Признак Коши (радикальный)

Пусть дан ряд с неотрицательными членами: , .

Тогда если , то ряд сходится,

если , то ряд расходится.

 

Если же , то признак Коши не является информативным для данного случая, необходимо применить другой признак.

 

 

Пример 17.

.

Применим признак Коши: ряд сходится.

 

Пример 18.

В зависимости от чётности n при последовательность

будет иметь два частичных предела. Поэтому: ,

ряд сходится.

 

Пример 19.

.

Для начала применим признак Даламбера.

Как видно, этот признак не работает. В таких случаях следует применять

 

Признак Гаусса.

Если и существует такое число ε>0, такое что

то ряд сходится, если μ<-1, и расходится, если μ≥-1.

 

Продолжим рассмотрение примера 18.Применим признак Гаусса:

 

 

Как видно, μ=-1/2>-1 - следовательно, ряд расходится.

 

Для закрепления приведем ещё примеры:

 

Пример 20.

. Преобразуем общий член ряда с помощью формул Тейлора, чтобы применить признак сравнения. Также нам понадобится формула .

Получили для сравнения ряд Дирихле , который сходится при q>1 и расходится при q≤1.

Пример 21.

.

Применим признак Даламбера:

 

.

Признак Даламбера не информативен – применим признак Гаусса:

 

Таким образом, μ=1/2-p, то есть, данный ряд сходится при р>3/2 и расходится при p≤3/2.

При решении данного примера были использованы стандартные разложения Тейлора в степенной ряд для функций ln(1+x) и ,а также известная из школьного курса формула

была применена для преобразования вида

 

.(В нашем случае ).

 

Пример 22.

Признак Даламбера не даёт информации о сходимости ряда:

Применим признак Гаусса:

Следовательно, ряд сходится,если и расходится, если .

 

Ряды с членами произвольного знака.

Знакопеременным называется ряд, членами которого являются действительные числа произвольного знака.

 

Определение. Знакопеременный ряд (а также ряд с комплексными членами) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов.

Для исследования рядов на абсолютную сходимость, очевидно, надо пользоваться признаками сходимости рядов с положительными членами.

Определение. Знакопеременный ряд (а также ряд с комплексными членами) называется условно сходящимся, если он сходится, но не сходится абсолютно.

Перечислим основные теоремы для знакопеременных рядов:

 

Теорема 1. Всякий абсолютно сходящийся ряд сходится.

Теорема 2. Если - абсолютно сходящийся ряд с суммой s, а сумма ряда равна S, то | s|≤S.

 

Теорема 3. Если в абсолютно сходящемся ряде произвольным образом переставить члены, то полученный ряд также будет сходиться, а сумма его будет равна сумме исходного ряда.

 

Признаки сходимости знакопеременных рядов.

Признак Абеля.

Пусть дан ряд . Если последовательность монотонна и ограничена, а ряд сходится, то ряд сходится.

 

 

Признак Дирихле.

Пусть дан ряд . Если последовательность , ограничена, а последовательность монотонно стремится к нулю, то ряд сходится.

 

Определение. Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если соседние его члены имеют различные знаки, то есть ряд вида .