молекул.
Магнитные поля, существующие в природе, разнообразны по масштабам и по вызываемым эффектам. Магнитное поле Земли, образующее земную магнитосферу, простирается на расстоянии 70 – 80 тысяч км в направлении к Солнцу и на многие миллионы километров в обратном направлении. В околоземном пространстве магнитное поле образует магнитную ловушку для заряженных частиц высоких энергий. Происхождение магнитного поля Земли связывают с движениями проводящего жидкого вещества в земном ядре. Из других планет Солнечной системы лишь Юпитер и Сатурн обладают заметными магнитными полями. Магнитное поле Солнца играет важнейшую роль во всех происходящих на Солнце процессах – вспышках, появлении пятен и протуберанцев, рождении солнечных космических лучей.
Магнитное поле широко применяется в различных отраслях промышленности, в частности при очистке муки на хлебозаводах от металлических примесей. Специальные просеиватели муки снабжены магнитами, которые притягивают к себе мелкие кусочки железа и его соединений, которые могут содержаться в муке.
1.2. Закон Ампера.@
В 1820 г. А.Ампер установил, что сила, с которой магнитное поле действует на элементарный проводник с током I и длиной 
:
.
Вектор 
совпадает по направлению с током. Данная формула выражает закон Ампера: сила, действующая на элемент проводника с током в магнитном поле, равна произведению силы тока на векторное произведение элемента длины проводника и магнитной индукции поля.
Если поместить проводник с током между полюсов постоянного магнита, то сила Ампера будет действовать на него в направлении, показанном на рис. 1.4. Направление 
может быть найдено по правилу левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы вектор был направлен в ладонь, а четыре вытянутых пальца указывали направление тока в проводнике, то отставленный под прямым углом большой палец укажет направление силы, действующей на элемент проводника с током (рис.4.5).
Модуль силы Ампера вычисляется по формуле
, где α –угол между векторами и . Чтобы найти силу, действующую на проводник конечной длины в магнитном поле, необходимо определить геометрическую сумму сил, действующих на все малые элементы данного проводника, т.е.
Пусть элемент проводника с током перпендикулярен направлению магнитного поля. Тогда sinα=1 и dF=IВ . Отсюда получаем
 |
Последнее выражение помогает определить физический смысл величины В: магнитная индукция численно равна силе, действующей со стороны магнитного поля на 1 м проводника, по которому течет ток в 1 А и который расположен перпендикулярно направлению магнитного поля. Таким образом, магнитная индукция является силовой характеристикой магнитного поля.
Из закона Ампера следует, что магнитные силы нецентральные, так как они направлены перпендикулярно силовым линиям магнитного поля. Напомним, что электростатические силы – центральные.
1.3. Закон Био – Савара – Лапласа и его применение к расчету магнитного поля. @
Французские физики Ф. Савар и Ж.Б. Био изучали магнитное поле, создаваемое проводниками с постоянным током различной формы. На основании многочисленных опытов они пришли к выводу, что магнитная индукция поля проводника с током пропорциональна силе тока I, зависит от формы и размеров проводника, а также от расположения рассматриваемой точки по отношению к проводнику. Био и Савар пытались получить самый общий закон – для проводника любой формы и любой точки поля. Однако сделать это им не удалось. По их просьбе этой проблемой занялся французский математик П.С.Лаплас. Он высказал важную гипотезу о том, что при наложении магнитных полей справедлив принцип суперпозиции, т.е. принцип независимости действия полей. Если имеется несколько проводников с током, каждый из которых создает в исследуемой точке магнитное поле с индукциями 
…, то результирующая магнитная индукция будет равна векторной сумме всех 
: 
. Если перейти к малым отрезкам провода с током, то суммирование надо заменить интегрированием и тогда индукция , создаваемая всем проводником с током I, будет равна: 
где 
– индукция, создаваемая элементом длины проводника dℓ, интегрирование проводится по всей длине проводника. Лаплас обобщил экспериментальные результаты Био и Савара в виде дифференциального закона, называемого законом Био – Савара – Лапласа, по которому магнитная индукция 
, создаваемая в некоторой точке А элементом проводника dℓ с током I, определяется формулой
Выберем произвольную точку А вблизи проводника. Вектор направлен в точке А перпендикулярно плоскости, построенной на векторах 
и 
по правилу правого винта (буравчика), и совпадает с направлением касательной к линии индукции в точке А (пунктирный круг) (рис.1.7). Коэффициент пропорциональности k зависит от выбора системы единиц. В СИ это размерная величина, равная μ0/4π, где μ0 - магнитная постоянная, равная 4π∙10-7Гн/м. Все выше изложенное относится к вакууму.
