Гармонійний аналіз тимчасового ряду

1. Для визначення вигляду залежності будуємо кореляційне поле тимчасового ряду, тобто наносимо на площину TOY графік функції Y = f(T) (рис. 5.2). Вигляді поля показує, що зі збільшенням T значення Y, в основному, зменшується. Тому за модель залежності може бути прийнята гіперболічна крива

 

 

2. Приведемо модель до лінійного вигляду шляхом заміни Z=1/T.

Тоді відповідно до МНК для лінійної залежності Y=a+bZ оцінки параметрів рівняння визначаються за формулами:

; (5.22)

(5,23)

де n - обсяг вибірки (n=12);

- середні арифметичні відповідних значень.

Для розрахунку параметрів знаходимо проміжні значення: вибіркові середні вибіркові дисперсії , середні квадратичні відхилення , парний коефіцієнт кореляції .

 

У даному випадку одержимо наступні значення:

0,94	50,32	7,09	0,07	0,26	8,8	0,26	2,25	25,32

У результаті гіперболічна залежність набуде вигляду:

2,25 +25,32 / T.

3. Перевіримо отриману модель на адекватність статистичним даним. Для цього оцінимо параметр рівняння на значимість відмінності від нуля за критерієм Стьюдента. Розрахункове значення критерію визначимо за формулою:

, (5.24)

де . (5.25)

Дисперсія залишків S²_зал. визначається за формулою:

(5.26)

Табличне значення знаходимо за таблицею t-розподілу для імовірності a=0,05 і числа ступенів свободи k = n-2 = 12-2 = 10.

У даному випадку одержимо наступні значення:

			tb	t кр=t(0,05; 10)
6,471	2,544	2,913	8,69	2,23

 

Якщо розрахункове значення критерію Стьюдента більше табличного, то параметр суттєво відрізняється від нуля.

Адекватність моделі визначимо за критерієм Фішера.

Розрахункове значення критерію можна обчислити за формулою:

, (5.27)

де R - коефіцієнт кореляції, обумовлений за формулою:

. (5.28)

Табличне значення знаходимо за таблицею F-розподілу для імовірності a = 0,05 і числа ступенів свободи k₁ = m = 2 і k₂ = n-m = 12-2 = 10.

У даному випадку одержимо наступні значення:

R2	Fp
0,883	75,537	4,965

Якщо розрахункове значення критерію Фішера більше табличного, то обрану модель можна вважати адекватною.

4. Для перевірки слушності моделі визначимо наявність автокореляції в залишках із використанням критерію фон Неймана.

Розрахункове значення критерію визначається за формулою:

, (5.29)

де Хt - значення залишків, тобто .

 

	65,51	64,709	1,10

 

Для рівня значущості α=0,05 і об'єму вибірки n=12 знаходимо за таблицею критичні значення для критерію фон Неймана Q_L=1,22 і Q_U=3,49.

У нашому випадку, оскільки Q_р < Q_L, то автокореляція залишків є.

Отже, остаточна модель набуде вигляду:

2,25 + 25,32 / T

і адекватна вихідним даним з імовірністю Р=0,95.

5. Наявність автокореляції залишків говорить про те, що в залишках є невиявлена залежність. Оскільки на графіку, додаток С4, рис.5.3, значні коливання, причому різної амплітуди, то невиявлена залежність періодична. Загальне рівняння має вигляд:

Р₁(t) = А0+А1* cos (Пt/6)+В1 *sin (Пt/6)+А2*cos (Пt/3)+ В2 *sin (Пt/3)

Знаходимо коефіцієнти гармонічних коливань за формулами:

;

; ;

; . (5.30)

Отримуємо:

А0	А1	В1	А2	В2
	0,773	1,92	0,924	0,381
	гармоніка 1	гармоніка 2

 

6. Для перевірки значущості впливу гармонічних коливань знаходимо квадрати їх амплітуд R₁² та R₂²:

для гармоніки 1 R₁²=A₁²+B₁²; для гармоніки 2 R₂²=A₂²+B₂².

Потім обчислимо розрахункові значення критерію Фішера за формулами:

, (5.31)

. (5.32)

F критичне знаходимо, використовуючи вбудовану статистичну функцію FРАСПОБР(0,05;10;2).

Оскільки F1та F2< F_кр, то вплив гармонік значущий і вони включаються в залежність.

 

R12	R22	F1=	3,022	- значуще
4,283	0,999	F2=	12,951	- значуще
		Fкр=	19,396

Підставляємо розраховані дані у початкове рівняння:

P₁(t)= 0,17399 cos(Pi/6*t)+ 1.919835 sin(Pi/6*t) + 0,924231 cos(Pi/3*t) + 0,380865 sin(Pi/6*t)

та формуємо рівняння тренду с періодичною складовою:

У= 3,1733+25,32/Т+0,772534 cos(Pi/6*t))+ 1,919835 sin(Pi/6*t) +0,924231 cos(Pi/3*t) +

+0,380865 sin(Pi/6*t)

7. Перевірка адекватності отриманої моделі здійснюється з використанням розрахункового значення критерію Фішера за формулою:

, (5.33)

де залишкова дисперсія знаходиться за формулою

(5.34)

F критичне знаходимо, використовуючи вбудовану статистичну функцію FРАСПОБР(0,05;11;6).

S2зал	Fроз	Fкр
5,503	9,14	4,03
- модель адекватна

Якщо розрахункове значення критерію Фішера більше табличного, то отримана залежність адекватна експериментальним даним.

 

5.4 Система одночасних регресій

1. Структурна форма системи моделі має вигляд:

.

Прогнозна форма системи має вигляд:

.

 

2. Для перевірки ідентифікованості моделі перевіримо ідентифікованість кожного рівняння структурної форми. Умова ідентифікованості i-го рівняння:

m - m_i ³ n_i - 1,

де m - число незалежних перемінних x_it в моделі (m=2);

m_i - число незалежних перемінних x_it в i-му рівнянні;

n_i - число залежних перемінних y_it в i-му рівнянні.

Тоді [2-1] = [2-1], отже обидва рівняння регресії ідентифіковані. Тому модель теж ідентифікована. Це означає, що коефіцієнти структурної і прогнозної форм взаємооднозначно виражаються один через одного.

3. Для одержання структурної форми моделі застосуємо непрямий метод найменших квадратів (НМНК).

Оскільки коефіцієнти прогнозної форми задані, то непотрібно застосовувати МНК для їхнього визначення за алгоритмом НМНК.

c10	c11	c12	c20	c21	c22
9,3	3,6	1,8	4,9	3,8	2,8

Визначимо коефіцієнти структурної форми.

 

0,64	1,06	1,16	0,90	6,15	-4,92

Тоді структурна форма моделі набуде вигляду:

0,64 ×y_2t + 6,15 + 1,16 ×x_1t;

1,06 ×y_1t -4,92 + 0,9 ×x_2t.

4. Зробимо економічний аналіз отриманої моделі в структурній формі, що відбиває зв'язок y₁ і y₂.

Визначимо і за прогнозною формою.

= 688,26;

= 788,18.

 

Визначимо коефіцієнти еластичності, що показують силу впливу y₁ на y₂ і y₂ на y₁.

0,74	0,92

 

Таким чином, при збільшенні імпорту y₂ на 1% експорт y₁ збільшується в середньому на 0,92 %, а при збільшенні експорту y₁ на 1% імпорт y₂ збільшується в середньому на 0,74 %.