Вопрос 24. 1.1.Главная линейная часть приращения функции A x называется дифференциалом функции

в точке x 0, соответствующим приращению аргумента x, и обозначается символом dy или

df (x 0).

1.2.

1.3.

Вопрос 25. 1.1. Производные высших порядков([1], глава 5, § 10, п. 1)

Пусть функция y = f (x) определена и дифференцируема на интервале (a, b). Тогда ее

производная f ‘(x) представляет собой функцию переменной x также определенную на интервале

(a, b). f '(x) в свою очередь может оказаться дифференцируемой в некоторой точке x интервала (a, b).

Производную от функции f ' (x) называют второй производной (производной второго порядка) от

функции f (x) и обозначают f ''(x) или y ''. Итак, y ''= f ''(x) = ( f '(x))'.

Вопрос 26. 1.1. Дифференцирование функции, заданной параметрически. Пусть x и y заданы как функции некоторого параметра t: x = (t), y = (t).

Предположим, что эти функции дифференцируемы в некоторой области изменения переменной t,

а функция x = (t) имеет в указанной области обратную функцию t = (x). Тогда функцию y

можно рассматривать как сложную функцию переменной x. Найдем производную функции y по

переменной x. В силу инвариантности формы первого дифференциала имеем .

 

Вопрос 27. 1.1. Точка x = c называется точкой локального максимума, если найдется -окрестность точки c, в пределах которой значение f (c) является наибольшим, то есть для любого x из интервала  справедливо неравенство f (c) ≥ f (x).

Точка x = c называется точкой локального минимума, если найдется - окрестность точки c, в пределах которой значение f (c) является наименьшим, то есть для

любого x из интервала  справедливо неравенство f (c) ≤ f (x).

1.2. Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием локальный

экстремум.

1.3. Теорема Ферма (необходимое условие локального экстремума дифференцируемой

функции). Если функция f (x) дифференцируема в точке c и имеет в этой точке локальный

экстремум, то f ‘(c) = 0.

Вопрос 28. 1.1. Теорема Ролля. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех

внутренних точках этого отрезка. Пусть, кроме того, f (a) = f (b). Тогда внутри отрезка

найдется точка такая, что значение производной в этой точке f ‘() равно нулю.

1.2. Теорема Лагранжа. Если функция f (x) непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка найдется точка такая, что справедлива формула f (b) - f (a) = f ‘()(b- a).

1.3. Теорема Коши. Если каждая из функций f (x) и g (x) непрерывна на отрезке и

дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и если, кроме того, производная

g ’(x) отлична от нуля всюду внутри отрезка , то внутри отрезка найдется точка

такая, что справедлива формула

Вопрос 29. 1.1. Правило Лопиталя. Правило говорит, что если функции и обладают следующим набором условий:

1. или ;
2. ;
3. в некоторой окрестности точки ,

тогда существует .

Вопрос 30. 1.1. Функция f (x) возрастает (убывает) в точке x = c, если найдется такая

окрестность точки c, в пределах которой f (x) > f (c) при x > c и f (x) < f (c) при x < c (f (x) < f (c) при x > c и f (x) > f (c) при x < c).

1.2. Если функция f (x) дифференцируема в точке c и f ‘(c) > 0 (f ‘(c) <0), то эта

функция возрастает (убывает) в точке c.

1.3. Для того, чтобы дифференцируемая на интервале   функция f (x) не убывала

(не возрастала) на этом интервале необходимо и достаточно, чтобы производная этой функции

была неотрицательной (неположительной) на этом интервале.

Если всюду на интервале a,b производная функции f (x) положительная (отрицательная),

то функция на этом интервале строго возрастает (строго убывает).

Вопрос 31. 1.1. Для отыскания у дифференцируемой функции точек

возможного экстремума следует найти все корни уравнения f ‘(x) = 0.

Точки, в которых производная функции f (x) обращается в нуль, называются

Стационарными точками.

