Графическое представление экспериментальных данных

Если вам наскучило стрелять из пистолета шариком и получать, хотя и разбросанные, но в общем-то почти одинаковые результаты среднего значения дальности полета в каждой серии опытов, я могу предложить новый эксперимент. Можно менять угол наклона оси пистолета к горизонту на 10° через каждые 8 выстрелов. Как нетрудно подсчитать, у нас есть возможность получить серий и при этом дальность полета будет различна в каждой серии. Перед нами открывается целая научная проблема – как дальность полета зависит от угла a к горизонту, под которым производится выстрел. Опишем инструкцию по проведению эксперимента и обработки данных.

1. Подготовить Таблицу 5, в которую были бы занесены все экспериментальные данные по каждой серии выстрелов отдельно.

2. Составить Таблицу 6 обработки результатов Таблицы 5. Для этого рассчитать среднее значение дальности полета в каждой серии из 8 выстрелов, а также для каждой серии рассчитать среднеквадратичное отклонение и доверительный интервал .

3. Построить график зависимости .

Таблица 5. Дальность полета при разных углах стрельбы a.

Таблица 6. Статистическая обработка данных из Табл.5

Табличное представление результата не очень наглядно. Лучше представить эти данные в виде графика зависимости дальности полета от угла a или, как говорят, . Такая запись означает, что дальность полета является функцией угла a. Для построения графика надо выбрать специальную бумагу, разлинеенную (лучше через 1 мм) горизонтальными и вертикальными линиями (миллиметровка) и нанести на нее систему координат. Начало координат можно отметить в самой левой нижней точке пересечения линий и провести из нее горизонтальную и вертикальную оси (см. рис.20). Так как значение функции всегда откладывается по оси Y, а значение аргумента вдоль оси Х, то в нашем случае по оси Y будем откладывать значения дальности полета , а вдоль оси Х – значение угла a

Следующим очень важным шагом является выбор маштаба двух осей. Для этого подсчитаем для начала, какова длина нашей оси Х в миллиметрах (или в клетках, если бумага не миллиметровая). На рис.20 ось Х содержит 45 клеток. Наша задача состоит в том, чтобы для каждого значения угла a из табл.6 нашлась соответствующая координата на оси Х. Весь диапазон углов занимает 90° (от 0° до 90°). Числа 45 и 90 очень хорошо делятся на 9, что дает нам масштаб по оси Х – 5 клеток на каждые 10°. Снизу оси Х через каждые 5 клеток поставим риску длиной в одну клетку, а под каждой риской поставим метку – число градусов, соответствующее каждой риске. На конце оси Х (см. рис.2), обозначенном стрелкой, расположим название оси, то есть обозначение откладываемой величины (угла a) и через запятую размерность этой величины ("град" – градусы).

Теперь перейдем к оформлению оси Y. Ее длина исчисляется 34 клетками. Величины из табл.6 лежат в диапазоне от 1,75 мм до 490,4 мм. Как и на любой линейке, метки на оси Y должны быть круглыми числами, поэтому максимальную метку, превышающую значение 490,4 мм, возьмем равной 500 мм, а минимальную конечно же 0. Теперь обратим внимание, что ось Y содержит 34 клетки. Для максимальной метки в 500 мм нам надо подобрать такое число клеток (например 25), которое делилось бы, например на 5, так же хорошо, как и 500. Расставляем риски на вертикальной оси через 5 клеток и каждой риске приписываем слева соответствующую метку с шагом 100 мм. Название оси Y и размерность указываем в ее конце около вертикальной стрелки (рис.22). Теперь все готово, чтобы изобразить экспериментальные данные из табл.6 в виде точек на приготовленной системе координат.

Чтобы поставить экспериментальную точку в нужном месте системы координат, надо знать масштаб, то есть сколько, например, миллиметров содержит одна клетка вдоль оси Y. Масштаб рассчитывается легко: надо разность соседних меток разделить на количество клеток между соседними рисками. На рис.23 масштаб будет равен = , то есть одна клетка соответствует 20 мм. Примем за правило, что точность расположения точки должна соответствовать половине клетки, что соответствует 10 мм. Если клетка крупная, тогда точность постановки экспериментальной точки можно довести до четверти клетки. Таким образом на рис.23 точка с координатой 493 мм будет располагаться приблизительно посередине пятой клетки между метками 400 и 500. Ни в коем случае не обозначайте значение координаты точки на масштабной оси. Это засоряет график и приводит к трудностям восприятия информации. Представьте, что в таблице не 8 значений, а 100 (или даже 1000). Если каждое значение отмечать на оси, то вся ось будет сплошь усыпана мелкими числами, сливающимися в нечитаемый текст.

С научной точки зрения результат эксперимента без рассчета погрешности не имеет ценности. Поэтому на графике изображают доверительный интервал в виде вертикального отрезка с горизонтальными засечками. Длина этого отрезка равна удвоенному доверительному интервалу для каждой точки, а сама точка лежит на его середине (см. рис.23).

Соединять точки прямыми отрезками (см. рис.24) было бы неправильно. В этом нет физического смысла. Если есть возможность построить простую математическую модель эксперимента – в данном случае полета шарика в поле тяжести Земли, – то надо решить кинематическую задачу и получить аналитическую зависимость дальности полета от угла a.

Итак, строим модель. Начальные условия: шарик вылетает с поверхности земли со скоростью под углом a к горизонту, летит с постоянным вертикальным ускорением свободного падения м/с² в однородном поле тяжести Земли и падает на расстоянии от места вылета. Найдем дальность полета по формуле (которую вы сами должны вывести на практических занятиях по физике):

Из формулы видно, что пропорционален синусу удвоенного угла

,

что дает нам представление о графике зависимости , который изображен сплошной плавной линией на рис.25. И не надейтесь, что экспериментальные точки будут лежать на этой кривой. Чаще всего они будут случайно разбросаны вокруг нее – какие-то выше, какие-то ниже. Главное, чтобы эта линия пересекла каждый отрезок удвоенного доверительного интервала (на рис.25 всего одна точка при a = 20° лежит существенно ниже и выходит за рамки теоретической кривой).

Соответствие расположения экспериментальных точек теоретической кривой дает право нам утверждать, что принятая простая модель полета в пределах погрешности эксперимента правильно описывает реальный полет шарика. Кроме качественного вывода с помощью графика можно рассчитать начальную скорость шарика . Для этого надо всего лишь увидеть на рис.25 максимальное значение мм на теоретической кривой, при этом очевидно . Рассчитаем начальную скорость: м/с. Вопрос о погрешности начальной скорости в данном примере очень сложен и не укладывается в принятый нами упрощенный метод рассчета ошибок.