Определение скорости при координатном способе задания движения

При единичных векторах стоят проекции вектора скорости на координатные оси

Проекции скорости на координатные оси определяются как первые производные по времени от соответствующих координат.

Зная проекции, можно найти модуль вектора и его направление

 

3 Определение скорости при естественном способе задания движения.

Пусть дана траектория материальной точки и закон изменения криволинейной координаты. Предположим, при t ₁ точка имела координату s ₁, а при t ₂ – координату s ₂. За время координата получила приращение , тогда средняя скорость точки

.

Для нахождения скорости в заданный момент времени перейдем к пределу

,

Вектор скорости точки при естественном способе задания движения определяется как первая производная по времени от криволинейной координаты.

 

 

19. Ускорение точки при векторном и координатном способах задания ее движения.

1 При векторном задании движения ускорения точки:

Рассмотрим точку в два момента времени t ₁ () и t ₂ (), тогда - приращение времени, - приращение скорости.

Вектор всегда лежит в плоскости движения и направлен в сторону вогнутости траектории.

 

Под средним ускорением точки за время Dt понимают величину

.

Для нахождения ускорения в заданный момент времени перейдем к пределу

,

Ускорение точки в данный момент времени определяется как вторая производная по времени от радиус-вектора точки или первая производная от вектора скорости по времени.

Вектор ускорения расположен в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости траектории.

2 Ускорение точки при координатном способе задания движения

Воспользуемся уравнением связи векторного и координатного способов задания движения

И возьмем от него вторую производную

В этом уравнении при единичных векторах стоят проекции вектора ускорения на координатные оси

.

Проекции ускорения на координатные оси определяются как первые производные по времени от проекций скорости или как вторые производные от соответствующих координат по времени.

Модуль и направление вектора ускорения можно найти по следующим выражениям

, , , .

 

20. Ускорение точки при естественном способе задания ее движения. Касательное и нормальная составляющие ускорения точки.

 

 

Пусть точка движется по криволинейной траектории. Рассмотрим два ее положения в моменты времени t (s,M, v) и t ₁(s ₁,M₁, v ₁).

Ускорение при этом определяется через его проекции на оси естественной системы координат, движущейся вместе с точкой M. Оси при этом направлены следующим образом:

M t - касательная, направлена вдоль касательной к траектории, в сторону положительного отсчета расстояния,

M n – главная нормаль, направлена по нормали, лежащей в соприкасающейся плоскости, и направлена в сторону вогнутости траектории,

M b – бинормаль, перпендикулярна плоскости M tn и образует с первыми осями правую тройку.

Так как вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости, то a_b= 0. Найдем проекции ускорения на другие оси.

(19)

Спроектируем (19) на координатные оси

, (20)

. (21)

Проведем через точку M₁оси параллельные осям в точке M и найдем проекции скорости:

Mt: ,

Mn: , (22)

где j - так называемый угол смежности.

Подставляем (22) в (20)

.

При Dt® 0 j® 0, cosj® 1, тогда

Касательное ускорение точки определяется первой производной по времени от скорости или второй производной по времени от криволинейной координаты.

. (23)

Касательное ускорение характеризует изменение вектора скорости по величине.

Подставим (22) в (21)

.

Умножим числитель и знаменатель на Ds Dj чтобы получить известные пределы

, (24)

где (первый замечательный предел),

, ,

, где r - радиус кривизны траектории.

Подставляя вычисленные пределы в (24), получим

Нормальное ускорение точки определяется отношением квадрата скорости к радиусу кривизны траектории в данной точке.

. (25)

Окончательно получим проекции ускорения материальной точки на оси естественной системы координат и модуль вектора

, (26)

. (27)

 

21. Классификация движений точки по ее ускорению.

 

· Если _t= 0, _n= 0, то точка движется равномерно прямолинейно, и её полное ускорение равно нулю: =0.

· Если _t= 0, _n¹ 0, то точка движется равномерно криволинейно, и её полное ускорение равно нормальному ускорению: = _n (8).