1.2. Теорема (первое достаточное условие локального экстремума). Пусть точка x = c

является точкой возможного экстремума функции f (x), и пусть функция f (x) дифференцируема

всюду в окрестности точки c. Тогда, если в пределах указанной окрестности производная f ‘(x)

положительна слева от точки c и отрицательна справа от точки c, то функция f (x) имеет в этой

точке локальный максимум. Если же производная f ‘(x) отрицательна слева от точки c и

положительна справа от точки c, то функция f (x) имеет в этой точке локальный минимум. В

случае, когда производная f ‘(x) имеет один и тот же знак слева и справа от точки c, то точка c

не является точкой локального экстремума.

Теорема (второе достаточное условие локального экстремума). Пусть точка x = c

является точкой возможного экстремума функции f (x), и пусть функция f (x) имеет в точке c

конечную вторую производную. Тогда точка c является точкой локального максимума, если

f ‘’(c) < 0, и минимума, если f ‘’(c) >0.

1.3. Теорема. Пусть функция f (x) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки c,

за исключением, быть может, самой точки c, и непрерывна в точке c. Тогда, если в пределах

указанной окрестности производная f ‘(x) положительна (отрицательна) слева от точки c и

отрицательна(положительна) справа от точки c, то функция f (x) имеет в этой точке локальный

максимум (минимум).

1.4. Наибольшим (наименьшим) значением функции на множестве называется значение

функции в точке x 0, принадлежащей этому множеству, если для любого x справедливо

неравенство f (x 0) ≥ f (x) (f (x 0) ≤ f (x)).

Наибольшее (наименьшее) значение функции называют также глобальным максимумом

(минимумом).

Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке . Тогда согласно второй теореме

Вейерштрасса функция достигает на этом отрезке своих точной верхней и нижней граней, то есть

найдутся точки, принадлежащие этому отрезку, в которых функция принимает наибольшее и

наименьшее значение. Причем наибольшее и наименьшее значения функция принимает либо в

точке локального экстремума, либо в граничной точке, то есть

где ci — точки локальных экстремумов на отрезке .

 

Вопрос 32. 1.1. Направление выпуклости графика функции.

Определение. Говорят, что график функции y = f (x) имеет на интервале (a, b) выпуклость,

направленную вниз (вверх), если график этой функции лежит не ниже (не выше) любой своей

касательной.

Теорема. Если функция y = f (x) имеет на интервале (a,b) конечную вторую

производную и если эта производная неотрицательна (неположительна) всюду на этом

интервале, то график функции имеет на интервале (a,b) выпуклость, направленную вниз

(вверх).

1.2. Точки перегиба графика функции.

Определение. Точка M (c, f (c)) графика функции y = f (x) называется точкой перегиба

этого графика, если существует такая окрестность точки x = c оси абсцисс, в пределах

которой график функции справа и слева от точки c имеет разные направления

выпуклости.

1.3. Необходимое условие перегиба графика дважды дифференцируемой функции.

Пусть функция f (x) имеет в точке x = c непрерывную вторую производную. Тогда, если

точка (c, f (c)) является точкой перегиба графика функции, то f ''(c) = 0.

1.4. Достаточное условие перегиба.

Если функция f (x) дифференцируема в точке x = c, дважды дифференцируема в

некоторой окрестности точки c, за исключением, быть может, самой точки c и вторая

производная f ''(x) меняет знак при переходе аргумента через точку c, то точка (c, f (c))

является точкой перегиба графика функции.

 

Вопрос 33 Асимптоты графика функции. Определение. Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции y = f (x), если хотя бы одно из предельных значений или равно + или - .

Определение. Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции y = f (x) при x → x → , если f (x) представима в виде f (x) = kx + b + (x), где (x)

— бесконечно малая функция при x → x → .

Вопрос 34. Общая схема исследования функции и построения ее графика

• Найти область определения функции. Выделить особые точки (точки разрыва).
• Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
• Найти точки пересечения с осями координат
• Установить, является ли функция чётной или нечётной.
• Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций, остальные непериодические, пункт пропускается).
• Найти точки экстремума и интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции.
• Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
• Найти наклонные асимптоты функции.
• Построить график функции.