Информационная емкость непрерывного сигнала. Теорема отсчетов (Теорема Котельникова)

Пусть сигнал S(t) представляет непрерывную функцию времени, действующую на интервале времени от 0 до T. Разбив сигнал на сколь угодное количество коротких импульсов можно трактовать их как совокупность неограниченно большого числа дискретных сигналов (импульсов), обладающими различными уровнями. Рассматривая каждый уровень, как определенное сообщение и учитывая, что как число уровней, так и число импульсов может быть бесконечно большим, приходим к противоположному здравому смыслу выводу, что в непрерывном сигнале конечной длительности может содержаться бесконечно большое количество информации. Ошибочность подобного суждения заключается в следующем:

1. Бесполезно производить отсчеты сигнала S(t) слишком часто. Для каждого непрерывного сигнала имеется определенный интервал между соседними выборками, сокращение которого не даст дополнительных сведений о сигнале. Вся содержащаяся в непрерывном сигнале информация может быть определена совокупностью выборок взятых из сигнала в дискретные равностоящие моменты времени. Величина интервала ∆t между соседними выборками зависит от наивысшей частоты в спектре сигнала: чем больше эта частота, тем меньше должен быть интервал. Если наивысший интервал меньше Fm, то интервал между выборками не должен превышать1\2Fm. Это важное положение основывается на теореме Котельникова: если наивысшая частота в спектре функции S(t) меньше чем Fm, то функция S(t) полностью определяется последовательность своих значений в моменты отстоящей друг от друга не более чем 1\2Fm секунд (теорема отсчетов).При полной длительности сигнала т число выборок равно N.

N=T\∆t+1=2FmT+1, т.к. обычно 2Fm»1, то N≈2FmT

2. Бесполезно пытаться измерить сколь угодно малое изменении выборки, так как помехи всегда присутствующие в реальном сигнале ограничивают точность измерений. Минимальные изменения сигнала, обнаруженные измерительным устройством, может быть в первом приближении приравнено к уровню шумов (канала связи, самого измерительного устройства). Таким образом, при эффективном напряжении помехи σ (нормальный случайный процесс) и эффективном напряжении Uс σ число различимых уровней смеси (сигнал + шум) может быть представлено в виде отношения:

Если еще проще, то допустим у вас есть речевой сигнал. Он содержит частоты от 300 Герц до 3 килогерц. Для его передачи по цифровому каналу связи вам потребуется "выхватывать" мгновенные значения этого сигнала с частотой, в два раза превышающей самую высокочастотную компоненту сигнала, т. е. 6 кГц. Иными словами, шесть тысяч раз в секунду вы будете измерять значение сигнала, который изменяется не чаще трех тысяч раз в секунду.

Суть теоремы состоит в том, что вместо передачи непрерывного аналогового сигнала можно передавать соответствующий ему дискретный сигнал.

Формулировка теоремы: непрерывный сигнал, спектр которого не содержит частот больших fm может быть однозначно представлен своими мгновенными значениями (выборками), разделёнными одинаковыми интервалами времени, длина которых не должна превышать 1/2fm.

Другими словами период дискретизации должен хотя бы в два раза меньше периода наивысшей частотной составляющей спектра непрерывного сигнала, т.е. на каждый период наивысшей частотной составляющей должно приходиться по крайней мере два отсчёта (выборки). Таким образом, частота следования отсчётов должна по крайней мере в два раза превышать наивысшую частоту в спектре непрерывного сигнала. Полученный дискретный сигнал может быть передан по каким-либо линиям связи и из него фильтром нижних частот на стороне приёмника может быть однозначно восстановлен исходный аналоговый сигнал.

С другой стороны, непрерывный сигнал может иметь бесконечный спектр частот, но так как гармоники этого сигнала могут монотонно уменьшаться по амплитуде при увеличении номера гармоники, то с некоторой степенью точности можно считать спектр такого сигнала ограниченным.

Точность воспроизведения непрерывного сигнала во многом определяется характеристиками фильтра нижних частот и не оказывает влияния на корректность теоремы Котельникова в данном случае. Также, точность воспроизведения непрерывного сигнала определяется количеством уровней квантования в процессе получения отсчётов. Однако, если выбрать количество уровней квантования в соответствии с динамическим диапазоном и чувствительностью конкретной системы, то точность воспроизведения непрерывного сигнала не будет ухудшаться процессом получения отсчётов. Это утверждение, в частности, может быть до определённой степени справедливым, когда уровень шумов, присутствующий в исходном сигнале больше шага квантования. В этом случае не имеет смысла увеличивать количество уровней квантования, так как к повышению точности получения отсчётов это не приведёт