УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
«РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО СТАТИСТИКЕ»
для студентов дневной и заочной формы обучения
специальности: 080110 «Экономика и бухгалтерский учет»
080501 «Менеджмент»
080402 «Товароведение»
080302 «Коммерция»
Составитель: преподаватель Э.Б.Степанова
Рассмотрено
на заседании кафедры «Экономики и управления»
Протокол № ___ «____»_________2010г.
Зав. кафедрой
_______________Н.П.Казакова
Санкт-Петербург
2010 г.
СОДЕРЖАНИЕ
1. ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………… 3
2. Методические указания по проведению практических
работ………………………………………………………………. 4
3. Статистическая группировка…………………………………….. 7
4. Средние величины………………………………………………… 9
5. Анализ рядов динамики………………………………………… 16
6. Методы анализа основной тенденции
в рядах динамики………………………………………………… 23
7. Индексы в статистике…………………………………………… 27
8. Сборник задач для практических занятий………………… 32 ЛИТЕРАТУРА………………………………………………………. 42
ВВЕДЕНИЕ
В соответствии с Государственными требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки выпускника и Рабочей программой по специальностям 080110, 080501, 080402, 080302 предусмотрено проведение практических занятий, которые проводятся методом решения задач.
Наиболее рациональным представляется проведение практических занятий по следующим темам:
- Сводка и группировка статистических данных
- Способы наглядного представления статистических данных
- Статистические показатели
- Абсолютные и относительные показатели
- Средние величины
- Ряды динамики в статистике
- Индексы в статистике
Проведение практических занятий по основным темам дисциплины позволяет студентам закрепить теоретические знания и подготовиться к дифференцированному зачету
В настоящей работе даны примеры и способы решения задач по основным наиболее значимым темам:
- Сводка и группировка статистических данных
- Средние величины
- Ряды динамики в статистике
- Индексы в статистике
По каждой из рассматриваемых тем приводятся методика решения типичных задач, применяемые формулы с расшифровкой всех обозначений,
делаются выводы по полученным результатам вычислений.
Данная работа может послужить студентам хорошим пособием при проведении практических занятий и самостоятельном решении задач по статистике.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ПРОВЕДЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ
В соответсвии с тематическим планом предусмотрено проведение практических занятий в количестве 18 часов по следующим разделам:
По разделу 3. «Сводка и группировка статистических данных» предусмотрено 2 практических занятия:
– практическое занятие № 1 по теме «Проведение сводки и группировки статистических данных»;
– практическое занятие № 2 по теме «Построение и анализ рядов распределения».
Занятия проводятся методом решения задач студентами у доски. Преподаватель проверяет правильность решений, вносит необходимые дополнения и поправки, выставляет оценки по результатам решений в журнал.
В теме 4.1 «Способы наглядного представления статистических данных»
предусмотренопрактическое занятие № 3 «Построение таблиц и графиков в статистике».
Занятие проводится методом самостоятельного решения задач студентами. По мере завершения практической работы студенты сдают ее преподавателю для проверки решений. Преподаватель проверяет правильность решений, вносит необходимые дополнения и поправки, выставляет оценки по результатам решений в журнал.
В теме 5.2 «Средние величины в статистике» предусмотрено практическое занятие № 4 «Определение среднего уровня изучаемого явления». Занятие проводится методом самостоятельного решения задач студентами. По мере завершения практической работы студенты сдают ее преподавателю для проверки решений. Преподаватель проверяет правильность решений, вносит необходимые дополнения и поправки, выставляет оценки по результатам решений в журнал.
В теме 5.3. «Показатели вариации в статистике» предусмотрено практическое занятие № 5«Расчет показателей вариации».
Занятие проводится методом самостоятельного решения задач студентами. По мере завершения практической работы студенты сдают ее преподавателю для проверки решений. Преподаватель проверяет правильность решений, вносит необходимые дополнения и поправки, выставляет оценки по результатам решений в журнал.
В теме 5.4. «Структурные характеристики вариационного ряда распределения» предусмотренопрактическое занятие № 6 «Анализ структуры вариационных рядов распределения».
Занятие проводится методом самостоятельного решения задач студентами. По мере завершения практической работы студенты сдают ее преподавателю для проверки решений. Преподаватель проверяет правильность решений, вносит необходимые дополнения и поправки, выставляет оценки по результатам решений в журнал.
