Означення збіжності ряду. Сума ряду. Необхідна умова збіжності ряду

Числові ряди. Приклади рядів

 

Нехай задана нескінченна послідовність чисел

Означення. Вираз вигляду

(1)

називається числовим рядом.

Числа називаються відповідно першим, другим і т.д. членами ряду, - n-ний або загальний член ряду. Він, як правило, задається формулою відносно натурального аргумента n.

Як бачимо з виразу (1), ряд – це нескінченна сума доданків.

Розглянемо приклади окремих рядів.

1. Нехай задана послідовність чисел

які утворюють геометричну прогресію. Відомо, що сума n членів геометричної прогресії знаходиться за формулою

. (2)

Якщо знаменник прогресії , то прогресія спадна, і сума нескінченного числа її членів є не що інше, як ряд

, (3)

і знаходиться, як границя

, (4)

тобто послідовність, так званих часткових сум має своєю сумою число , яке називається сумою ряду (3).

Нагадаємо, що за допомогою ряду (3) можна перетворити нескінченний періодичний десятковий дріб у звичайний. Наприклад,

 

.

За формулою (4) сума цього ряду буде дорівнювати

.

Отже, .

2. Розглянемо ще ряд

. (5)

Знайдемо його часткові суми

Тут видно, що чисельники співпадають з номерами відповідних сум, а знаменники на одиницю більші тобто за індукцією маємо

.

Тоді по аналогії з попереднім прикладом, знайдемо границю часткової суми

,

яку вважають сумою ряду (5).

Зауважимо, що можна було б знайти як розклад дробу на прості за допомогою методу невизначених коефіцієнтів:

,

тоді

.

3. Нехай дано ряд

. (6)

Знайдемо спочатку часткові суми

Тепер знайдемо границю , тобто

Сума ряду (6) нескінченна.

 

4. Число е. Одним із застосувань рядів є наближене обчислення значень функцій за допомогою рядів. Має місце, наприклад, така рівність

, (7)

 

мова про яку йтиме в подальшому викладі, а зараз покажемо, як можна наближено обчислити значення числа е, поклавши в (7) , отримаємо

. (8)

Нагадаємо, що символом (читається ен-факторіал) позначають добуток натуральних чисел від 1 до , тобто

, , , , …,

Часткові суми:

Звернемо увагу на те, що в цих обчисленнях можна обійтись без калькулятора поскільки четвертий доданок у ряді (8) становить третього п’ятий – становить четвертого, шостий - п’ятого і т.д. Результати обчислень запишемо

 

0,5

=0,166666666…

=0,041666666…

=0,008333333…

=0,001388888…

=0,000198412… (9)

=0,000024801…

=0,000002755…

=0,000000275…

=0,000000027…

2,718281823…

Не оцінюючи величину похибки обчислень, зрівняємо отриманий результат з більш точним значенням .

Ми отримали результат з 8 вірними знаками після коми, який є наближеним значенням суми ряду (8). В даному випадку ми не можемо отримати у вигляді формули значенням часткової суми .

5. Розглянемо ряд

(10)

Знайдемо часткові суми

,

,

,

,

……………………..

,

,

тобто часткові суми парної кількості доданків дорівнюють 0, а суми непарної кількості доданків дорівнюють 1. Границя послідовності часткових сум даного ряду не існує.

 

Означення збіжності ряду. Сума ряду. Необхідна умова збіжності ряду

 

Розглянутий в прикладах 1-5 підхід до визначення суми ряду, якщо вона існує, узагальнимо на довільний ряд. Нехай дано ряд

(1)

Запишемо часткові суми цього ряду

, , ,…, .

 

Означення. Ряд (1) називається збіжним, якщо існує скінченна границя послідовності його часткових сум, тобто

. (2)

Число називається сумою ряду, тоді можна писати

.

Якщо ж границя часткових сум не існує, або дорівнює нескінченності, то ряд називається розбіжним.

З приводу розглянутих в попередньому параграфі прикладів можна сказати, що ряд (3) (приклад 1) є збіжним. Збіжним є ряд (5) (приклад 2).

Ряд (6) розбіжний,бо границя його часткових сум дорівнює нескінченності. Для ряду (10) границя часткових сум не існує, тому він теж розбіжний. Для ряду (8) (див. приклад 4) ми обчислили суму з високою точністю, хоча в його збіжності ми ще не переконались, це буде зроблено далі за допомогою ознаки Даламбера.