Таким образом, магнитную индукцию поля, создаваемую в вакууме током I, текущим по проводу конечной длины ℓ и любой формы, можно найти по формуле
 |
Магнитное поле в центре кругового проводника с током. Рассмотрим круговой проводник с током, изображенный на рис.1.8. Все элементы данного проводника dℓ создают в его центре (точке А) магнитные поля одинакового направления – вдоль нормали к площади витка. Поэтому, как и в предыдущем случае, сложение векторов можно заменить сложением их модулей. Элементы dℓ перпендикулярны R и sinα=1. Используя закон Био-Савара-Лапласа, получим:
 |
Магнитное поле прямолинейного проводника с током. Представим себе ток, текущий по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 1.9). Возьмем произвольную точку А на расстоянии R от проводника. Согласно правилу правого винта (буравчика), векторы 
от каждого элемента тока dℓi имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа (на нас). Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей. При суммировании всех будет меняться угол α между r и dℓ, поэтому выберем α в качестве переменной интегрирования. Выразим через α все остальные величины, полагая, что отрезок АD ≈ r из-за малости dℓ.
Итак, из треугольника АСЕ выразим r через известное нам расстояние R и переменную α: 
По закону Био-Савара-Лапласа получим:
 |
В данном выражении α1 и α2 - значения угла α для крайних точек проводника. Если прямолинейный проводник бесконечно длинный, то α1 = 0, α2 = π. Магнитная индукция в любой точке поля такого проводника с током:
 |
Напомним, что линии магнитной индукции поля прямого тока представляют собой систему охватывающих провод концентрических окружностей.
Магнитное поле соленоида. Если витки соленоида расположены вплотную друг к другу, то соленоид можно рассматривать как систему последовательно соединенных круговых токов одинакового радиуса с общей осью. Обозначим через L длину соленоида, а через n - число витков, приходящихся на единицу длины соленоида. Магнитная индукция поля соленоида В равна геометрической сумме магнитных индукций Вi полей всех его витков. Если L>>R (радиуса витков), тогда В в точке А, лежащей на оси вдали от концов такого соленоида, вычисляется по формуле (без вывода): В = μ0nI.
1.4. Взаимодействие двух параллельных проводников с током. @
Законы Био – Савара – Лапласа и Ампера применяются для определения силы взаимодействия двух параллельных проводников с током. Рассмотрим два бесконечных прямолинейных проводника с токами I1 и I2, расстояние между которыми равно а. На рис. 1.10 проводники расположены перпендикулярно чертежу. Токи в них направлены одинаково (из-за чертежа на нас) и обозначены точками. 
Каждый из проводников создает магнитное поле, которое действует на другой проводник. Ток I1 создает вокруг себя магнитное поле, линии магнитной индукции которого представляют собой концентрические окружности. Направление 
определяется правилом правого винта, а его модуль по закону Био – Савара – Лапласа. Согласно проведенным выше расчетам модуль равен с 
Тогда, согласно закону Ампера, dF1=I2B1dl или 
и аналогично 
.
 |
Направление силы
, с которой поле действует на участок dℓ второго проводника с током I2 (рис.1.10), определяется по правилу левой руки (см. разд. 1.2). Как видно из рис.1.10 и расчетов, силы 
одинаковы по модулю и противоположны по направлению. В нашем случае они направлены навстречу друг другу и проводники притягиваются. Если токи текут в противоположных направлениях, то возникающие между ними силы отталкивают проводники друг от друга. Итак, параллельные токи (одного направления) притягиваются, а антипараллельные (противоположных направлений) - отталкиваются. Для определения силы F, действующей на проводник конечной длины ℓ, необходимо проинтегрировать полученное равенство по ℓ от 0 до ℓ: 
При магнитном взаимодействии выполняется закон действия и противодействия, т.е. третий закон Ньютона:
.
