Критерій песимізму-оптимізму Гурвиця

Видається логічним, що під час вибору рішення замість двох крайнощів у оцінці ситуації потрібно дотримуватися певної проміжної позиції, яка враховує можливість як найгіршої, так і найкращої, сприятливішої поведінки природи. Такий компромісний варіант був запропонований Гурвицем. Згідно з цим підходом для кожного рішення необхідно визначити лінійну комбінацію min і max виграшу і вибрати ту стратегію, для якої ця величина виявиться найбільшою:

v_H = max_i [a max_i a_ij + (1-a) min_j a_ij ],

де a - “ступінь (міра) оптимізму”, 0£ a £1.

При a = 0 критерій Гурвиця тотожній критерію Вальда, а при a =1 – збігається з максимаксним рішенням.

На вибір значення міри оптимізму робить вплив міра відповідальності: чим серйозніші наслідки помилкових рішень, тим більшим є бажання ОПР підстрахуватися, тобто міра оптимізму a є близькою до нуля.

Вплив міри оптимізму на вибір рішення в задачі "Постачальник".

 

	Міра оптимізму
Рішення		0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
А1	1 стратегія	-370	-340	-310	-280	-250	-220	-190*	-160*	-130*
А2	2 стратегія	-285	-270	-255	-240	-225*	-210*	-195	-180	-165
А3	3 стратегія	-254*	-248*	-242*	-236*	-230	-224	-218	-212	-206
А4	4 стратегія	-317	-304	-281	-278	-265	-252	-239	-226	-213

 

Величина v _H для кожного значення a позначена *. При a £ 4/9 критерій Гурвиця рекомендує для задачі “Постачальник” рішення А₃, при 4/9£ a £2/3 – рішення А₂. У решта випадках А₁. Рішення А₄ є невигідним у всіх випадках.

 

4) Критерій Севіджа (критерій мінімаксу ризику)

На практиці, вибираючи одне з можливих рішень, часто зупиняються на тому рішенні, здійснення якого приведе до найменш важких наслідків, якщо вибір виявиться помилковим. Цей підхід до вибору рішення математично був сформульований американським статистиком Севіджем в 1954 році і дістав назву принципу Севіджа. Він особливо є зручним у випадку економічних задач і часто застосовується для вибору рішень в іграх людини з природою.

За принципом Севіджа кожне рішення характеризується величиною додаткових втрат, що виникають під час реалізації цього рішення, у порівнянні з реалізацією рішення, правильного за такого стану природи. Природно, що правильне рішення не тягне за собою жодних додаткових втрат, і їхня величина дорівнює нулю.

Під час вибору рішення, яке якнайкраще відповідає різним станам природи, слід брати до уваги лише ті додаткові втрати, які, по суті, будуть наслідком помилок вибору.

Для отримання рішення задачі будується так звана "матриця ризиків", елементи якої показують, які збитки отримує гравець (ОПР) в результаті вибору неоптимального варіанта рішення.

 

Ризиком гравця r _ij при виборі стратегії i в умовах (станах) природи j називається різниця між максимальним виграшем, який можна отримати в цих умовах, і виграшем, який отримає гравець за тих же умовах, застосовуючи стратегію i.

 

Якби гравець знав заздалегідь майбутній стан природи j, він вибрав би стратегію, якій відповідає max елемент в цьому стовпці:

max _i a _ij,

тоді ризик:

r _ij = maxi a _ij – a _ij.

Критерій Севіджа рекомендує в умовах невизначеності вибирати рішення, яке забезпечує мінімальне значення максимального ризику:

v_s = min_i max_j r_ij = min_i max_j (max_i a_ij – a_ij).

Для задачі "Постачальник" мінімакс ризику досягається одразу для двох стратегій А ₂ і А ₃:

 

Рішення			max	min
А1
А2
А3
А4

 

Критерій Лапласа

У низці випадків видаються правдоподібними наступні міркування: наскільки майбутні стани природи є невідомі, настільки їх можна вважати рівноймовірними. Цей підхід до рішення використовується в критерії "недостатньої основи" Лапласа.

Розв'язуючи задачу, для кожного рішення розраховується математичне очікування виграшу (імовірність станів природи вважаються однаковими y_j = 1/n, j=1: n), і вибирається те рішення, для якого величина цього виграшу є максимальною:

v _L = max_i å_j (1/n a_ij) = 1/n max_i å_j a_ij.

 

Рішенням гри "Постачальник" за критерієм Лапласа є друга стратегія:

	max
-250
-225	-225
-230
-265

 

Гіпотеза про рівноймовірності станів природи є досить штучною, тому принципом Лапласа можна користуватися лише в обмеженій кількості випадків. У загальнішому випадку слід вважати, що стани природи не є рівноймовірні, і використовувати їх для вирішення критерій Байєса-Лапласа.

 

Критерий Байєса-Лапласа

Цей критерій відступає від умов повної невизначеності – він припускає, що можливим станам природи можна приписати певну вірогідність їхнього настання і, визначивши математичне очікування виграшу для кожного рішення, вибрати те, яке забезпечує найбільше значення виграшу:

v _BL = max_i å a_ij y_j.

Цей метод припускає можливість використання якої-небудь попередньої інформації про стани природи. При цьому передбачається як повторюваність станів природи, так і повторюваність рішень, і передусім, наявність досить достовірних даних про минулі стани природи. Тобто ґрунтуючись на попередніх спостереженнях, прогнозувати майбутній стан природи (статистичний принцип).

Повертаючись до нашої гри "Постачальник", припустимо, що керівники фірми-споживача, перш ніж прийняти рішення, проаналізували, наскільки точно постачальник раніше виконував терміни постачань, і з'ясували, що в 25 випадках з 100 сировина поступала із запізненням.

Виходячи з цього, можна приписати вірогідність настання першого стану природи вірогідність y₂ = 0,75 = (1–0,25), другого – y₁ = 0,25. Тоді згідно з критерієм Байєса-Лапласа оптимальним є рішення А₁.

Стратегії	å aij yj
А1	- 175*
А2	-187,5
А3	- 215
А4	- 297,5

 

Перелічені критерії не вичерпують усього розмаїття критеріїв вибору рішення в умовах невизначеності, зокрема, критеріїв вибору найкращих змішаних стратегій, проте і цього достатньо, щоб проблема вибору рішення стала неоднозначною:

Рішення	Критерії
Стратегії	Вальда	Maxmax	Гурвиця	Севіджа	Лапласа	Байєса-Лапласа
А1		+	+			+
А2			+	+	+
А3	+		+	+
А4

 

З таблиці видно, що від вибраного критерію (а кінець кінцем – від припущень) залежить і вибір оптимального рішення.

Вибір критерію (як і вибір принципу оптимальності) є найбільш складним і відповідальним завданням в теорії прийняття рішень. Проте конкретна ситуація ніколи не буває настільки невизначеною, щоб не можна було отримати хоча б часткової інформації стосовно ймовірнісного розподілу станів природи. У цьому випадку, оцінивши розподіл ймовірностей станів природи, застосовують метод Байєса-Лапласа, або проводять експеримент, який дозволяє уточнити поведінку природи.