Пусть дан ряд с неотрицательными членами: 
, 
.
Тогда если 
, то ряд сходится,
если 
, то ряд расходится.
Если же 
, то признак Коши не является информативным для данного случая, необходимо применить другой признак.
Пример 17.
.
Применим признак Коши: 
ряд сходится.
Пример 18. 
В зависимости от чётности n при 
последовательность 
будет иметь два частичных предела. Поэтому: 
,
ряд сходится.
Пример 19.
.
Для начала применим признак Даламбера.
Как видно, этот признак не работает. В таких случаях следует применять
Признак Гаусса.
Если 
и существует такое число ε>0, такое что
то ряд 
сходится, если μ<-1, и расходится, если μ≥-1.
Продолжим рассмотрение примера 18.Применим признак Гаусса:
Как видно, μ=-1/2>-1 - следовательно, ряд расходится.
Для закрепления приведем ещё примеры:
Пример 20.
. Преобразуем общий член ряда с помощью формул Тейлора, чтобы применить признак сравнения. Также нам понадобится формула 
.
Получили для сравнения ряд Дирихле 
, который сходится при q>1 и расходится при q≤1.
Пример 21.
.
Применим признак Даламбера:
.
Признак Даламбера не информативен – применим признак Гаусса:
Таким образом, μ=1/2-p, то есть, данный ряд сходится при р>3/2 и расходится при p≤3/2.
При решении данного примера были использованы стандартные разложения Тейлора в степенной ряд для функций ln(1+x) и 
,а также известная из школьного курса формула
была применена для преобразования вида
.(В нашем случае 
).
Пример 22.
Признак Даламбера не даёт информации о сходимости ряда:
Применим признак Гаусса: 
Следовательно, ряд сходится,если 
и расходится, если 
.
Ряды с членами произвольного знака.
Знакопеременным называется ряд, членами которого являются действительные числа произвольного знака.
Определение. Знакопеременный ряд (а также ряд с комплексными членами) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов.
Для исследования рядов на абсолютную сходимость, очевидно, надо пользоваться признаками сходимости рядов с положительными членами.
Определение. Знакопеременный ряд (а также ряд с комплексными членами) называется условно сходящимся, если он сходится, но не сходится абсолютно.
Перечислим основные теоремы для знакопеременных рядов:
Теорема 1. Всякий абсолютно сходящийся ряд сходится.
Теорема 2. Если 
- абсолютно сходящийся ряд с суммой s, а сумма ряда 
равна S, то | s|≤S.
Теорема 3. Если в абсолютно сходящемся ряде произвольным образом переставить члены, то полученный ряд также будет сходиться, а сумма его будет равна сумме исходного ряда.
Признаки сходимости знакопеременных рядов.
Признак Абеля.
Пусть дан ряд 
. Если последовательность 
монотонна и ограничена, а ряд 
сходится, то ряд 
сходится.
Признак Дирихле.
Пусть дан ряд 
. Если последовательность 
, 
ограничена, а последовательность 
монотонно стремится к нулю, то ряд 
сходится.
Определение. Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если соседние его члены имеют различные знаки, то есть ряд вида 
.