1.5. Действие магнитного поля на движущуюся заряженную частицу. @
Как уже было отмечено, важнейшая особенность магнитного поля состоит в том, что оно действует только на движущиеся электрические заряды. В результате опытов было установлено, что любая заряженная частица, движущаяся в магнитном поле, испытывает действие силы F, которая пропорциональна величине магнитного поля в этой точке. Направление этой силы всегда перпендикулярно скорости движения частицы и зависит от угла между направлениями 
. Эта сила называется силой Лоренца. Модуль данной силы равен 
где q – величина заряда; v – скорость его движения; 
– вектор магнитной индукции поля; α – угол между векторами 
и . В векторной форме выражение для силы Лоренца имеет вид 
.
Для случая когда скорость заряда перпендикулярна вектору магнитной индукции, направление данной силы определяется с помощью правила левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы вектор входил в ладонь, а пальцы направить вдоль (для q>0), то отогнутый под прямым углом большой палец укажет направление силы Лоренца для q>0 (рис.1.11, а). Для q < 0 сила Лоренца имеет противоположное направление (рис.1.11,б).
Поскольку данная сила всегда перпендикулярна скорости движения частицы, она изменяет только направление скорости, а не ее модуль, и поэтому сила Лоренца работы не совершает. То есть магнитное поле не совершает работы над движущейся в нем заряженной частицей и ее кинетическая энергия при таком движении не изменяется.
Вызываемое силой Лоренца отклонение частицы зависит от знака q. На этом основано определение знака заряда частиц, движущихся в магнитных полях. Магнитное поле не действует на заряженную частицу (
) в двух случаях: если частица неподвижна (
) или если частица движется вдоль силовой линии магнитного поля. В этом случае векторы 
параллельны и sinα=0. Если вектор скорости перпендикулярен , то сила Лоренца создает центростремительное ускорение и частица будет двигаться по окружности. Если скорость направлена под углом к , то заряженная частица движется по спирали, ось которой параллельна магнитному полю.
На данном явлении основана работа всех ускорителей заряженных частиц – устройств, в которых под действием электрических и магнитных полей создаются и ускоряются пучки высокоэнергетических частиц.
Действие магнитного поля Земли вблизи земной поверхности изменяет траекторию движения частиц, испускаемых Солнцем и звездами. Этим объясняется так называемый широтный эффект, заключающийся в том, что интенсивность космических лучей, доходящих до Земли, вблизи экватора меньше, чем в более высоких широтах. Действием магнитного поля Земли объясняется тот факт, что полярное сияние наблюдается только в самых высоких широтах, на Крайнем Севере. Именно в том направлении магнитное поле Земли отклоняет заряженные космические частицы, которые вызывают свечение атмосферы, называемое полярным сиянием.
Кроме магнитной силы, на заряд может действовать также уже знакомая нам электрическая сила 
, и результирующая электромагнитная сила, действующая на заряд, имеет вид
 |
Эта формула называется формулой Лоренца. Действию такой силы подвергаются, например, электроны в электронно-лучевых трубках телевизоров, радиолокаторов, электронных осциллографов, электронных микроскопах.
1.6. Закон полного тока для магнитного поля в вакууме(теорема о циркуляции вектора В). @
В разделе “Электростатика” было доказано, что циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль замкнутого контура равна нулю, откуда следует потенциальный характер электростатического поля. Одним из основных отличий магнитного поля от электростатического поля является его непотенциальность. Для доказательства этого рассмотрим линейный интеграл от В по замкнутому пути в магнитном поле, создаваемом током, т.е.
 |
где
– вектор элемента длины контура, направленный вдоль обхода контура; В ℓ – проекция вектора на направление касательной к контуру. Данный интеграл называется циркуляцией вектора по заданному замкнутому контуру ℓ.
Рассмотрим частный случай: круговой путь ℓ является силовой линией радиуса R магнитного поля прямолинейного бесконечного проводника с током (рис.1.9). Магнитная индукция для этого случая была подсчитана ранее, и во всех точках окружности вектор составляет:
 |
Угол между векторами
и равен нулю, поэтому cos(, )=1. Из полученного результата следует, что циркуляция вектора магнитной индукции вдоль силовой линии прямолинейного проводника с током не равна нулю, т.е. поле такого проводника непотенциально. Оно называется вихревым. Полученная формула справедлива для любой формы замкнутого контура, охватывающего проводник с током.
