Лекция 19. Взаимодействие тяжелых заряженных частиц с веществом

19.3. Релятивистские эффекты. Формула Бете-Блоха и ее анализ. Согласно нерелятивистской теории, максимальный импульс, передаваемый тяжелой частицей отдельному электрону, равен 2 m_ev_a (ПРИЛОЖЕНИЕ И). Для релятивистской частицы результат будет иным. При релятивистских скоростях движущегося заряда его электрическое поле изменяется: продольное поле, направленное вдоль линии движения частицы, уменьшается пропорционально (1 – β ²), где β = v_a / c, а поперечное поле увеличивается пропорционально . Продольное сжатие уменьшает эффективное время взаимодействия частицы с электроном, а поперечное нарастание увеличивает кулоновскую силу, действующую на электрон. В результате максимальный импульс, передаваемый электрону, увеличивается в раз, а максимальная кинетическая энергия – в 1/(1 – β ²) раз.

Последовательный учет релятивизма дает для тормозной способности следующий результат:

. (19.7)

При v_a << c формула (19.7) переходит в (19.6), а в релятивистском пределе v_a → c предсказывает хотя и медленный, но неограниченный рост тормозной способности. В действительности неограниченному росту препятствует эффект плотности – экранировка влияния поля частицы на далекие атомы среды, происходящая благодаря поляризации более близких атомов. Для учета эффекта плотности в формулу (19.7) вводят еще одну поправку δ, явная зависимость которой от характеристик частицы и свойств среды такова, что компенсирует рост ионизационных потерь с увеличением энергии:

. (19.8)

В газах эффект плотности невелик, и рост тормозной способности наблюдается до очень высоких энергий. В твердых телах и жидкостях, где плотность электронов велика, он выражен сильнее, и кривая тормозной способности, достигнув минимума при Т_а ≈ m_ac ² (где Т_а кинетическая энергия, m_a – массы частицы) далее поднимается незначительно, практически выходя на плато (рис. 19.3).

Последний член формулы (19.8), обозначенный буквой U, вносит поправку при относительно низкой энергии заряженной частицы. Если ее скорость сравнивается с орбитальной скоростью К - и L -электронов, последние перестают участвовать в соударениях, вследствие чего тормозная способность несколько уменьшается.[165]

Формула (19.8) – основная в теории ионизационного торможения быстрых тяжелых заряженных частиц – называется формулой Бете-Блоха. Отметим, что логарифмический множитель – медленно меняющаяся функция скорости частицы, так что основная зависимость тормозной способности от свойств частицы и вещества определяется выражением, стоящим перед логарифмом. С учетом этого проанализируем формулу Бете-Блоха. Во-первых, можно видеть, что зависимость ионизационных потерь от кинетической энергии и массы частицы сводится к зависимости от их отношения, т.е. скорости. Во-вторых, ионизационные потери пропорциональны квадрату заряда частицы, т.е.

.

Это означает, например, что тормозные способности какого-либо вещества для протона и α-частицы при одинаковой скорости этих частиц различаются в 4 раза, а при одинаковой кинетической энергии – в 16 раз.

Ионизационные потери пропорциональны плотности числа электронов в веществе. Обозначим через n ₀ плотность числа атомов в веществе. Тогда где Z – атомный номер вещества. Плотность числа атомов связана с массовой плотностью r через массовое число А. Поэтому

.

Учитывая, что отношение Z / A меняется от вещества к веществу в довольно узких пределах (0,5 для гелия и 0,4 для свинца), получаем, что тормозная способность вещества пропорциональна, в основном, его плотности. Вводя определение массовой тормозной способности

, (19.9)

видим, что эта величина очень мало меняется от вещества к веществу. Другими словами, потери энергии частицы при прохождении одного и того же слоя x_m, выраженного, например, в г/см², в различных веществах примерно одинаковы.

