Известно несколько критериев выбора частоты квантования по времени. К таким критериям относится, в частности, частотный критерий В.А. Котельникова. Данный критерий, который получил название теоремы В.А. Котельникова, основывается на следующей модели сигналов:
- сигнал представляет собой стационарный случайный процесс;
- спектр сигнала сплошной и ограничен некоторой частотой, за пределами которой он тождественно равен нулю.
Теорема В.А. Котельникова: если непрерывная функция x(t) удовлетворяет условиям Дирихле (ограничена, кусочно-непрерывная и имеет конечное число экстремумов) и ее спектр ограничен некоторой частотой fc, то она полностью определяется отсчетами, находящимися на расстоянии 
друг от друга.
Для доказательства теоремы рассмотрим выражения прямого и обратного преобразования Фурье непрерывной функции x(t).
, (1.62)
. (1.63)
В рассматриваемом частном случае функции с ограниченным спектром можно записать
. (1.64)
Дополним функцию до периодической с периодом, равным 2fc (рисунок 1.10) и разложим ее в ряд Фурье.
, (1.65)
где 
. (1.66)
Сравнивая выражения (1.64) и (1.66) замечаем, что они совпадают с точностью до постоянного множителя 
, если принять 
.
Следовательно,
.
Подставив найденное выражение для 
в (1.65), получим
. (1.67)
После подставки (1.67) в (1.64), замены знака при k (т.к. суммирование производится по всем положительным и отрицательным значениям k) и перестановки операций суммирования и интегрирования получим
. (1.68)
Вычислим интеграл
(1.69)
т.к. 
.
После подстановки (1.69) в (1.68) окончательно получим
. (1.70)
Полученное выражение представляет аналитически теорему
Котельникова.
Из (1.70) видно, что непрерывная функция X(t) (рисунок 1.11, а), обладающая ограниченным спектром, может быть представлена разложением в ряд, каждый член которого выражается одинаковой функцией вида sin(x)/x (функция отсчета), но с различными коэффициентами 
(рисунок 1.11, б).
 |
Ряд (1.70) представляет собой разложение случайного процесса с координатными функциями (детерминированными функциями времени) и весовыми коэффициентами
, являющимися случайными величинами, равными мгновенным значениям сигнала в точках 
.
Функция отсчетов в момент времени 
достигает максимума и равна единице. В моменты времени 
, где i=1,2,3… функция отсчетов убывает, обращаясь в нуль при t=∞.
Сумма (1.70) в каждый k-ый момент времени определяется только одним k‑ым слагаемым, т.к. все остальные слагаемые в этот момент времени обращается в нуль. Внутри промежутка 
восстанавливаемая функция определяется всеми слагаемыми (рисунок 21, а - непрерывная плавная линия).