· Если _t¹ 0, _n= 0, то точка движется неравномерно прямолинейно, и её полное ускорение равно касательному ускорению: = _t (7).

· Если _t¹ 0, _n¹ 0, то точка движется неравномерно криволинейно, и модуль её полного ускорения определяется выражением: .

 

22. Поступательное движение тела.

 

Поступательным называется такое движение тела, при котором прямая, соединяющая две любые точки тела, движется параллельно своему начальному положению.

Характерным отличительным признаком поступательного движения является отсутствие вращения (w=0). Поступательное движение может быть как плоским так и пространственным.

Примеры поступательного движения:

 

 

23. Вращательное движение тела. Угловая скорость и угловая ускорение.

 

Вращательным называется такое движение тела, при котором его точки описывают круговые траектории в плоскостях, перпендикулярных неподвижной оси вращения, с центрами на этой оси. Положение вращающегося тела в любой момент времени задают

углом поворота между неподвижной и подвижной плоскостями, содержащими ось

вращения.

Угловая скоростьсть:, [рад/с] – определяет быстроту изменения угла поворота.

Вектор угловой скорости тела, совершающего вращение вокруг неподвижной оси, направлен вдоль оси вращения так, что если смотреть ему навстречу вращение будет против час. стрелке. Угловое ускорение тела: , [рад/с²]. Вектор углового ускорения также направлен вдоль оси вращения. При ускоренном движении совпадает по направлению с угловой скоростью и противоположно при замедленном вращении. Угловую скорость и угловое ускорении можно представить в виде векторов, которые расположены на любой точке оси вращения.

 

24. Скорость и ускорение точек вращающегося тела.

 

Скорости и ускорения точек вращающегося тела – скорость любой точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна векторному произведению вектора угловой скорости тела на радиус–вектор этой точки. Модуль векторного произведения: v=w×r×sin(a)=w×(CM), (СМ) – расстояние от точки М до оси вращения.

 

25. Плоско-параллельное (плоское) движение тела.

 

Плоским (плоскопараллельным) назыв. такое движение, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой неподвижной плоскости. Уравнения плоского движения: x_A= x_A (t), y_A= y_A (t), j = j (t), точка А назыв. полюсом.

 

 

26. Определение скоростей точек при плоском движении.

Теорема: Скорость любой точки принадлежащей плоской фигуре равна геометрической сумме скорости полюса и той скорости которую имела бы точка при вращательном движении вокруг оси проходящей через полюс

 

27. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела.

Теорема: при плоском движении проекции скоростей двух точек тела на ось, проходящую через эти точки, равны между собой: v_Acosa=v_Bcosb.

 

28. Мгновенный центр скоростей и способы его определения.

МЦС – точка плоскости движения плоской фигуры, скорость которой в данном положении равна 0.

Частные случаи определения м.ц.с.: 1) м.ц.с. – точка пересечения перпендикуляров, восстановленных к скоростям точек (напр. в точке В и точке К); 2) если скорости точек А и В параллельны между собой и перпендикулярны АВ, то для определения м.ц.с. должны быть известны модули и направления скоростей (см. v_A и v_B); 3) если они при этом равны между собой, то м.ц.с. находится в ¥, а угловая скорость w=v_A/¥=0; 4) если известно, что скорости двух точек А и В равны, параллельны и не перпендикулярны АВ, то м.ц.с. в ¥, и угловая скорость w=v_A/¥=0, если это имеет место только к некоторый момент времени, то имеем мгновенное поступательное движение; 5) если плоская фигура катится без скольжения по неподвижной поверхности, то м.ц.с. плоской фигуры будет в точке соприкасания.

 

29. Определение скоростей точек с помощью мгновенного центра скоростей.

 

Скорости всех точек будут направлены перпендикулярно отрезкам соединяющим точку и МЦС в сторону угловой скорости и пропорциональны длинам этих отрезков.

 

30. Ускорение точек при плоском движении.

