Математический способ измерения размерности

 

Чтобы отделить часть линии от остальной, достаточно двух или более точек. Но чтобы часть поверхности отделить от всей поверхности - N точек недостаточно, требуется линия. Часть 3D отделяется от остального пространства - поверхностью.

Размерность

1D: если каждая точка принадлежит не менее двум кусочкам (по Урысону).

2D: если каждая точка принадлежит не менее трем кусочкам (по Урысону).

3D: если каждая точка принадлежит не менее четырем кусочкам (по Урысону).

Определение Урысона: фигура имеет размерность n, если ее можно разбить на сколь угодно малые части так, чтобы ни одна ее точка не принадлежала n + 2 различным частям, но достаточно, если найдутся точки, принадлежащие n + 1 различным частям.

 

Соотношение Эйлера

 

Еще со школы нам хорошо известно соотношение Эйлера:

Г + В = Р + 2 или Г + В - Р = 2, где Г - число граней, В - число вершин, Р - число ребер.

В общем случае эта формула имеет вид:

N₀ - N₁ + N₂ - N₃ +... + N_i = 1 - (-1)ⁿ, где

N₀ - количество нульмерных образов (вершин),

N₁ - количество одномерных образов (ребер),

N₂ - количество двумерных образов (граней),

N_i - количество i-мерных образов (гиперплоскостей или гиперграней),

N - размерность пространства.

Например, для трехмерного куба мы имеем: Г = 6, В = 8, Р = 12, то есть 6 + 8 = 12 + 2; для тетраэдра: Г = 4, В = 4, Р = 6, то есть 4 + 4 = 6 + 2.

Используя общую формулу Эйлера, можно выяснить, сколько трехмерных граней N₃ содержит в себе четырехмерный куб (n = 4). Для такого куба общая формула будет выглядеть следующим образом: N₀ - N₁ + N₂ - N₃ = 1 - (-1)⁴ = 0, откуда N₃ = N₀ - N₁ + N₂. Для четырехмерного куба число вершин N₀ = 16, число ребер N₁ = 32, число граней N₂ = 24, следовательно, число трехмерных граней N₃ = 16 - 32 + 24 = 8.

 

Топология фигур в пространстве

Топология

 

Слово "топология" произошло от греческого topos - "место". Топология - это раздел математики, изучающий топологические свойства фигур, то есть свойства, не изменяющиеся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний (точнее, при взаимно однозначных и непрерывных отображениях). Иными словами, при сгибании, скручивании, сжимании, растягивании и вообще любых деформациях, кроме разрывов и склеиваний, все свойства фигуры сохраняются (с точки зрения топологии). К топологическим свойствам фигур относятся также размерность, число кривых, ограничивающих данную область (контуры - связность), и некоторые другие.

Формула Эйлера имеет вид: Г + В = Р + 2 (Г - число граней, В - число вершин, Р - число ребер). Но оказывается, что эта формула имеет более общий вид, если принять во внимание такую характеристику, как связность. Связность h есть количество разрезов + 1. Таким образом, формула Эйлера принимает следующий вид:

Г + В - Р = 3 - h, где

В - число вершин,

Р - число ребер,

Г - число граней,

H - связность.

Согласно формуле, приведенной выше, очевидно, что окружность, эллипс, контур квадрата имеют одни и те же топологические свойства, так как эти линии могут быть деформированы одна в другую без разрывов и склеиваний. В то же время кольцо и круг обладают различными топологическими свойствами: круг ограничен одним контуром, а кольцо - двумя.

Чтобы деформировать одну фигуру в другую, обладающую разными свойствами, придется делать разрезы. Между разрезами и связностью существует следующее соотношение: h = p + 1, где р - количество разрезов. Например, с помощью двух разрезов тор превращается в лист, поэтому связность тора h = 2 + 1 = 3.

Некоторые свойства различных фигур приведены в таблице.

Фигура	связность h число сторон s хроматическое число x число краев k	Рисунок
Тор - лист с циклами	h = 3 s = 2 x = 7 k = 0
Плоский лист	h = 1 s = 2 x = 4 k = 1
Лента Мебиуса	h = 2 s = 1 x = 6 k = 1
Бутылка Клейна (существует только в 4D)	h = 3 s = 1 k = 0
Сфера	h = 1 s = 2 x = 4 k = 0