Пусть теперь наш контур ℓ произвольной формы охватывает n проводников с токами I1, …In. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. При этом положительным считается ток, если он с направлением обхода контура образует правовинтовую систему. Ток противоположного направления считается отрицательным.
Разберем пример, изображенный на рис.1.12. Найдем сумму токов, т.е. полный ток, охватываемый контуром ℓ:
 |
Ток I3 не учитывается, т.к. он не охватывается контуром. В результате имеем
 |
Таким образом, циркуляция вектора В по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:
 |
Данное выражение представляет собой закон полного тока для магнитного поля в вакууме, или теорему о циркуляции вектора В.
Все вышерассмотренное относится к вакууму. Можно доказать, что циркуляция вектора вдоль замкнутого контура, не охватывающего проводник с током, равна нулю.
Рассмотренная нами теорема имеет в магнитостатике такое же значение, как теорема Гаусса в электростатике. Она позволяет находить магнитную индукцию различных полей без применения закона Био-Савара-Лапласа.
1.7. Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса для магнитного поля. @
Аналогично определению электрического потока, или числа силовых линий Е, пересекающих поверхность S, определим магнитный поток, поток вектора магнитной индукции, или число силовых линий , пересекающих поверхность S. Потоком вектора магнитной индукции через элементарную площадку dS называется физическая величина dФm, равная произведению величины этой площадки и проекции вектора В на направление нормали к площадке dS (рис. 1.13):
 |
Интегрируя это выражение по S, получим магнитный поток Фm сквозь произвольную замкнутую поверхность S: 
.
Для однородного поля и плоской поверхности, расположенной перпендикулярно В, поток рассчитывают по формуле Ф = ВS, из которой можно определить единицу магнитного потока, которая называется вебер (Вб). 1 Вб – это такой магнитный поток, который проходит через плоскую поверхность площадью 1 м2, расположенную перпендикулярно магнитному полю, индукция которого равна 1Тл: 1Вб=1Тл∙1 м2.
Мы уже знаем, что силовые линии магнитного поля замкнуты. Поэтому, интеграл ∫ Вds по любой замкнутой поверхности должен быть равен нулю, так как внутрь поверхности входит тот же поток, что и выходит из нее. Если имеется k токов, то создаваемый ими магнитный поток: 
 |
Здесь Вn - проекция В на нормаль к ds. Поскольку каждый интеграл по отдельности равен нулю, то и
 |
вышеизложенное составляет суть теоремы Гаусса для потока магнитного поля Фm. Поток магнитного поля через любую замкнутую поверхность равен нулю. Эта теорема отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вследствие чего линии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми.
1. 8. Рамка с током в однородном магнитном поле. @
При исследовании магнитного поля часто используется замкнутый плоский контур с током (рамка с током), линейные размеры которого малы по сравнению с расстоянием до токов, образующих данное поле. Ориентация контура в пространстве определяется направлением нормали к контуру (рис.1.14). Нормаль строится по правилу правого винта: если головку винта вращать в направлении тока, то движение его острия совпадает с направлением n. На каждый элемент тока в рамке действует сила Ампера, и под действием этой силы магнитное поле поворачивает рамку таким образом, чтобы нормаль к ней располагалась вдоль линий магнитной индукции В. Кстати, так же располагается и стрелка компаса (рис.1.15). Рассчитаем силы, действующие на каждую из четырех сторон рамки. Для простоты будем считать, что стороны в и d перпендикулярны В (рис.1.16 а). Силы 
и 
, приложенные к проводникам а и с, численно равны и направлены вдоль вертикальной оси рамки в противоположные стороны, поэтому они полностью уравновешивают друг друга: F2 =F4=I a B.
Силы 
и 
, действующие на прямолинейные проводники в и d, направлены перпендикулярно плоскости рисунка в противоположные стороны (на рис.4.16 б показан вид рамки сверху) и по закону Ампера численно равны: 
Силы и создают вращающий момент 
, который поворачивает рамку. Модуль этого вектора М = 2F1l, где l = а sinβ (β – угол между направлением магнитной индукции поля В и нормалью к рамке). Воспользовавшись вышеприведенным выражением для силы F1, получим М = 2I a 
Вsinβ = ISBsinβ, где S = ab- площадь рамки.
Данную формулу можно преобразовать, введя понятие магнитного момента рамки с током (или контура с током).