 

Ускорения точек тела при плоском движении связаны формулой Ривальса:

 

 

31. Сложное движение точки. Понятия относительного, переносного и абсолютного движений.

 

Сложным называется такое движение тела при котором оно одновременно участвует в двух или нескольких движениях. В рассмотрение вводится подвижная и неподвижная система отсчёта аналогично сложному движению тела. Сложное движение тела рассматривается как совокупность двух движений – относительного и переносного. В этом случае вводится подвижная система координат (Oxyz), которая совершает заданное движение относительно неподвижной (основной) системы координат (O₁x₁y₁z₁). Абсолютным движением точки назыв. движение по отношению к неподвижной системе координат. Относительное движение – движение по отношению к подвижной системе коорд. (движение по вагону). Переносное движение – движение подвижной системы координат относительно неподвижной (движение вагона).

 

32. Ускорение Кориолиса.

 

Кориолиса ускорение, поворотное ускорение, часть полного ускорения точки, появляющаяся при т. н. сложном движении, когда переносное движение, т. е. движение подвижной системы отсчёта, не является поступательным. Кориолиса ускорение появляется вследствие изменения относительной скорости точки u_отн при переносном движении (движении подвижной системы отсчёта) и переносной скорости при относительном движении точки. Численно Кориолиса ускорение v_kop =2 w_пер u_отн sin a,
где (w_пер — угловая скорость поворота подвижной системы отсчёта вокруг некоторой оси АВ, a — угол между u_отн и осью AB (как вектор Кориолиса ускорение определяется формулой v_kop =2[ w_пер u_отн ]).

 

 

33. Законы Галилея-Ньютона.

 

Первый закон (закон инерции)

Материальная точка сохраняет равномерное и прямолинейное движение или находится в состоянии покоя до тех пор, пока на нее не подействует сила..

Второй закон Ньютона

Сила, действующая на материальную точку, сообщает ей ускорение, которая пропорциональная силе и направлена в сторону действия F = ma - основное уравнение динамики

Третий закон

Два тела действуют друг на друга с силами, равными по величине и направленными в противоположные стороны.

Четвертый закон

Материальная точка, при действии на нее системы сил, приобретает ускорение, равное сумме ускорений, возникающих от действия каждой силы в отдельности

 

34. Задачи динамики.

 

Динамика — раздел механики, в котором изучаются причины возникновения механического движения.

Основная задача динамики

• Прямая задача динамики: по заданным силам определить характер движения тела.
• Обратная задача динамики: по заданному характеру движения определить действующие на тело силы.

 

 

35. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.

 

36. Решение первой задачи динамики. (Определение сил по заданному движению точки).

 

При наличии нескольких сил, действующих на точку, второй закон Ньютона дает основное уравнение динамики точки

где m – масса точки;

a – ускорение точки;

F_i – силы, действующие на точку.

В зависимости от способа задания движения точки, это уравнение можно записать по-разному.

Для векторного способа задания движения

где r = r (t) – радиус-вектор, определяющий положение точки по отношению к выбранной системе отсчета.

 

Для координатного способа задания движения точки

где x = x (t), y = y (t), z = z (t) – координаты точки, заданные как функции времени.

Для естественного способа задания движения точки

0 = Σ F_ib,

где dV/ dt – проекция ускорения точки на касательную в данной точке (касательное ускорение), V²/ ρ – проекция ускорения на нормаль (нормальное ускорение),

ρ – радиус кривизны траектории.

В правой части уравнений – проекции сил на касательную ΣF_iτ,

нормаль ΣF_in и бинормаль ΣF_ib.

По заданному закону движения точки определяются правые части этих уравнений, и далее может быть определена результирующая сила

– при координатном способе задания движения:

– при естественном способе или одна из составляющих сил:

Направление силы определяется с помощью направляющих косинусов:

cos (α) = R_x / R, cos (β) = R _y / R, cos (γ) = R _z / R (1.5)

где α, β, γ – углы между направлением силы и осями x, y, z соответственно.

