Т е м а 5. Разложение эликтрического поля по мультиполям

5.1. Покажите, что в электрическом поле электростатическая энергия диполя с дипольным моментом равна

.

5.2. Диполь находится в однородном поле с напряженностью . Если направление дипольного момента совпадает с напрвлением электрического поля, то существует эквипотенциальная поверхность, охватывающая диполь. Покажите, что такой поверхностью является сфера, и найдите величину дипольного момента, для которой сфера имеет радиус а.

5.3. Из условия задачи 5.2. определите электрическое поле вне этой сферы.

5.4. Из условия задачи 5.2. (см. также 5.3.) определите, как будут распределены заряды на проводящей сфере? Каким дипольным моментом будет обладать это распределение зарядов?

5.5. Выразить через -функцию распределение объемной плотности заряда точечного диполя с моментом , находящегося в точке с радиус-вектором .

5.6. Дипольный потенциал электрического диполя связан с компонентами электрического поля:

причем направлен по оси z.

а) Найдите радиальную и тангенсальную составляющие напряженности электрического поля диполя в точке .

б) Покажите, что электрическое поле диполя направлено в одну и ту же сторону во всех точках прямой, проходящей через диполь (начало координат).

в) Найдите направление и относительные величины напряженности на некотором произвольном расстоянии от диполя в точках, определяемых углами отсчитываемыми от направления вектора .

5.7. В каждой точке пространства задан электрический дипольный момент единицы объема. Векторная функция убывает на бесконечности быстрее, чем 1/r². Доказать, что заданное распределение плотности дипольного момента создает каждой точке пространства такое же электрическое поле, как и заряд, распределенный с объемной плотностью

.

5.8. Сфера радиуса R заряжена по поверхности по закону

.

Найти потенциал электрического поля, используя разложение по мультиполям в сферических координатах.

5.9. Источники электрического поля расположены аксиально симметричным образом. Вблизи оси симметрии системы источники поля отсутствуют. Выразить потенциал и напряженность электрического поля вблизи оси симметрии через значение потенциала и его производных на этой оси.

5.10. Найти потенциал электрического поля на больших расстояниях от следующих систем зарядов: а) заряды q, -2q, q расположены на оси z на расстоянии a друг от друга (линейный квадруполь); б) заряды расположены в вершинах квадрата со стороной a так, что соседние заряды имеют разные знаки, причем в начале координат находится заряд +q, а стороны квадрата параллельны осям x и y (плоский квадруполь).