Магнитным моментом плоского замкнутого кон тура с током I называется вектор 
, где S – площадь поверхности, ограниченной контуром (ее называют также поверхностью, натянутой на контур); 
– единичный вектор нормали к плоскости контура.
 |
Векторы 
направлены перпендикулярно плоскости контура так, что из их концов ток в контуре виден идущим против часовой стрелки (рис.1.17). Для момента сил получаем 
, модуль момента сил будет равен М = рmBsinβ.
Действие магнитного поля на рамку с током широко применяется в электроизмерительных приборах. Работа любого прибора магнитоэлектрической системы (например, зеркального гальванометра) основана на взаимодействии магнитного поля постоянного магнита и рамки с током. Как известно, в данном случае возникает вращающий момент, который будет поворачивать рамку. Угол поворота рамки и связанные с ним показания шкалы прибора будут зависеть от силы тока в рамке. Такие гальванометры могут измерять постоянные токи порядка 10-11 А.
2. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ. @
2.1. Магнитные моменты атомов. @
Для полного описания атома необходимы знания квантовой механики, которую мы будем изучать позднее. Однако магнитные свойства вещества хорошо объясняются с помощью простой и наглядной планетарной модели атома, предложенной Э.Резерфордом. По Резерфорду атом состоит из положительно заряженного ядра, вокруг которого по своим орбитам движутся отрицательно заряженные электроны. В целом система электрически нейтральна, так как заряд ядра равен суммарному заряду всех электронов в атоме. Согласно представлениям классической физики, электроны в атоме движутся по замкнутым круговым орбитам с постоянной скоростью, образуя систему замкнутых орбитальных токов. Данные токи называются токами Ампера, поскольку Ампер впервые сделал предположение об их существовании. Каких магнитных эффектов можно ожидать в такой системе?
Орбитальному току так же, как и в случае витка и рамки с током, соответствует магнитный момент 
, называемый орбитальным магнитным моментом электрона. Он направлен из центра орбиты электрона перпендикулярно ее плоскости (как и магнитный момент витка с током), а его модуль рm= IS = Iπr2, где r - радиус орбиты электрона; S – площадь орбиты. Если электрон движется по круговой орбите со скоростью υ (рис. 2.1), то сила орбитального тока I=q/t=e/Teν, где T – время одного оборота электрона по орбите, т.е. период; ν – частота вращения электрона по орбите, т.е. число оборотов электрона вокруг ядра за 1 с. Отсюда получаем 
, откуда 
и 
Равномерно вращаясь по своей орбите, электрон обладает механическим моментом импульса Le, определяемым относительно центра его орбиты (рис. 2.1). Такой момент импульса называется орбитальным. По определению 
. Численное значение орбитального момента импульса: Le= mυr 
sin(υ,r) = mυr, так как угол между векторами равен 90°. Вектор Le противоположен по направлению рm, поскольку скорость электрона и ток имеют противоположное направление, однако эти векторы лежат на одной прямой. Поэтому можно записать
 |
Минус в формуле появляется из-за того, что векторы
противоположны. Величина γ называется гиромагнитным или магнитомеханическим отношением орбитальных моментов электрона. Это отношение одинаково для любых по форме и размеру орбит и любых скоростей движения электрона. Однако опыты Эйнштейна и де Гааза, проведенные с железными стержнями, привели к неожиданным результатам. Определенное ими экспериментально гиромагнитное отношение оказалось в два раза больше теоретического! Этот результат имел огромное значение для всего дальнейшего развития физики. Для его объяснения было предположено (а затем и доказано), что электрон кроме обладает собственным моментом импульса, который не имеет ничего общего с его движением по орбите. Этот собственный момент импульса был назван спином электрона (от англ. spin - вращаться). Спин электрона является его квантовым свойством, он неизменен, и с ним связаны многие важные закономерности, например распределение электронов в атоме по оболочкам. Спину соответствует собственный магнитный момент электрона, также имеющий неизменную величину. Векторы магнитного и спинового моментов антипараллельны, как показано на рис.2.2., а отношение их оказывается в два раза больше, чем в случае движения электрона по орбите, т.е. γs= -e/m.
