К вопросу о выборе масштаба

Приведу несколько соображений по поводу неоднозначности выбора масштаба. В пункте 3.5 был приведен пример оформления оси Х и Y, в котором риски на обоих осях были проставлены через 5 клеток. Всегда ли такое разбиение возможно, а если возможно, то всегда ли это удобно?

Возьмем данные о дальности полета шарика из табл.6 и вновь предпримем попытку нарисовать график, но нашу миллиметровую бумагу развернем на 90°. Теперь на оси Y укладывается 45 клеток, а на оси Х – 34 клетки (см. рис.26).

 

Как же разбить ось Х, чтобы уместить на ней значение угла 90°? Число 34 не делится на 9. Можно взять ближайшее число, которое меньше 34 и делящееся на 9 – это 27. Итак, после деления получим 3 клетки. Это значит, что каждые три клетки будут соответствовать 10°. Неплохо? Для нашего эксперимента этот вариант приемлем, потому что координаты экспериментальных данных по углу будут совпадать с рисками, что очень удобно, но реализуется не всегда. В других случаях такое разбиение оси по 3 клетки не приветствуется.

Перейдем к оси Y. Максимальное значение масштабной метки должно превышать максимальное значение экспериментальной дальности полета, т.е. максимальная метка будет 500 мм, как и раньше, но если использовать старый масштаб (5 клеток на 100 мм), то для графика будет использованы всего 25 клеток из 45 по вертикальной оси. Можно, конечно, оставить и так, но тогда почти половина площади миллиметровой бумаги будет попросту пустовать, что нежелательно. Итак, возьмем за правило по возможности максимально использовать площадь миллиметровой бумаги.

Вы можете мне предложить расставить метки через 9 клеток на каждые 100 мм, тогда, мол, будут полностью использованы 45 клеток, но давайте посмотрим, к чему это приведет при построении графика. Сколько миллиметров будет укладываться в одной клетке? Надо 100 разделить на 9 и получится 11,1111 мм. Тогда 2 клетки будут соответствовать 22,2222 мм и т.д. Ну и что, спросите вы? А то, что для нахождения координаты, например, 172,1 мм из табл.6, будет очень трудно ориентироваться в таком масштабе и придется пользоваться калькулятором при построениии. Применение калькулятора при построении графика это нонсенс! Нужен такой масштаб, который было бы удобно использовать для устных рассчетов. Если бы мы взяли 8 клеток на 100 мм, то одна клетка соответствовала бы 100/8=12,5, а две клетки 25 мм. Это намного лучше (хотя и хуже, чем в исходном варианте, когда на одну клетки приходилось 20 мм). А как же правило максимально использовать площадь? В этом случае нам придется от него немного отступить в угоду удобству построения.

Вывод: не расставляйте метки через такое количество клеток, которое соответствовало бы масштабу для одной клетки, выраженному бесконечной дробью. Нежелательно расставлять риски через 9, 7, 6 или 3 клетки. Наиболее удобным была бы расстановка рисок через 10, 5, 2, 4 или, на худой конец, 8 клеток.

И еще один совет. Если ставить метки под каждой риской, то может получиться так, что между метками не будет никакого зазора и числа сольются в сплошную строку цифр. Этого можно избежать с помощью простого приема: разделите риски на главные и дополнительные, а метки проставьте только под главными рисками (см. рис.26). Главные риски, например, сделайте длиной в 1,5 клетки, а дополнительные всего 0,5 клетки, тогда их будет легко различить.

 

3.7. Использование графика для рассчета параметра.
Метод совместных измерений.

Рассмотрим пример выполнения лабораторной работы "Изучение вращательного движения" ([3], стр.30). Эксперимент проводится на маятнике Обербека, который устроен следующим образом (рис.27). На неподвижную горизонтальную ось надет шкив радиусом r. Со шкивом жестко скреплена крестовина. На стержнях крестовины находятся грузы массой m ₁. Грузы можно смещать вдоль стержней, изменяя при этом момент инерции J маятника. На шкив наматывается шнур, на котором висит груз массой m. При опускании груза маятник вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси z.