В теме 6.1. «Виды и методы анализа рядов динамики » предусмотренопрактическое занятие № 7 «Анализ динамики изучаемых явлений.
Мотивацией учебной деятельности по данной теме является необходимость формирования у студентов умений выявлять основные тенденции изменения массовых общественных явлений и экстраполировать их на будущее.
.
Занятие проводится методом решения задач в форме работы гомогенных групп. Выбор формы работы обеспечивает формирование умений работать в совместном поиске.
Студенты делятся на гомогенные группы и решают по 3 задачи из сборника задач по статистике. В ходе решения студенты обсуждают, проверяют правильность расчетов и сообща формулируют вывод.
После выполнения заданий преподаватель предлагает одной из подгрупп сообщить результаты коллективной работы. Представитель подгруппы зачитывает вывод. Если есть возражения по результатам, то остальные подгруппы могут исправить и дополнить. После установления правильности результатов и заслушивания наиболее полного вывода преподаватель выставляет студентам каждой подгруппы оценку в журнал.
В теме 6.2. «Методы анализа основной тенденции (тренда) в рядах динамики» предусмотренопрактическое занятие № 8 «Анализ основной тенденции (тренд) в рядах динамики».
Мотивацией учебной деятельности по данной теме является необходимость формирования у студентов умений выявлять основные тенденции изменения массовых общественных явлений и экстраполировать их на будущее.
Занятие проводится методом решения задач в форме работы гомогенных групп. Выбор формы работы обеспечивает формирование умений работать в совместном поиске.
Студенты делятся на гомогенные группы и решают по 3 задачи из сборника задач по статистике. В ходе решения студенты обсуждают, проверяют правильность расчетов и сообща формулируют вывод.
После выполнения заданий преподаватель предлагает одной из подгрупп сообщить результаты коллективной работы. Представитель подгруппы зачитывает вывод. Если есть возражения по результатам, то остальные подгруппы могут исправить и дополнить. После установления правильности результатов и заслушивания наиболее полного вывода преподаватель выставляет студентам каждой подгруппы оценку в журнал.
В теме 7.1. «Индексы в статистике» предусмотрено практическое занятие № 9 «Расчет структурных сдвигов и факторный анализ на основе индексного метода».
Занятия проводятся методом решения задач студентами у доски. Преподаватель проверяет правильность решений, вносит необходимые дополнения и поправки, выставляет оценки по результатам решений в журнал.
Проведение практических занятий по основным темам дисциплины позволяет студентам закрепить теоретические знания и подготовиться к дифференцированному зачету.
Статистическая группировка
В таблице представлена информация о 20 предприятиях отрасли.
Таблица № 1
Экономическая информация о предприятиях
| Номер | Начисленные | Дебиторская | Курсовая | Собственные | Балансовая |
| предприятия | дивиденды, | задолженность на | Цена акции, | оборотные | прибыль, млн. |
| млн. руб. | конец года, млн. руб. | руб. | средства, млн. руб. | руб. | |
| 1. | 17,2 | 7,2 | |||
| 2. | 20,1 | 5,3 | |||
| 3. | 18,9 | 1,4 | |||
| 4. | 17,3 | 6,8 | |||
| 5. | 20,0 ' | 1,7 | |||
| 6. | 18,1 | 5,2 | |||
| 7. | 17,7 | 4,1 | |||
| 8. | 19,2 | 3,9 | |||
| 9. | 16,7 | 7,2 | |||
| 10. | 17,4 | 6,8 | |||
| 11. | 18,3 | 2,5 | |||
| 12. | 21,0 | 1,2 | |||
| 13. | 20,1 | 1,9 | |||
| 14. | 18,6 | 6,8 | |||
| 15. | 19,0 | 5,0 | |||
| 16. | 19,3 | 2,6 | |||
| 17. | 20,9 | 1,1 | |||
| 18. | 17,9 | 4,8 | |||
| 19. | 20,1 | 2,9 | |||
| 20. | 17,8 | 5,2 |
С помощью аналитической группировки:
1) Исследовать зависимость курсовой цены акций от балансовой прибыли
2) Исследовать зависимость курсовой цены акций от собственных оборотных средств
3) Исследовать зависимость курсовой цены акций от начисленных дивидендов
4) Исследовать зависимость курсовой цены акций от дебиторской задолженности
Пример решения задачи для варианта 1
Признак-фактор (х) - балансовая прибыль
Признак результат (у) - курсовая цена акций
Число групп определяем по формуле l+3.322*lgN=l+3.322lg20=5
Xmin=80 Xmax= 112 h=(112-80)/5=6,5
Таблица № 2
Результаты группировки
| № | Балансовая прибыль | Число | Расчет среднего значения у | Средняя курсовая |
| млн.руб | предприятии | цен акций, руб | ||
| 80-86.5 | У1 =(200+500)/2=350 | |||
| 86.5-93 | У2=(300+350+700+650+500+500)/6=500 | |||
| 93-99.5 | УЗ=(400+700+800+600)/4=625 | |||
| 99.5-106 | У4=(500+800+400+1200+1000)/5=780 | |||
| 106 и более | У5=(1100+400+1500)=1000 |
| Вывод: между балансовой прибылью и курсовой ценой акций существует прямая связь, так как при повышении балансовой прибыли растет среднее значение курсовой цены акций. |
СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ
Начнем с одной из наиболее важных тем в курсе статистики - средним величинам. Что же такое средние и почему эти показатели так важны для анализа статистической информации?