В заключение отметим, что формула Бете-Блоха остается справедливой до тех пор, пока скорость частицы много больше скорости движения атомных электронов. Как уже отмечалось, в конце пути, когда частица теряет большую часть своей первоначальной энергии, основной вклад в ионизационное торможение вносит перезарядка. Прослеживая мысленно процесс замедления частицы «до конца», мы дойдем до энергий порядка эВ, когда частица уже не может ни ионизировать, ни возбуждать. Дальнейшее замедление таких частиц происходит благодаря упругому рассеянию на атомах и молекулах. Постепенно этот процесс переходит в диффузию, и, в конце концов, попавшие в вещество заряженные частицы включаются в общее тепловое движение атомов.

19.4. Композиционный закон Брэгга. Упругое рассеяние на ядрах. Для того чтобы обобщить формулу Бете-Блоха на тот случай, когда среда, через которую проходит частица, содержит атомы разного сорта, используют т.н. композиционный закон (или правило) Брэгга, сущность которого состоит в следующем. Если вещество представляет собой химическое соединение A_mB_n из атомов A и B, то его тормозная способность складывается с соответствующими весами из тормозных способностей составляющих его химических элементов:

. (19.10)

Обобщение этого правила на любое химическое соединение очевидно. Правило Брэгга вытекает из предположения, что химическая связь между атомами в молекуле не влияет на взаимодействие проходящей через вещество частицы с атомными электронами. В действительности это не так, поскольку атомы вещества, образуя молекулы, всегда в той или иной степени меняют свои индивидуальные свойства. Опыт показывает, что для бинарных соединений A_mB_n тормозная способность всегда на несколько процентов меньше, чем это следует из композиционного закона. Степень нарушения закона связана с тем, в каком соотношении друг с другом находятся вклады в торможение от электронов внешних оболочек атомов (участвующих в химической связи) и от электронов внутренних оболочек (слабо чувствующих эту связь).

Кулоновское взаимодействие заряженной частицы с атомным ядром может привести к заметному изменению направления ее движения и энергии. Вероятность рассеяния тяжелой заряженной частицы ядром описывается формулой Резерфорда (1.2).[166] Роль упругих соударений растет с ростом массы заряженной частицы и атомного номера вещества. Относительные потери энергии, связанные с рассеянием на ядрах, невелики и уменьшаются с ростом энергии. Так, для протонов с энергией 10 МэВ и 100 МэВ потери энергии на упругое рассеяние в алюминии составляют всего 0,09 и 0,06% от общих потерь соответственно. Однако упругое рассеяние способно привести к заметному искривлению трека частицы.

19.5. Пробег тяжелой заряженной частицы. Связь пробега с энергией. Если пренебречь взаимодействием с атомными ядрами,можно с помощью формулы Бете-Блоха оценить пробег R тяжелой заряженной частицы с начальной скоростью v ₀ (или энергией Т_а):

где N ₀ – число Авогадро, L (v_a) – логарифмическая функция в формуле (19.8). Пренебрегая этой слабой зависимостью тормозной способности от v_а, получаем

. (19.11)

Таким образом, пробег частицы обратно пропорционален ее массе и квадрату заряда. Тогда для двух частиц 1 и 2, имеющих одинаковую энергию

. (19.12)

Согласно (19.12) пробег протонов и α-частиц одинаковой начальной энергии в одном и том же веществе должен различаться в 16 раз. Сравним это с тем, что дает эксперимент: пробег протонов с энергией 10 МэВ в алюминии составляет 630 мкм, пробег α-частиц той же энергии – около 61 мкм. Их отношение не 16 (около 10,3), но не так уж сильно отличается от этого значения. Учет логарифмической функции L (v_a) дает результат, еще более близкий к экспериментальному.

Рассмотрим теперь зависимость пробега от природы вещества. Если пренебречь зависимостью от среднего потенциала ионизации, то, согласно (19.11), пробег частицы оказывается обратно пропорциональным массовой плотности вещества. Тогда произведение R_m = Rρ дает пробег, выраженный в массовых единицах (например, г/см²), который в первом приближении не зависит от материала.

