VI. Вычисление погрешностей косвенных измерений

 

Пусть измеряемая величина связана с результатами прямых измерений некоторой функциональной зависимостью . Существует два способа определения погрешности косвенного измерения.

Первый способ. Полагаем результатом прямого измерения. Тогда для каждого из значений вычисляется , а затем среднее арифметическое

.

Полная погрешность определяется тем же самым способом, что и погрешность прямого измерения, т.е.

Первый способ рекомендуется использовать в следующих случаях:

1. условия эксперимента значительно изменяются от опыта к опыту;

2. формула, по которой рассчитывается результат косвенного измерения, сложна и громоздка.

Второй способ. Для каждой величины, полученной путём прямых измерений, находятся их средние значения и погрешности в качестве наилучшего прибли­жения для результата косвенного измерения берется значение , получающееся при постановке в расчётную формулу средних экспериментальных результатов

.

Погрешности величины , обусловленные погрешностями одной из первичных величин, определяются:

Если погрешности прямых измерений невелики, то

;

;

где , , - частные производные функции по аргументам , соответственно. При вычислении частной производной все величины, кроме , в формуле для считаются постоянными и вместо истинных значений подставляются их средние экспериментальные значения.

Таким образом, получаем основные формулы для подсчёта абсо­лютной погрешности косвенного измерения и его относительной погрешности :

(5)

(6)

где

;

;

.

При вычислении по формулам (5), (6) рекомендуется сопоставить значения , чтобы определить, которое из пря­мых измерений даёт наибольший вклад в погрешность результата.

Погрешности, не превышающие 1/3 от максимальной, можно отбросить!

Рассмотрим применение формул (5) и (6) для ряда наиболее важных частных случаев:

1) - измеряемая величина представляет, собой
сумму результатов прямых измерений и .

,

.

2) - измеряемая величина представляет, собой
разность результатов прямых измерений и .

,

.

3) - измеряемая величина представляет, собой
произведение результатов прямых измерений и .

,

.

4) - измеряемая величина представляет, собой
частное результатов прямых измерений и .

,

.

5) измеряемая величина связана с результатом прямого измерения степенной зависимостью.

,

.

 

РЕКОМЕНДАЦИИ: в первых двух рассмотренных случаях целесообразно сразу рассчитывать абсолютную погрешность косвенного измерения, а в 3-5 случаях и их сочетаниях сначала рассчитать относительную погрешность косвенного измерения, а затем абсолютную погрешность .

Результат косвенного измерения записывается так же, как и результат прямого измерения (см. раздел «ЗАПИСЬ РЕЗУЛЬТАТА ПРЯМОГО ИЗМЕРЕНИЯ»).