Давайте рассмотрим такой пример. Предположим, у банка "Кредит-Банк" (название и приведенные в примере цифры условные) есть несколько филиалов, работающих в разных районах города. В этих филиалах работает разное количество сотрудников, у них разное количество посетителей и т.д. Перед нами как исследователями стоит задача - сравнить эффективность работы филиалов и отдельных сотрудников, чтобы успешных менеджеров и операционнистов поощрить и распространить их опыт на другие подразделения, а с теми, кто не слишком хорошо работает, разобраться - в чем причина такой ситуации. Но как это сделать, ведь количество сотрудников и посетителей разное, операции они проводят тоже разные - в одном филиале большое количество посетителей оплачивает, например, коммунальные услуги, в другом больше обслуживается юридических лиц со своими задачами, в третьем - в основном, операции с вкладами граждан и т д. Чтобы решить эту задачу, мы собирали первичные данные о том, сколько посетителей в день обслуживал каждый операционист в каждом из филиалов в течение месяца, затем сложили зга данные и получили следующую таблицу.
Таблица № 3
Работа филиалов банка
| Филиал | "Центральный" | "Первомайский" | "Заводской" |
| Кол-во клиентов | |||
| Кол-во операционистов |
Какие выводы можно сделать из этой таблицы? Да практически никаких, пока мы только установили некоторый факт - количество клиентов, обслуженных в течение месяца. В "Первомайском больше всего клиентов, в заводском - меньше, и все.
Чтобы продолжить решение нашей задачи и приблизиться к конечной цели - принятию определенного решения, необходимо найти такой показатель, который будет общим для всех филиалов и операционистов, и по которому можно будет сравнить эти группы.
Например, показателем эффективности работы операционистов может быть количество клиентов, обслуживаемых ими в день (для простоты условимся, что качество работы всех операционистов примерно одинаково) -чем больше обслужено клиентов, тем лучше работает сотрудник. Но тогда возникает вопрос, как провести такое сравнение - ведь в один день клиентов могло быть много, а в другой - мало, несколько дней у одной из сотрудниц болел ребенок, и она никак не могла сосредоточиться на работе и делала все медленнее, чем обычно, а другой сотрудник неделю был на больничном. И таких случайных факторов в любой работе достаточно много.
Как же устранить их влияние и выделить основное, характерное именно для этого сотрудника, или, в общем случае, для изучаемого объекта? Вот здесь-то нам на помощь и приходят средние величины. И в нашем примере сравнить эффективность работы сотрудников банка можно, в частности, по такому показателю, как среднее количество клиентов, обслуживаемых в день.
Рассчитать этот показатель очень просто:
1. берем данные о том, сколько клиентов обслуживал конкретный
сотрудник каждый день (предположим, в течение месяца);
2. суммируем их, то есть, получаем общее количество клиентов,
обслуженных данным сотрудником в течение месяца;
3 делим на количество дней, в которые проводилось наблюдение (для
каждого сотрудника оно может быть разным).
Полученная цифра и будет средним количеством клиентов, обслуживаемых в день конкретным сотрудником.
В общем виде показатель, который мы рассчитываем, называется "простая средняя арифметическая ", а формула для расчетов выглядит так:
Страшновато смотрится? На самом деле ничего сложного в этой и других статистических формулах нет, просто надо привыкнуть к определенной системе обозначений, принятой в математике и статистике. Если Вы уже знакомы с такими обозначениями, можете двигаться дальше, если же нет - советуем внимательно прочитать комментарий.