Выше уже отмечалось, что траектории тяжелых заряженных частиц в веществе являются почти прямолинейными: вероятность взаимодействия с атомными ядрами весьма мала, а взаимодействие с атомными электронами не приводит к существенному искривлению траектории из-за их малой массы. Экспериментальное определение изменения числа моноэнергетических частиц N в узком пучке[167] приводит к зависимости N от х, изображенной на рис. 19.4. До определенного расстояния x число частиц в пучке постоянно, так как рассеяния на большие углы не происходит. Далее N быстро падает до нуля, т.е. пробеги частиц практически одинаковы. Небольшие колебания пробега связаны со статистическим характером процесса потери энергии. Частицы теряют свою энергию в очень большом, но конечном числе отдельных актов столкновений. Флуктуациям подвержено как число таких актов на единицу пути, так и потеря энергии в каждом отдельном акте. Дифференциальная кривая распределения пробегов неплохо следует нормальному распределению

.

Максимум на дифференциальной кривой отвечает среднему пробегу . Экстраполяцией прямолинейного участка интегральной кривой N (x) от точки с абсциссой получают экстраполированный пробег R_э. Величина отклонения от среднего для протонов в диапазоне энергий от 1 до 10⁵ МэВ в различных средах составляет 1-2% от . Для более тяжелых частиц той же энергии эта величина еще меньше.

Сравнительно небольшие разбросы в длинах пробегов позволяют определять энергии частиц по значениям пробега. Так, на основании массива экспериментальных данных установлены эмпирические соотношения между средним пробегом α-частиц в воздухе при нормальных условиях (см) и их энергией T_a (МэВ). Одно из них выглядит так:

. (19.13)

Оно выполняется с точностью до 5% для α-частиц с энергией 4-7 МэВ. При меньших энергиях величина пробега оказывается пропорциональной T_α ^3/4, а при более высоких энергиях T_α ².

Если известен пробег α-частиц в воздухе, то пробег в другой среде может быть найден из равенства пробегов, выраженных в массовых единицах:

, (19.14)

где r и r _В – плотности среды и воздуха соответственно. Более точные соотношения учитывают влияние природы вещества. Так, для сложного вещества со средним атомным номером , средней атомной массой и плотностью r (кг/м³) пробег α-частиц (см)

. (19.15)

19.6. Потери энергии осколками деления. Образующиеся при делении ядер урана или плутония осколки представляют собой многократно заряженные ионы: сразу же после деления они имеют заряд порядка +20 e (табл. 19.1). Процесс торможения осколков отличается от торможения в веществе других заряженных частиц, таких, как протоны или α-частицы, которые почти по всей длине пути сохраняют свой заряд. Процесс перезарядки, т.е. захвата и потери электронов этими частицами, существенен лишь в самом конце пути. Напротив, осколки деления в процессе торможения непрерывно меняют свой заряд, а это приводит к тому, что удельные ионизационные потери имеют наибольшее значение в начале пути осколка и монотонно уменьшаются по мере его торможения. Поэтому максимум на кривой Брэгга у осколков деления отсутствует.

Таблица 19.1.

Усредненные по спектру свойства осколков деления

При торможении осколков деления существенное значение приобретают упругие столкновения с ядрами. Это можно пояснить следующим образом. Если принимать во внимание только заряды атомов среды и заряды тормозящихся частиц, то ионизационные потери пропорциональны Z_э ² Z, где Z_э – эффективный заряд осколка (в первом приближении это разность заряда ядра осколка и числа электронов в его оболочке, т.е. заряд иона). Потери энергии, обусловленные столкновениями с ядрами, пропорциональны Z_a ² Z ², где Z_а – заряд ядра осколка (столкновения осколков с ядрами происходят на таких близких расстояниях, что экранировкой заряда ядра электронной оболочкой можно пренебречь). Следовательно, отношение потерь энергии, обусловленных столкновениями с ядрами, к ионизационным потерям оказывается пропорциональным (Z_a / Z_э)² Z. Для протонов и α-частиц (Z_a / Z_э)² = 1, а для осколков деления даже в начале пути (Z_a / Z_э)² ≈ 4; к концу пути эта величина увеличивается в сотни раз. Из-за сравнительно большой вероятности упругого рассеяния на ядрах для осколков деления среднеквадратичный угол рассеяния больше, чем для протонов и α-частиц. По этой же причине треки осколков деления сопровождаются короткими треками ядер отдачи с большой плотностью ионизации.