Измерив высоту h, радиус шкива и время t, в течение которого груз из состояния покоя опустился на h, можно из кинематики найти ускорение груза на нити и угловое ускорение маятника .

Решив динамическую задачу движения груза, можно найти момент силы, заставляющий вращаться маятник .

Чем больше масса груза, тем больше момент и угловое ускорение . Так как эти величины были получены разными косвенными способами (кинематическая и динамическая задачи поступательного движения), то можно считать их получение независимым друг от друга. Но в законе динамики вращательного движения момент сил связан с угловым ускорением следующим образом:

,

где – момент трения в оси маятника, – момент инерции маятника.

и – это два параметра, характеризующих маятник Обербека. Определим их с помощью метода совместных измерений. Этот метод основан на одновременном (косвеннном) измерении момента силы натяжения нити и углового ускорения для разных масс грузов, на построении и обработке графика.

Пропустим все этапы эксперимента и остановимся на конечной таблице 7, где занесены уже рассчитанные моменты силы натяжения нити и угловые ускорения маятника для разных масс груза.

 

Таблица 7. Совместно измеренные и для разных грузов.

номер груза
М, Н×м	0,0296	0,0313	0,0365	0,0391	0,0447
e, с–2	0,94	1,06	1,15	1,37	1,53

 

Построим график зависимости , то есть независимой переменной будет , а функцией этой переменной будет являться . Максимальная метка на оси Х должна превышать 0,0447 и быть круглым числом, поэтому выбираем 0,05. Если попытаться расставить риски через 5 клеток на каждые 0,005 Н×м, то последняя риска не уместится на оси в 45 клеток. Поэтому выбираем шаг в 4 клетки. Главные риски расставим через 8 клеток, а метки под ними выразим целыми числами. Порядок величин моментов импульсов в этом эксперименте указывает на сотые доли, что можно отразить в названии оси, приписав слева от размерности (см. рис.28). Такой способ позволяет уменьшить количество цифр для меток, что приводит к более аккуратному оформлению оси.

Из закона динамики вращательного движения

видна линейная зависимость углового ускорения от момента сил, поэтому теоретическая линия, которую мы проводим по экспериментальным точкам, должна быть прямой. Проводим ее на глаз таким образом, чтобы точки расположились вокруг линии равномерно и их разброс относительно линии был минимален. Точные параметры прямой можно было бы рассчитать методом наименьших квадратов, но обсуждение этого метода выходит за рамки нашего упрощенного курса.

Если продлить теоретическую прямую, то она пересечет ось Х в точке А, координаты которой соответствуют нулевому угловому ускорению , что для момента силы означает клетки или, используя масштаб, . Значит с помощью графика мы уже нашли один из параметров маятника Обербека. Остался второй параметр – момент инетрции . Из того же закона динамики вращательного движения следует , где – приращение момента силы, – соответствующее ему приращение углового ускорения. Значит момент инерции можно рассчитать так . Для рассчета приращений надо выбрать на теоретической прямой две точки желательно подальше друг от друга, например А(0,009; 0) и В(0,045; 1,6). Тогда , а . Момент инерции .

Для упрощенного рассчета погрешностей параметров теоретической прямой воспользуемся методом парных точек. Выберем пары точек из таблицы 7: 1-ю и 3-ю, 2-ю и 4-ю, 3-ю и 5-ю и рассчитаем, используя их координаты, момент инерции.

Далее обработаем эти данные, считая их случайными числами.

,

Как видно, среднее значение отличается от полученного выше с помощью прямой, проведенной на глаз. Это говорит только о том, что для рассчета методом парных точек слишком мало экспериментальных точек. Тем не менее ответ получен и произведена оценка погрешности момента инерции в 12,5%, что

Для рассчета момента силы трения и его погрешности используем закон динамики вращательного движения.

,

где , – координаты средней точки на графике.

Погрешность момента силы трения будет определяться погрешностью наклона прямой, что соответствует погрешности момента инерции. Тогда

а относительная погрешность или 97,6%

Очень большая погрешность момента трения говорит о том, что эта величина несущественная, то есть очень мала по сравнению со средним значением момента силы натяжения, и ей можно пренебречь.

Закончим эксперимент оформлением результатов: