II (с помощью элементарных преобразований)

Теория ко третьему практическому занятию.

Опр. Квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные по главной диагонали, равны 1, а остальные - 0, называется единичной матрицей и обозначается или , т.е.

.

Опр. Матрица называется обратной к квадратной матрице и обозначается , если , где - единичная матрица такого же порядка, что и матрица .

Зам. Как следует из определения обратной матрицы - квадратная матрица такого же порядка, что и матрица .

Теорема 1. Для того, чтобы матрица была обратной к квадратной матрице , необходимо и достаточно, чтобы .

Теорема 2 (о существовании обратной матрицы). Для того, чтобы квадратная матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы .

Опр. Если определитель квадратной матрицы , то она называется невырожденной (неособенной), в противном случае вырожденной (особенной).

Теорема 3 (о единственности обратной матрицы). Если квадратная матрица имеет обратную, то только одну.

Методы нахождения обратной матрицы

I (по формуле). Формула для нахождения обратной матрицы: .

 

II (с помощью элементарных преобразований).

Опр. Элементарными преобразованиями над строчками матрицы называются следующие преобразования:

1) Умножение элементов строки на число ;

2) Прибавление к элементам строки соответствующих элементов другой строки, предварительно умноженных на одно и то же число;

3) Перестановка строк местами;

4) Отбрасывание строки, состоящей из нулей.

Зам. Элементарные преобразования над столбцами матрицы определяются аналогично.

Опр. Элементарные преобразования над строчками и столбцами матрицы называются элементарными преобразованиями над матрицей.

Теорема. Любую невырожденную квадратную матрицу с помощью элементарных преобразований над строчками можно привести к единичной матрице такого же порядка. При применении той же последовательности элементарных преобразований к единичной матрице такого же порядка в результате получается матрица, обратная к данной.

Зам. Аналогичная теорема верна и для столбцов.

элементарные преобразования над строчками

Обычно элементарные преобразования над матрицами и проводят одновременно. Для этого составляют одну из расширенных матриц:

1) либо

2)

элементарные преобразования над столбцами

либо

Мы будем пользоваться формулой 1).

Примечание. Перед применением формулы 1) необязательно проверять исходную матрицу на невырожденность. Если она вырожденная, т.е. не имеет обратной, то в процессе преобразований этой матрицы в единичную какая-либо ее строка превратится в нулевую.

Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью элементарных преобразований по формуле 1):

1) На месте столбцов матрицы получают столбцы матрицы следующим образом:

а) сначала в столбце создают единицу путем умножения строки, в которой нужно создать единицу, на подходящее число;

б) затем в этом столбце создают нули путем прибавления к строке, в которой нужно создать 0, строки, содержащей единицу, предварительно умножив ее на подходящее число.

2) После создания столбцов матрицы , сточки, если это необходимо, меняют местами.

Зам. Необязательно столбцы матрицы преобразовывать по порядку, т.е. сначала 1-й, 2-й и т.д.

 

Зам. Необязательно на месте 1-го столбца матрицы получать 1-й столбец матрицы , на месте 2-го – 2-й и т.д.