Предположим, мы провели измерение количества обслуживаемых клиентов и получили такие данные для операционистов филиала "Заводской»:
Таблица № 4
Анализ работы сотрудников банка
| Фамилия сотрудника: Алексеева | Всего | ||||||
| Даты | 22 (дня, в которые проводилось наблюдение) | ||||||
| Количество обслуженных клиентов | 319 (всего обслужено клиентов за все дни наблюдения) |
Данные по другим сотрудникам отдельно приводить не будем, перейдем сразу к сводной таблице.
| Фамилия сотрудника | Общее количество клиентов, обслуженных данным сотрудником за время наблюдения | Количество дней, в течение которых проводилось наблюдение | Среднее количество клиентов, обслуживаемых вдень |
| Алексеева | 719:22 = 14,5 | ||
| Горобец | 328: 18=18,2 | ||
| Тимина | 217:25 = 8,7 | ||
| Итого: | 13,3 |
Итак, делим общее количество обслуженных клиентов (864) на общее количество дней, в течение которых проводилось наблюдение (65) и получаем среднее количество клиентов, обслуживаемых в день (округленно 13,3) в филиале "Заводской".
Что нам дает эта цифра? Она важна, в частности, как показатель для сравнения. Например, если в других филиалах этот же показатель значительно выше или ниже, то руководству филиала и банка необходимо задуматься над причинами этого - чем так отличается данный филиал, что в среднем обслуживает намного меньше или больше клиентов. Или можно сравнить средние по нескольким месяцам или кварталам - если этот показатель увеличивается, то, скорее всего, банк успешно развивается, растет профессионализм сотрудников и т.п. Если же среднее количество клиентов становится меньше, то это сигнал о каких-то значительных изменениях, на которые также надо реагировать.
Но вернемся к таблице. Итак, на первый взгляд, мы получили желаемый результат - обобщающий показатель, значение которого практически не зависит ни от количества дней, в течение которых проводилось наблюдение, ни от случайностей типа болезни, плохого настроения и т. п.
Из последнего столбца таблицы видно, что в среднем больше всего клиентов в день обслуживает Горобец, а у Тиминой это показатель в два с лишним раза меньше, следовательно.... Но не спешите с выводами! Помните, что правильные выводы можно делать только из достоверной и полной информации. Так вот, вывод о том, что Тимина работает значительно менее эффективно, чем другие сотрудники, можно сделать, только если они находятся в равных условиях - обслуживают один тип клиентов, проводят одни и те же операции и т.п. А если она занимается, например, обслуживанием юридических лиц или решением особо сложных вопросов, требующих значительных затрат времени?
Но конечной целью нашего анализа является сравнение всех трех филиалов. Одним из возможных показателей для сравнения может быть среднее количество клиентов, обслуживаемых одним операционистом в месяц, так как оно определяется и работой операционистов, и обшей организацией труда в филиале, и другими факторами. Считаем:
Таблица № 5
Результаты работы сотрудников банка
| Филиал | "Центральный" | "Первомайский" | "Заводской" |
| Количество клиентов | |||
| Количество операционистов | |||
| Среднее кол-во клиентов, обслуживаемое одним операционистом | 1620:7=231,4 | 1976:5=395,2 | 864:3=288 |
Из расчета видно, что наиболее интенсивно организован труд операционистов в филиале «Первомайский», так как каждый из них в среднем обслужил за месяц наибольшее число клиентов.
Давайте рассмотрим такой пример. Предположим, имеются сведения о стаже работы десяти работников организации (лет): 13; 11; 13; 16; 18; 11; 18; 11; 18; 16.
Средняя арифметическая взвешенная применяется в том случае, когда каждый вариант признака встречается в совокупности несколько раз, а совокупность сгруппирована по величине варианта.
Вернемся к нашему примеру, как видно, одно и то же значение варианта стажа работы встречается несколько раз, поэтому нужно сгруппировать совокупность по величине варианта
Таблица № 6
Группировка работников по стажу
| Группы работников по размеру стажа (лет) Х | Число работников в группе (чел) f |
Для расчета среднего стажа одного работника применяется формула средней арифметической взвешенной:
В статистической практике встречаются случаи, когда некоторые показатели не заданы непосредственно, а входят множителем в один из имеющихся показателей. Тогда для определения средней величины применяется средняя гармоническая, которая является преобразованной средней арифметической.