 

 

37. Решение второй задачи динамики. (Интегрирование дифференциальных уравнений движения точки).

 

Пусть на материальную точку действует некоторая система сил и требуется определить движение точки под действием этих сил.

Уравнение второго основного закона динамики для материальной точки массой m запишется в виде

где a – ускорение точки;

F_i – силы, действующие на точку, включая реакции связей.

Спроектировав уравнение (4.1) на декартовы оси координат, получим систему из трех уравнений

где a_x, a_y, a_z – проекции ускорения точки на декартовы оси координат;

F_x, F_y, F_z – проекция i -й силы на соответствующую ось.

Учитывая, что

получаем систему дифференциальных уравнений первого порядка относительно проекций скорости точки или второго порядка относительно координат точки.

 

Спроектировав уравнение (4.1) на естественные оси координат, получим следующую систему уравнений:

 

ma_τ = ΣF_τi,

ma_n = ΣF_ni,

0 = ΣF_bi.

Учитывая, что

где V – алгебраическое значение скорости, получим

0 = ΣF_bi.

 

 

38. Импульс силы. Количество движения точки и системы.

 

 

39. Теорема об изменении количества движения точки и механической системы.

 

 

 

40. Закон сохранения количества движения.

 

41. Работа и мощность силы. Работа силы тяжести. (Google в помощь!!!)))

 

42. Работа и мощность силы, приложенной к вращающемуся твёрдому телу.

 

43. Кинетическая энергия точки и системы.

формула (41)

 

44. Кинетическая энергия при поступательном, вращательном и плоском движениях.

 

45. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.

 

46. Механическая система. Понятие центра масс системы. Координаты центра масс системы.

 

 

47. Теорема о движении центра масс системы.

 

Центр масс механической системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложена сила, равная главному вектору внешних сил, действующих на систему

 

48. Следствия из теоремы о движении центра масс системы.

49. Закон сохранения движения центра масс системы.

50. Момент инерции тела относительно оси. Радиус инерции.

 

51. Дифференциальные уравнения вращательного движения.

 

Для изучения вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси воспользуемся теоремой об изменении момента количества движения (кинетического момента) механической системы относительно оси (3.10):

dK_z / dt = M_z^e. (3.11)

Пусть на твердое тело, имеющее неподвижную ось вращения z (рисунок 3.4), действует система заданных внешних активных сил (F ₁, F ₂, F ₃ ,..., F_n), определяющих угловую скорость ω и угловое ускорение ε этого тела в его вращательном движении вокруг оси z. Одновременно на это же тело действуют силы реакции R_A подпятника и R_B радиального подшипника.

Определяем правую часть уравнения (3.11):

M_z^e = ∑ M_z ( F_j^e ) + M _z ( R_A ) + M _z ( R_B ).

 

Поскольку M_z ( R_A ) = M _z ( R_B ) = 0, то M_вращ = M_z^e = ∑ M_z ( F_j^e ).

 

 

Рисунок 3.4

Найдем момент количества движения (кинетический момент) K_z вращающегося твердого тела. Для этого выделим точку M_j тела на расстоянии r_j от оси вращения и имеющую скорость V_j = ω ⋅ r_j. Очевидно, что K_zj = m_j ⋅ V_j ⋅ r_j = m_j ⋅ ω ⋅ r_j ². Тогда момент количества движения (кинетический момент) всего вращающегося тела будет:

K_z = ∑ K_zj = ∑ m_j ⋅ ω ⋅ r_j ²,

где ∑ m_j ⋅ r_j ² = J_z.

Следовательно, окончательно будем иметь

K_z = J_z ⋅ ω. (3.12)

Подставляя в уравнение (3.11) выражение (3.12), получаем

J_z ⋅ dω/dt = M_вращ,

или

J_z ⋅ d ² φ /dt ² = M_вращ. (3.13)

Уравнение (3.13) представляет собой дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Поскольку dω/dt = ε, имеем

ε = M_вращ / J_z. (3.14)

 

 

52. Дифференциальные уравнения поступательного движения.