Геометрические множества и их размерность

Основной задачей графической подготовки является чтение чертежей. Чтобы по чертежу уметь давать характеристику предмета надо иметь преставления о предметах и поверхностях, определяющих их форму. Основой всех геометрических представлений является понятие о пространстве. Простейшим реальным объектом, который удобно описывать и моделировать с помощью геометрических представлений, является совокупность всех наблюдаемых физических тел, вещей и предметов. Эта совокупность заполняет физическое пространство, которое можно рассматривать как исходный объект, подлежащий изучению, геометрическое пространство – как его математическую модель, Физические связи и отношения между реальными объектами заменяются позиционными и метрическими отношениями геометрических образов. Описание условий реальной задачи в геометрических терминах является очень ответственным и самым сложным этапом решения задачи, требующим сложной цепи умозаключений и высокого уровня абстракции, в результате которого реальное событие облекается в простую геометрическую конструкцию. Важнейшей характеристикой геометрического пространства является его размерность. Самый простой геометрический образ – точка. Под точкой понимается простейший элемент, занимающий положение в пространстве, но не имеющий измерений. Размерность точки равна нулю, Какие образы моделирует точка? Это объекты, размеры которых в данный момент не имеют значения. В одном случае точкой может моделироваться атом, молекула, а в другом случае – спутник, планета. Движение точки А образует линию (в частности прямую l). Так, например, движение самолета образует светящуюся траекторию. Для того чтобы определить положение точки на прямой линии, необходимо задать один параметр. Отсюда размерность линии равна единице (рис.1.1). Движение линии образует двухмерную поверхность (в частности плоскость α). Для определения положения точки на поверхности необходимы два параметра. Движение плоскости образует трехмерное пространство.

R³

Рис. 1.1. Модель линейных образов

Этот ряд рассуждений может быть продолжен дальше до n -мерного пространства. Многомерное пространство используется для описания и моделирования таких явлений, которые зависят от многих (параметров). Например, для описания кинематических явлений, т.е. для моделирования систем, изменяющих свое положение в пространстве и во времени, применяется четырехмерное пространство событий. Движущийся объект изображается мировой линией, каждой точке которой соответствует положение объекта в определенный момент времени. Рассмотрим пример на плоскости α движется объект А со скоростью V (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Пространство событий

Геометрическая модель представляет собой пространственную мировую линию а, каждой точке которой соответствует положение объекта в определенный момент времени. Если скорость равномерная, то мировая линия прямая. Угол наклона мировой линии φ характеризует величину скорости, чем меньше угол, тем больше скорость. При φ = 90^о объект неподвижен. В геометрии различают линейные и криволинейные образы. К линейным геометрическим образам относятся точка, прямая линия, плоскость, пучок прямых линий, связка прямых линий, пучок плоскостей, конгруэнция и т.п. Для определения положения точки и плоскости в пространстве необходимо три параметра. Для выделения прямой линии в пространстве необходимо четыре параметра. К криволинейным образам относятся плоские и пространственные кривые линии и поверхности. Наибольшую известность получили следующие замечательные плоские кривые линии: окружность, эллипс, парабола, гипербола, синусоида, спираль Архимеда, эвольвента, лемниската, кардиоида, конхоида, циклоида, эпициклоида и гипоциклоида. Наибольшее распространение получили поверхности вращения (цилиндр, конус, сфера, тор, косая плоскость, однополостный гиперболоид) и винтовые поверхности. С помощью точек можно определить положение других геометрических образов. Две точки определяют положение прямой, три точки – плоскость. В свою очередь, на плоскости единственную точку определяют две прямые линии, в пространстве – три плоскости. Некоторые геометрические пространства имеют традиционные названия. Множество точек, принадлежащих какой-либо прямой линии, называется прямолинейным рядом точек. Точки, заполняющие кривую линию, образуют криволинейный ряд точек. Плоскость, как множество точек, называется плоским полем точек, а как множество прямых – плоским полем прямых. Если в плоскости зафиксировать точку, то множество прямых линий, проходящих через нее, образует пучок прямых (рис. 1.3). Множество плоскостей, проходящих через фиксированную точку пространства, образует связку плоскостей, а множество плоскостей, проходящих через фиксированную прямую, образует пучок плоскостей (рис. 1.4). В случае, когда точка зафиксирована в трехмерном пространстве, то множество прямых линий, проходящих через нее, образует связку прямых линий (рис. 1.5). Линейной конгруэнцией называется множество прямых линий, пересекающих две фиксированные скрещивающие прямые линии. Однополостным гиперболоидом называется множество прямых линий пересекающих три заданные скрещивающие прямые линии.

Рис. 1.3. Пучок прямых и ряд точек

α α

Рис. 1.4. Пучок плоскостей и ряд точек

Рис. 1.5. Связка прямых и плоское поле точек

Чтобы определить размерность какого-либо множества геометрических образов, необходимо сопоставить его элементы с элементами другого множества, размерность которого уже известна. Так, например пучок прямых (множество прямых, проходящих через одну точку на плоскости) и пучок плоскостей (множество плоскостей, проходящих через одну прямую) являются одномерными множествами, так как эти множества можно взаимно однозначно сопоставить с рядом точек на прямой линии (рис. 1.3 и рис.1.4); размерность связки прямых линий (множества прямых, проходящих через одну точку в пространстве) равна двум, так как это множество можно взаимно однозначно сопоставить с плоским полем точек (рис. 1.5). Иногда для исчисления размерности используется термин число параметров. Таким образом, можно сказать, что размерность пространства определятся количеством независимых переменных (параметров, координат), необходимых для выделения одного элемента множества. Следует заметить, что любой геометрический элемент может рассматриваться пространством, и наоборот, любое пространство может являться элементом другого пространства. Заметим, что любое определение не является жестко фиксированным и носит относительный характер. В геометрии очень широко распространено понятие о геометрических множествах, обладающих определенным свойством. Так, например, геометрическим множеством точек, удаленных от данной точки на заданное расстояние, является сфера. Геометрическим множеством точек, равноудаленных от концов отрезка, на плоскости является прямая линия, в пространстве – плоскость. Геометрическим множеством прямых линий, равно наклоненных к заданной прямой линии и пересекающих ее в одной точке, является конус. Геометрическим множеством прямых линий, параллельных заданной прямой линии и равноудаленных от неё на заданное расстояние является цилиндрическая поверхность вращения. Геометрическим множеством прямых линий, пересекающих три скрещивающиеся прямые линии, является однополостный гиперболоид вращения. Геометрическим местом точек пространства, равноудаленных от заданных прямых параллельных линий является плоскость, перпендикулярная к плоскости заданных прямых линий и проходящая между ними по середине.