Пример. Имеются данные о цене и объеме товарооборота товара А на рынке в 1 квартале.
Таблица № 7
Товарооборот на рынке
| Месяц | Цена за 1 кг/руб. х | Объем товарооборота (руб.) xf |
| Январь | ||
| Февраль | ||
| Март |
Необходимо определить среднюю цену 1 кг. товара А
Формула средней гармонической
отсюда
средняя цена 1 кг. = 
Пример решения для варианта 1
Среднюю арифметическую считаем по формуле
Xi - середина интервала
mi - число значений в данном интервале
k - число интервалов
получаем X =((10*7+30*14+50*17+70*8+90*4)750=2420/50=48.4 (млн.руб.)
Моду считаем по формуле:
х0 - нижняя граница интервала, в котором расположена мода
т0 - число значений (частота) в этом интервале
m0.i число значений в предыдущем интервале
ш0+1 число значений в следующем интервале
h ширина интервала
Находим интервал, в котором самая большая частота - это интервал от 40 до 60, тогда хо=40, m0=17, m0.i=14, m0+i=8, h=20
Мо=40+(20*(17-14)/((17-14)+(17-8))=40+(20*3/12)=45 (млн.руб.)
Медиану считаем по формуле
х0 нижняя граница интервала, в котором расположена медиана Ш| число значений в интервале к число интервалов
Таблица № 8
Накопленная частота
ьШте число значений в интервале, в котором расположена медиана Sme накопленная частот перед медианным интервалом
Для определения медианного интервала считаем накопленные частоты и находим интервал, в котором накопленная частота впервые превышает половину единиц совокупности
| Интервал | Частота | Накопленная частота |
| До 20 | ||
| 20-40 | ||
| 40-60 | ||
| 60-80 | ||
| 80 и более |
| Тогда х„=40, h=20, sme=21, mme=17, получаем Ме=40+(20*(25-21)/17)=40+4.7=44.7 (млн.руб.) |
Размах считаем по формуле R=xmax-xmin
R=100-0=100 (предполагая, что крайние открытые интервалы имеют такую же ширину, как закрытые)
Дисперсию считаем по формуле:
Xi середина интервала
mi число значений в данном интервале
k число интервалов
средняя арифметическая
s2 =((10-48.4)2*7+(30-48.4)2*14+(50-48.4)2*17+(70-48.4)2*8+(90-48.4)2)*4/50=
(1474.56*7+338.56* 14+2.56* 17+466.56*8+1730.56*4)/50=(10322+4740+44+3732+6922)/50=25760/50=515
Коэффициент вариации считаем по формуле
АНАЛИЗ РЯДОВ ДИНАМИКИ
Рассмотрим смысл и возможности применения анализа рядов динамики на примере изучения динамики посетителей магазина "Заводской".
Таблица № 9
Посетители магазина «Заводской»
| Неделя (номер с момент п крытая магазина) | ||||||||
| Кол-во посетителей (чел.) | ||||||||
| Условные обозначения | У1 | У1 | У3 | У4 | У5 | У6 | У7 | У8 |
Абсолютный прирост (сокращение), его также называют абсолютным изменением - это разность между двумя уровнями ряда динамики, он показывает, на сколько данный уровень отличается от уровня, взятого в качестве базы для сравнения. Соответственно, формулы для базисного и цепного способа выглядят так:
Базисный способ: А = yi - у0
Цепной способ: А = yi – yi +1
Где, соответственно, А - абсолютное изменение, Yo - базисный уровень; Yi - сравниваемый уровень (или отчетный); Y;.i - уровень предшествующего периода. Если мы проведем расчеты по этим формулам для наших данных, получим следующую таблицу:
Таблица № 10
Расчет абсолютного прироста
| Неделя | ||||||||
| Кол-во посетителей (чел.) | ||||||||
| Базисный абсолютный прирост | 234-138=96 | 288-138=150 | 343-138=205 | |||||
| Цепной абсолютный прирост | 234-138=96 | 288-234=54 | 343-288=55 |
Если значение абсолютного изменения положительное (А>0), то это прирост, а если отрицательное (А<0) - сокращение. Цепные и базисные абсолютные приросты связаны между собой - сумма последовательных цепных абсолютных приростов равна базисному, то есть общему приросту за
весь изучаемый промежуток времени.