Звернемо увагу ще на такий факт: у всіх збіжних рядів, які ми вище розглянули, загальний член , якщо . З цього приводу має місце теорема.

Теорема (про необхідну умову збіжності ряду). Якщо ряд збіжний, то границя його загального члена при дорівнює нулю,

. (3)

Доведення. Поскільки , то . Із збіжності ряду випливає, що і , тому

.

Наслідок. Якщо границя загального члена ряду (1) при не дорівнює нулю, тобто , то ряд розбіжний.

Доведення від супротивного. Припустимо, що ряд (1) збіжний, тоді згідно доведеній теоремі границя загального члена , але ж це протирічить умові наслідку, що . Тому наше припущення невірне.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд .

Тут . Оскільки ,

то даний ряд є розбіжним.

Доведена теорема виражає тільки необхідну, але недостатню умову збіжності ряду, тобто із умови, що , ще не випливає збіжність. Ряд може бути як збіжним, так і розбіжним. Приклад цього є гармонічний ряд:

,

загальний член якого прямує до нуля, при , але цей ряд розбіжний. Дійсно розглянемо суму парної кількості доданків

 

Замінимо кожний з доданків найменшим , тобто , ,…, тоді

.

Отже, . Якщо припустити, що гармонічний ряд збіжний, тобто , то, переходячи до границі в нерівності при ,

отримаємо протиріччя: .

Значить, припущення невірне, і, отже, гармонічний ряд розбіжний, його часткові суми при .

Із викладеного тут видно, що більша увага надається поняттю збіжності ряду ніж, наприклад, наближеному обчисленню суми ряду, як це було зроблено при знаходженні числа . Справа в тому, що обчислювати суму ряду можна тільки тоді, коли є упевненість, що ця сума існує, тобто, що ряд збіжний. Так, наприклад, якщо б обчислювати часткові суми гармонічного ряду

за допомогою ЕОМ, не знаючи про його розбіжність, то можна було б отримати такі значення часткових сум , , . Часткові суми зростають досить повільно і можна було б якесь із їх значень прийняти за наближене значення суми ряду, а це було б помилкою, бо насправді при . Між іншим, для часткових сум гармонічного ряду існує цікава формула

де ,

яка дозволяє зрозуміти їх повільне зростання, бо , ,….

Отже питання збіжності ряду стає головним в подальших викладах.

 

Властивості збіжних рядів

Теорема 1. Якщо ряд збігається, то збіжним буде і ряд, отриманий з даного шляхом відкидання (або приписування) скінченного числа членів.

Дійсно, нехай ряд

(1)

є збіжним. Нехай в ньому сума перших доданків . Відкинувши в (1) перших доданків, отримаємо ряд

(2)

Якщо часткова сума ряду (1)

,

а часткова сума ряду (2)

,

то ці суми пов’язані між собою .

Останнє означає, що із збіжності ряду (1) випливає збіжність ряду (2), і навпаки.

Теорема 2. Якщо ряд збігається, то збіжним буде ряд .

Теорема 3. Якщо ряди і збіжні і їх суми відповідно дорівнюють і , тоді збіжними будуть ряди

(3)

суми яких відповідно дорівнюють + і - .

Доведення теореми 2 і 3 базується на властивостях границь послідовностей частинних сум.

Наприклад, для доведення теореми 3 ми виходимо з припущення, що існують границі

,

,

а з цього випливає, що існує границя часткових сум ряду (3), тобто

.

Отже, ряд (3) теж збіжний.

Підкреслимо, що розглянуті властивості стосуються тільки збіжних рядів. Якщо ж хоча б один з рядів розбіжний, то теорема 3, наприклад, може не справджуватись. Для цього розглянемо ряд

(4)

 

який очевидно збігається, сума його дорівнює 0.

Ряд

1-(1-1)-(1-1)-…-(1-1)-… (5)

має своєю сумою 1.

А ряд

1-1+1-1+…+(-1)ⁿ⁺¹+…, (6)

який ми вже досліджували, є розбіжним.

Як бачимо, ряди (4),(5) і (6) різні. Властивості, що стосуються сум із скінченою кількістю доданків, не можна механічно переносити на ряди. Ряди мають свої особливості.