Расчет средней арифметической в рядах распределения

Если значения осредняемого признака заданы в виде интервальных рядов распределения, то при расчете средней арифметической величины в качестве значений признаков в группах принимают середины этих ин­тервалов, в результате чего образуется дискретный ряд.

Рассмотрим следующий пример.

Группы рабочих по стажу работы (лет), х	Число рабочих, чел., f	Середина интервала, лет х′	х′∙ f
до 5		2,5
5-10		7,5
10-15		12,5	187,5
15 и более		17,5	122,5
Итого		-

От интервального ряда перейдем к дискретному путем замены интервальных значений их средними значениями (простая средняя между верхней и нижней границами каждого интервала). При этом величины открытых интервалов (первый и последний) условно приравниваются к интервалам, примы­кающим к ним (второй и предпоследний).

х′1= 0+5 =2,5 х′2= 5+10 =7,5 х′3= 10+15 = 12,5 х′4= 15+20 = 17,5

2 2 2 2

При таком исчислении средней допускается некоторая неточность, поскольку делается предположение о равномерно­сти распределения единиц признака внутри группы. Однако ошибка будет тем меньше, чем уже интервал и чем больше единиц в интервале.

После того как найдены середины интервалов, вычисле­ния делают также, как и в дискретном ряду, - варианты ум­ножают на частоты (веса) и сумму произведений делят на сум­му частот (весов), тыс. руб.:

ар.= ∑x′∙f

∑f

Итак, средний стаж работы составляет 12 лет.

Вычисление средней арифметической часто сопряжено с большими затратами времени и труда. Однако в ряде случаев процедуру расчета средней можно упростить и облегчить, если воспользоваться ее свойствами. Приведем (без доказательства) некоторые основные свойства средней арифметической.

Свойство 1. Если вес индивидуальные значения признака (т.е. все варианты) уменьшить или увеличить в i раз, то среднее значение нового признака соответственно уменьшится или увели­чится в i раз.

Свойство 2. Если все варианты осредняемого признака уменьшить или увеличить на число А, то средняя арифметиче­ская соответственно уменьшится или увеличится на это же число А.

Свойство 3. Если веса всех осредняемых вариантов уменьшить или увеличить в k раз, то средняя арифметическая не изменится.

 

Средняя гармоническая.

Наряду со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной.

Необходимо подчеркнуть, при расчете средних показателей помимо средней арифметической могут использоваться и другие виды сред­них, но любая средняя величина должна вычисляться так, чтобы при замене ею каждого варианта осредняемого признака не изменялся итоговый, обобщающий, или, как его принято называть определяющий показатель, который связан с осредняемым показателем (например, при замене фактических заработных плат отдельных работников предприятия средней заработной платой, не должен изме­ниться фонд заработной платы). В каждом конкретном случае в зависимости от характера имеющихся данных, сущности изучаемого социально-экономического явления.

Вид средней определяется характером взаимосвязи опре­деляющего показателя с осредняемым.

Так, например, средняя арифметическая при­меняется в тех случаях, когда известны варианты варьирующего признака х и их частоты.

Если статистическая информация не содержит частот f по отдельным вариантам х совокупности, а представлена как их произведение х∙f, применяется формула средней гармо­нической взвешенной. Чтобы исчислить среднюю, обозначим х∙f = w, откуда f = w/x. Теперь преобразуем формулу сред­ней арифметической таким образом, чтобы по имеющимся данным х и w можно было исчислить среднюю. В формулу средней арифметической взвешенной вместо х∙f, подставим w, вместо f– отношение w/x и получим формулу средней гармонической взвешенной

 

гар.= ∑ w = w1+w2+w3....wn

∑ w w1 + w2 + w3... wn

x x1 x2 x3 xn

Формула показывает, что средняя гармоническая - средняя взвешенная из варьирующих обратных значений при­знака. Она является преобразованной формой арифметической средней и тождественна ей. Вместо гармонической всегда мож­но рассчитать среднюю арифметическую. Итак, средняя гармоническая применяется то­гда, когда неизвестны действительные веса f, а известно w = х ∙ f, т.е. в тех случаях, когда средняя предназначается для расчета сумм слагаемых, обратно пропорциональных величине данного признака, когда суммированию подлежат не сами варианты, а обратные им величины: 1 1 1

х1, х₂ х3

Например, по данным, приведенным в таблице требуется определить среднюю цену 1 кг картофеля.

 

Таблица №

Цена и выручка от реализации по трем коммерческим магазинам в сентябре 1994 года

 

Номер магазина	Цена картофеля, руб./кг, х	Выручка от реализации, млн. руб. W	количество реализованных единиц. кг f=w/x
1.
2.
3.

Расчет средней цены выражается соотношением:

 

Выручкаотреализации, руб.

Средняяцена, руб. = количествореализованныхединиц, кг

 

Определяющий показатель в данном случае - числитель этой логической формулы. Выручка от реализации w известна (числитель), а количество реализованных единиц - неизвестно, но может быть найдено как частное от деления одного показа­теля на другой, для чего нужно отдельно по каждому магазину разделить выручку на цену.

Тогда средняя цена 1 кг картофеля, руб., по трем ком­мерческим магазинам может быть исчислена по формуле средней гармонической взвешенной:

гар.= ∑ w = 18000000+15000000+24000000 57000000 = 876,92 руб.

∑ w 18000000 + 15000000 + 24000000 = 65000

x 900 1000 800

Этот же результат получится и по средней арифметической взвешенной, если в качестве весов принять количество проданных единиц (которые необходимо предварительно рас­считать), руб.:

гар.= 800∙30 000+ 1000∙15 000 + 900∙20 000 ₌ 57000000 ₌ 876,92 руб.

30000 + 15000 + 20000 65000

Полученная средняя цена 1 кг картофеля является реаль­ной величиной, ее произведение на все количество проданного картофеля дает общий объем реализации, выступающий в качестве определяющего показателя (57 млн руб). Исчисление средней гармонической взвешенной по формуле освобождает от необходимости предварительного расчета весов, поскольку эта операция заложена в саму формулу. В тех случаях, когда вес каждого варианта равен единице (индивидуальные значения обратного признака встречаются по одному разу), применяется средняя гармоническая простая, ис­числяемая по формуле:

гар.= 1+1+...+1 = __ n

1 + 1 + 1 ∑1

x1 x2 xn x

1

где x — отдельные варианты обратного признака, встречающиеся по одному разу; n — число вариантов.

Пример. Цена за единицу товара А, продаваемого в пер­вой торговой точке, составила 20 руб., во второй - 30 руб. Какова средняя продажная цена товара, если выручка от продаж товара в торговых точках одинакова?

Решение

Поскольку весами при расчете средней являются выручки от продажи (товарообороты), а сама выручка представляет собой произведение цены x на количество проданного товара f, вычис­ления проводили по средней гармонической взвешенной. Равен­ство весов позволяет осуществлять расчеты по формуле средней гармонической простой:

Средняя геометрическая

Среднюю геометрическую применяют случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста.

Средняя геометрическая исчисляется - извлечением корня степени п из произведений отдельных значений — вариантов признака х:

где п — число вариантов; П - знак произведения.

Среднюю геометрическую наиболее часто применяют для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения. I