Для характеристики интенсивности, то есть относительного изменения уровня ряда за какой-либо период, вычисляют такие относительные показатели, как коэффициент и темп роста (снижения). Эти показатели ассчитываются как отношение отчетного уровня к базисному, при этом
| Базисный коэффициент роста (базисный уровень уо = у,-138) | 234:138 =1,70 | 288:138 = 2,09 | 2,49 | 2,81 | 3,23 | 3,56 | 3,86 | |
| Цепной коэффициент роста | 234:138 = 1,70 | 288:234 = 1,23 | 1,19 | 1,13 | 1,15 | 1,10 | 1,08 | |
| Базисный темп роста | ||||||||
| Цепной темп роста |
коэффициент роста рассчитывается в долях единицы и означает, во сколько раз сравниваемый уровень больше или меньше того, с которым проводится сравнение. Темп роста - это тот же самый показисазатель, но рассчитанный в %. Формулы для расчета коэффициента и темпа роста выглядят так:
Базисный Цепной
Для нашего примера с магазином "Заводской" коэффициенты и темпы роста будут выглядеть так:
Таблица № 11
Расчет темпов роста
.
| Цепной коэффициент роста | - | 234:138= 1.70 | 288:234= 1.23 | 1.19 | 1.13 | 1.15 | 1.10 | 1.08 |
| Цепной темп роста |
О чем говорят эти показатели и как можно использовать в практической деятельности? Например, если мы посмотрим на строку "цепной коэффициент роста", то легко сможем увидеть, что скорость, с которой увеличивается количество посетителей, снижается, следовательно, если не принимать
принимать никаких дополнительных мер по привлечению посетителей их количество, скорее всего, стабилизируется в течение нескольких недель и больше увеличиваться не будет. Если достигнутое количество посетителей соответствует планам, хорошо. А если запланированное количество посетителей значительно больше? Тогда на основании расчета коэффициентов и темпов роста можно спрогнозировать развитие ситуации и сделать вывод о том, что пора предпринимать какие-то активные действия по привлечению новых посетителей. Если значения коэффициентов роста меньше единицы, это означает, что наблюдается не рост: а сокращение, то есть, следующий уровень ряда меньше предыдущего (или базисного).
Относительную оценку скорости изменения уровни рада дают такие показатели, как коэффициент и темп прироста, которые можно рассчитать на основе коэффициентов и темпов роста. Формулы этих показателей выглядят так:
Коэффициент прироста Темп прироста
Кпр= Кр-1 Тпр= Тр - 100
Они показывают, на сколько сравниваемый уровень больше или меньше уровня, принятого за базу сравнения.
При анализе рядов динамики важно знать, какие абсолютные значения скрываются за различными показателями. Поэтому, чтобы правильно оценивать, например, темп прироста, его рассматривают в сопоставлении с показателем абсолютного прироста. Результат такого сравнения называется абсолютным значением (содержанием) одного процента прироста и рассчитывается как отношение абсолютного прироста к темпу прироста за тот же период времени по следующей формуле:
А% = А/Тпр
где А - абсолютный прирост, Тпр, - темп прироста.
Как и для других статистических показателей, для обобщающей характеристики рядов динамики используют различные средние -в частности, средний уровень ряда, средние темпы роста и прироста.
Средний уровень ряда. Этот показатель рассчитывается по-разному для интервальных и моментных рядов. Для интервальных рядов динамики из абсолютных уровней средний уровень ряда рассчитывается по формуле средней арифметической, при этом в случае равных интервалов применяется средняя арифметическая простая, а при неравных - средняя арифметическая взвешенная. Простая средняя арифметическая для интервального ряда:
где Уi - уровни ряда от 1 до n, n -число уровней ряда
Пример. Для наших данных о количестве посетителей магазина "Заводской" можно рассчитать простую среднюю арифметическую, так как интервалы равные (1 неделя). Для этого суммируем количество посетителей за 8 недель (138+234+288+343+388+446+491+532=2860), делим полученную сумму на 8 (так как у нас всего 8 уровней ряда) и получаем результат - среднее количество посетителей в неделю -357,5.
Средняя арифметическая взвешенная для интервального ряда с неравными интервалами:
Пример. Предположим, что в некоторой фирме с 1 по 15 число месяца работали 12 человек, с 16 по 25 -18 человек, а с 26 по 30 - 21 человек.