Что касается магнитного момента самого ядра, то в большинстве случаев им можно пренебречь, потому что, благодаря своей значительной массе, ядро движется гораздо медленнее электрона, и его магнитный момент в тысячи раз меньше, чем у электрона. Для атома, содержащего больше одного электрона, орбитальным магнитным моментом называется вектор, равный геометрической сумме орбитальных магнитных моментов всех электронов в атоме: 
. Полный магнитный момент атома складывается из геометрической суммы орбитальных и спиновых моментов всех электронов в атоме: 
2.2. Атом в магнитном поле. @
Рассмотрим влияние внешнего магнитного поля на движение электронов в атомах вещества. При внесении атома любого вещества в магнитное поле каждый электрон продолжает двигаться по своей орбите, образуя орбитальный ток. Однако теперь на этот ток, как на рамку с током, действует вращательный момент. Это приводит к тому, что электронная орбита приобретает дополнительное вращение. Частота данного вращения зависит только от величины приложенного поля и отношения заряда электрона к его массе: 
Отсюда следует, что под влиянием внешнего магнитного поля связанные с электронной орбитой векторы 
вращаются с той же самой угловой частотой ωL. При этом они описывают круговые конические поверхности с общей вершиной в центре орбиты электрона О вокруг оси, параллельной направлению индукции магнитного поля В (рис.2.3). Частота ωL называется Ларморовой частотой, а возникающее под действием поля дополнительное движение орбиты электрона называется Ларморовой прецессией.
Все вышеизложенное составляет суть теоремы Лармора: единственным результатом влияния магнитного поля на орбиту электрона в атоме является прецессия орбиты и магнитного момента электрона с угловой скоростью ωLвокруг оси, проходящей через ядро атома и параллельной вектору В. Сэр Джозеф Лармор, английский физик и математик, доказал эту теорему в 1895 г., еще до того, как стало известно строение атома. Ларморова частота ωL одинакова для всех электронов, входящих в атом.
Дополнительное движение электронной орбиты обуславливает дополнительное движение электрона, которому соответствует дополнительный круговой ток, направленный в другую сторону по сравнению с орбитальным током(рис. 2.4):
 |
Этот ток создает свой магнитный момент 
. Дополнительный магнитный момент направлен в сторону, противоположную магнитному полю. Он называется индуцированным, или наведенным магнитным моментом. Среднее значение дополнительного магнитного момента:
 |
Знак «минус» указывает на то, что векторы
и противоположны. Так как электронные микротоки существуют в каждом веществе, то Ларморова прецессия возникает у всех без исключения веществ.
2.3. Намагниченность вещества. @
Ранее мы предполагали, что провода, несущие ток и создающие магнитное поле, находятся в вакууме. Если же провода находятся в какой-либо среде, то величина создаваемого ими магнитного поля изменится. Это объясняется тем, что всякое вещество, всякая среда способна под действием магнитного поля приобретать магнитный момент, т.е. намагничиваться. Поэтому каждое вещество является магнетиком. Благодаря орбитальным магнитным моментам электронов в атомах, вещество создает свое собственное магнитное поле 
, которое накладывается на внешнее поле 
. Согласно принципу суперпозиции полей оба поля в сумме дают результирующее поле:
Это усредненное (макроскопическое) поле, действующее в веществе.
Если внешнее поле отсутствует ( = 0), то молекулярные токи чаще всего ориентированы беспорядочным образом, ориентация магнитных моментов отдельных молекул хаотична, и поэтому создаваемое ими собственное поле также равно нулю. Под действием внешнего поля ( ≠ 0) магнитные моменты молекул приобретают преимущественную ориентацию в одном направлении, вследствие чего суммарный магнитный момент 
уже не равен нулю, и магнетик намагничивается, возникает поле . Количественной характеристикой намагниченного состояния вещества служит векторная величина - намагниченность J, равная отношению магнитного момента некоторого малого объема вещества к этому объему. Другими словами, намагниченность - это магнитный момент единицы объема вещества:
 |
Полученный нами ранее закон полного тока для магнитного поля в вакууме легко обобщить на случай магнитного поля в веществе. В вакууме поля создаются обычными токами проводимости - макротоками, а в веществе – макротоками и микротоками (токами Ампера). Следовательно, для поля в веществе мы можем записать
 |
где Iмакро и Iмикро – это алгебраические суммы соответствующих токов, охватываемых замкнутым контуром L. В алгебраическую сумму молекулярных токов входят токи, “нанизанные” на контур, как бусы на нитку (рис.2.5). По рисунку это токи 1 и 2. Прочие токи либо не пересекают поверхность совсем (ток 4), либо пересекают ее дважды – сначала в одном направлении, затем в противоположном (ток 3). Результирующий вклад таких токов равен нулю.
Расчет показал, что сумма микротоков, охватываемых замкнутым контуром, равна циркуляции вектора намагниченности вдоль этого контура:
 |
Теперь выражение для вектора циркуляции магнитной индукции можно переписать в другом виде:
Разделим обе части равенства на μ0 : 
. Отсюда, объединив интегралы, получим 
Вектор 
обозначается буквой 
и называется напряженностью магнитного поля.
Итак, мы получили 
. Это уравнение является обобщенным законом полного тока для магнитного поля в веществе: циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль произвольного замкнутого контура равна сумме всех токов сквозь поверхность, ограниченную этим контуром. Напряженность магнитного поля является аналогом электрического смещения 
.
В несильных магнитных полях, согласно опытным данным, намагниченность вещества прямо пропорциональна напряженности поля, вызывающего это намагничивание:
 |
где χ – безразмерная, характерная для данного магнетика величина, называемая магнитной восприимчивостью. Она может принимать для различных веществ как положительные, так и отрицательные значения. Распишем подробнее выражение для напряженности магнитного поля
, отсюда 
Величина (1+ χ) также безразмерна, обозначается буквой μ и называется относительной магнитной проницаемостью или просто магнитной проницаемостью вещества. Итак, 
т.е. модуль Н в μμ0 раз меньше модуля В. Для вакуумамагнитная проницаемость μ=1, поэтому 
то есть напряженность магнитного поля характеризует магнитное поле в вакууме подобно величине B0.
Горные породы земной поверхности по-разному намагничиваются в магнитном поле Земли. Это приводит к возникновению так называемых магнитных аномалий - областей, для которых наблюдаются отклонения векторов напряженности магнитного поля в данном месте земной поверхности от нормальных значений. Магнитные аномалии используются при поисках многих полезных ископаемых, прежде всего сильномагнитных, а также для составления геологических карт. При поиске и разведке месторождений полезных ископаемых применяется метод разведочной геофизики - магнитная разведка. Метод основан на различии магнитных свойств горных пород. На различии магнитной восприимчивости разных веществ (компонентов руды) основан способ обогащения полезных ископаемых, который называется методом магнитной сепарации. Это основной способ обогащения железных руд.
2.4. Виды магнетиков. @
Проведем опыт с сильным магнитным полем, создаваемым, например, соленоидом. Соленоид (цилиндр с намотанным на него проводом, по которой течет ток) может создать внутри себя магнитное поле в 100000 раз больше магнитного поля Земли. Будем помещать в такое магнитное поле различные вещества и наблюдать, как действует на них сила магнитного поля. Качественные результаты подобных опытов получаются довольно разнообразными.
· Первую группу составляют вещества, которые слабо отталкиваются полем нашего магнита. Это вода, медь, свинец, хлористый натрий, кварц, сера, алмаз, графит, жидкий азот и еще большой ряд веществ. Они называются диамагнетиками. Ими являются большинство неорганических и почти все органические соединения. Оказывается, диамагнетизм - универсальное свойство каждого атома, но иногда над диамагнетизмом преобладают другие, более сильные явления.
· Вторая группа – это вещества, втягивающиеся в соленоид. К ним относятся, например, натрий, алюминий, жидкий кислород. Жидкий кислород ведет себя в этом эксперименте весьма эффектно – он втягивается в катушку с силой, превышающей его вес приблизительно в 8 раз! Такие вещества называются парамагнетиками. Для некоторых веществ парамагнитный эффект проявляется слабее (алюминий, натрий) а для некоторых – сильнее (жидкий кислород). Эффект увеличивается с понижением температуры.
· Железо, кобальт, никель, железосодержащие сплавы втягиваются в область магнитного поля с очень большой силой. На кусочек железа массой 1 г со стороны поля действует сила ~ 40000 Н! Такие вещества называются ферромагнетиками. Рассмотрим каждую из трех групп более подробно.