Задача - рассчитать такой часто применяющийся показатель, как среднесписочное число работников за месяц. Запишем интервальный ряд:
Таблица № 12
Число работников предприятия
| Даты (t) | 1-15 | 16-25 | 26-30 |
| Кол-во работников (у) |
Интервалы неравные, поэтому считаем по формуле средней арифметической взвешенной для интервального ряда:
12 (чел) ∙ 15 (дней) + 18 ∙ 10 + 24 ∙ 5 = 480 = 16 (чел)
30 (дней) 30
Результат - среднесписочное число работников за месяц - 16 (чел.).
Для моментных радов используются другие формулы. Средний уровень моментного рада с равными промежутками между датами определяется по формуле средней хронологической для моментного ряда:
Пример. Предположим, нам нужно посчитать средний месячный курс доллара в квартале, и мы имеем данные о курсе доллара на первое число каждого месяца (цифры условные). Моментный ряд в этом случае выглядит так:
Таблица № 13
Курс доллара
| Дата | 01.04. | 01.05. | 01.06. | 01.07. |
| Курс $ (руб.) | 24,6 | 25,10 | 25,24 | 25,86 |
Проводим расчет:
Следовательно, средний курс за квартал равен 25,19 (руб./$). Средний уровень моментных рядов с неравномерными промежутками
между датами рассчитывается по формуле средней хронологической взвешенной:
, где у i – уровни ряда, t I – количество дней (месяцев и т.п.)
между смежными датами.
Пример. Предположим, на 1 января отчетного года стоимость основных фондов предприятия составила 75 млн. руб. В марте были приобретены основные фонды на сумму 2 млн. руб., в мае выбыло основных фондов на 7 млн. руб.. а в сентябре -еще приобретено основных фондов на 8 млн. руб. Необходимо рассчитать среднегодовую стоимость основных фондов предприятия. Промежутки между датами неравные, поэтому используем формулу средней хронологической взвешенной. Для наглядности расчетов составляем таблицу:
Таблица № 14
Стоимость основных фондов предприятия
| Даты | Стоимость основных фондов (млн. руб.) | Количество месяцев между смежными датами (число месяцев, в течение которых стоимость фондов не изменялась) | Уi ti |
| 1 января | 3 (с января по март включительно) | 225(75x3) | |
| 1 апреля | 77 (75+2) | 2 (апрель и май) | 154(77x2) |
| 1 июня | 70 (77-7) | 4 (с июня по сентябрь включительно) | 280 (70x4) |
| 1 октября | 78 (70+8) | 3 (с октября по декабрь включительно) | 234 (78x3) |
| Итого: | 12 (то есть всего месяцев) |
Делим в соответствии с формулой 893 на 12 и получаем среднегодовую стоимость основных фондов - 74,417 млн. руб.
Вы можете спросить, зачем такие сложности, ведь можно было посчитать по формуле обычной средней арифметической - сложить стоимость на начало и на конец года и разделить на два. О том, что в таких случаях лучше применять среднюю взвешенную, мы уже говорили в предыдущей теме, но давайте проверим, что получится - (75+78)/2-76,5 млн. руб. А рассчитанный по средней взвешенной - 74,417 млн. руб. Разница практически в 2 миллиона рублей, и только из-за методики расчета! А ведь со стоимости основных фондов платятся налоги. Представляете, сколько можно сэкономить, если хорошо знать статистику и правильно применять соответствующие формулы!
Завершая эту тему, стоит сказать и о том, что для получения логичных правильных результатов и выводов при построении и анализе рядов динамики, статистические данные должны быть сопоставимы - по территории, единицам и измерения, времени регистрации, ценам и т.п.
Например, если Вы в одном месяце будете регистрировать количество посетителей магазина только вечером, в другом - только утром, а затем попытаетесь сравнить получившиеся ряды динамики, формально Вы получите какие-то данные, но в них будет мало смысла, и на их основе нельзя будет сделать никаких практических выводов.
Или, если Вы хотите сравнить динамику объема продаж (в рублях) вашей компании за этот год и позапрошлый год, для действительно адекватных выводов Вам придется сначала привести все данные к так называемым сопоставимым ценам, то есть ценам одного определенного (базисного) периода и одинаково описывающим стоимость товара, чтобы не получилось, что Вы сравниваете тысячи с миллионами, а доллары - с рублями.