2.5. Диамагнетизм. Диамагнетики. @
К диамагнетикам относятся такие вещества, у которых магнитный момент атома или молекулы в отсутствие внешнего магнитного поля равен нулю:
 |
Магнитные моменты электронов в таких атомах в отсутствие внешнего магнитного поля взаимно скомпенсированы. Это характерно для атомов и молекул с полностью заполненными электронными оболочками, например для атомов инертных газов, молекул водорода, азота. При внесении такого вещества в магнитное поле его атомы и молекулы, согласно теореме Лармора, приобретают наведенные магнитные моменты
, направленные для всех атомов и молекул одинаково против поля. Таким образом, вещество приобретает незначительную намагниченность, направленную против поля, вследствие чего диамагнетик выталкивается из неоднородного магнитного поля в направлении уменьшения напряженности поля. Для диамагнетиков χ отрицательна и очень мала, порядка ~10-6. Магнитная восприимчивость μ=(1+χ) соответственно больше нуля и меньше единицы.
Для диамагнитных веществ существует линейная зависимость намагниченности от величины напряженности внешнего поля:
 |
Данная зависимость изображена на рис.2.6.
Итак, диамагнитные вещества намагничиваются во внешнем магнитном поле в направлении, противоположном направлению вектора магнитной индукции. Это свойство называется диамагнетизмом (диамагнитным эффектом). Характерно то, что диамагнетизм не зависит от температуры. Данное свойство присуще не только диамагнетикам, но и всем без исключения веществам, однако у пара- и ферромагнетиков диамагнетизм незаметен из-за наличия у них более сильных эффектов.
2.6. Парамагнетизм. Парамагнетики. @
К парамагнетикам относятся вещества, у которых магнитный моментатомов или молекул отличен от нуля в отсутствие внешнего магнитного поля:
Поэтому парамагнетики при внесении их во внешнее магнитное поле намагничиваются в направлении поля. В отсутствие внешнего магнитного поля парамагнетик не намагничен, так как из-за теплового движения все магнитные моменты атомов ориентированы беспорядочно, и поэтому намагниченность равна нулю (рис.2.7 а). При внесении парамагнетика во внешнее магнитное поле устанавливается преимущественная ориентация магнитных моментов атомов по полю (рис.2.7 б). Полной ориентации препятствует тепловое движение атомов, которое стремится разбросать моменты. В результате такой преимущественной ориентации парамагнетик намагничивается, создавая собственное магнитное поле, которое, накладываясь на внешнее, усиливает его. Этот эффект называется парамагнитным эффектом или парамагнетизмом.
У парамагнетиков также наблюдаются Ларморова прецессия и диамагнитный эффект, как и во всех веществах. Но диамагнитный эффект слабее парамагнитного и подавляется им, оставаясь незаметным. Для парамагнетиков χ тоже невелика, но положительна, порядка ~10-7 –10-4, а значит, μ немногим больше единицы.
Так же, как и для диамагнетиков, зависимость магнитной восприимчивости парамагнетиков от внешнего поля линейная (рис.5.8).
Преимущественная ориентация магнитных моментов по полю зависит от температуры. С ростом температуры усиливается тепловое движение атомов, следовательно, ориентация в одном направлении становится затруднена и намагниченность уменьшается. Французский физик П.Кюри установил следующую закономерность: 
где С – это постоянная Кюри, зависящая от рода вещества. Классическая теория парамагнетизма была развита в 1905 г. П. Ланжевеном.
2.7. Ферромагнетизм. Ферромагнетики. @
Вещества, образующие третью группу и называемые ферромагнетиками, представляют наибольший интерес для науки и техники. Явление ферромагнетизма известно человечеству уже более трех тысячелетий, а первые упоминания о ферромагнитных материалах встречаются в древних китайских рукописях, относящихся к 1110 г. до нашей эры. Там говорится о том, что при дворе китайского императора мастера умели строить магнитные дорожные колесницы. На колеснице находилась деревянная фигурка, вытянутая рука которой всегда указывала на юг, не давая путешественнику сбиться с пути. По сути дела, колесница представляла собой магнитный компас оригинальной конструкции. Известно, что в Древней Греции и Древнем Риме опыты с магнитом показывались фокусниками на базарах и празднествах. Огромное впечатление производил на зрителей такой опыт: медную чашу наполняли железными опилками, затем внизу водили куском магнита – опилки приходили в движение, вздымались и двигались. Этот опыт превосходно описан великим римским ученым Лукрецием Каром в его поэме «О природе вещей»:
