Модель с количественными скидками

Появляется возможность количественных скидок в зависимости от размера заказа. Рассматривается зависимость издержек хранения от цены товара. Оптимальный уровень заказа определяется исходя из условия минимизации общих издержек для каждого вида скидок.

Модели типа 1–5 с вероятностным распределением спроса и времени выполнения заказа

Вместо предпосылки о постоянстве и детерминированности спроса на товар используется более реалистичный подход о предполагаемой известности распределения темпа спроса и времени выполнения заказа. Рассмотрим подробнее модели с фиксированным размером заказа:

Модель 1. Модель наиболее экономичного размера заказа. Заказ, пополняющий запасы, поступает как одна партия. Уровень запасов убывает с постоянной интенсивностью, пока не достигает нуля. В этой точке поступает заказ, размер которого равен Q, и уровень запасов восстанавливается до максимального значения. При этом оптимальным решением задачи будет тот размер заказа, при котором минимизируются общие издержки за период (рис. 8.1).

Рис. 8.1. Модель 1. Модель наиболее экономичного размера заказа

Пусть Q - размер заказа; Т - протяженность периода планирования; D - величина спроса за период планирования; d - величина спроса в единицу времени; К - издержки заказа; Н - удельные издержки хранения за период; h - удельные издержки хранения в единицу времени. Тогда:

(D/Q)K - совокупные издержки заказа;

(Q/2)H - совокупные издержки хранения;

d=D/T; h=H/T;

Q*=(2dK/h)¹/² ( 2DK/H ) ^1/2 - оптимальный размер заказа;

N=D/Q* - оптимальное число заказов за период;

t*=Q*/d=T/N - время цикла (оптимальное время между заказами).

Модель 2. Введем предположение о том, что заказ может быть получен не мгновенно, а с течением времени. Тогда нам необходимо заранее делать заказ, чтобы в нужное время иметь достаточное количество товара на складе. Следовательно, нам необходимо найти тот уровень запасов, при котором делается новый заказ. Этот уровень называется точкой восстановления R. Пусть L - время выполнения заказа. Тогда R - величина спроса в единицу времени, умноженная на время выполнения заказа (d-L). Другие характеристики системы определяются так же, как и в модели 1. Модель иллюстрируется на рис. 8.2.

Рис. 8.2. Модель 2

Контрольный пример 1

Андрей является торговым агентом компании «VOLVO» и занимается продажей последней модели этой марки автомобиля.

Годовой спрос оценивается в 4000 ед. Цена каждого автомобиля равна 90 тыс. грн., а годовые издержки хранения составляют 10% от цены самого автомобиля.

Андрей произвел анализ издержек заказа и понял, что средние издержки заказа составляют 25 тыс. грн. на заказ. Время выполнения заказа равно восьми дням. В течение этого времени ежедневный спрос на автомобили равен 20.

Необходимо в процессе решения данного примера ответить на следующие вопросы:

1. Чему равен оптимальный размер заказа?

2. Чему равна точка восстановления?

3. Каковы совокупные издержки?

4. Каково оптимальное количество заказов в год?

5. Каково оптимальное время между двумя заказами, если предположить, что количество рабочих дней в году равно 200?

Ниже приведено описание исходных данных и результаты решения контрольного примера с использованием условных обозначений.

Исходные данные:

величина спроса за год D=4000;

издержки заказа К=25;

издержки хранения =9/200;

цена за единицу с=90; время выполнения заказа L=8;

ежедневный спрос d=20; число рабочих дней Т=200.

Решение:

оптимальный размер заказа Q*=149;

точка восстановления R=160–149=11;

число заказов за год N=26,83;

совокупные издержки С=1341;

стоимость продаж =360 000;

число дней между заказами t=7,45.

Модель 3. Модель оптимального размера заказа в предположении что допускается дефицит продукта и связанная с ним упущенная при быль (рис. 8.3).

Рис. 8.3. Модель 3

Пусть р - упущенная прибыль в единицу времени, возникающая в результате дефицита одной единицы продукта; Р - упущенная прибыль за период, возникающая в результате дефицита одной единицы продукта.

Тогда: Q*=(2dK/h)^1/2×((р+h)/р)^1/2=(2DK/H)^1/2×((Р+Н)/P)^1/2 - оптимальный размер заказа; S*=(2dK/h)^1/2×(р/(h+р))^1/2=(2DK/H)^1/2×(P/(H+P))^1/2 - максимальный размер запаса; R=Q*-S* - максимальный дефицит.

Модель 4. Модель производства и распределения. В предыдущей модели мы допускали, что пополнение запаса происходит единовременно. Но в некоторых случаях, особенно в промышленном производстве, для комплектования партии товаров требуется значительное время, и производство товаров для пополнения запасов происходит одновременно с удовлетворением спроса. Такой случай показан на рис. 8.4.

Рис. 8.4. Модель 4

Спрос и производство являются частью цикла восстановления запасов. Пусть u - уровень производства в единицу времени, К - фиксированные издержки производства.

Тогда:

совокупные издержки хранения = (средний уровень запасов) × Н=Q/2[1-d/u]×Н;

средний уровень запасов = (максимальный уровень запасов)/2;

максимальный уровень запасов =u×t-d×t=Q(l-d/u);

время выполнения заказа t=Q/u;

издержки заказа =(D/Q)К;

оптимальный размер заказа Q*=(2dK/h×[(l-(d/u)])1/2=(2DK/H×[(l-(d/u)])1/2;

максимальный уровень запасов S*=Q*[(l-(d/u)].

Модель 5. Модель с количественными скидками. Для увеличения объема продаж компании часто предлагают количественные скидки своим покупателям.

Количественная скидка – сокращенная цена на товар в случае покупки большого количества этого товара. Типичные примеры количественных скидок приведены в табл. 8.1.

Таблица 8.1

Варианты скидок
Количество, при котором делается скидка Размер скидки, % Цена со скидкой	от 0 до 999	от 1000 до 1999   4,8	от 2000 и выше   4,75

Пусть I - доля издержек хранения в цене продукта с.

Тогда h=(I×c) и Q*=(2dK/(I×c))¹/² - оптимальный размер заказа.

Контрольный пример 2

Рассмотрим пример, объясняющий принцип принятия решения в условиях скидки. Магазин "Медвежонок" продает игрушечные гоночные машинки. Эта фирма имеет таблицу скидок на машинки в случае покупок их в определенном количестве (табл. 8.2). Издержки заказа составляют 49 тыс. грн. Годовой спрос на машинки равен 5000. Годовые издержки хранения в отношении к цене составляют 20%, или 0,2. Необходимо найти размер заказа, минимизирующий общие издержки.

Решение

Рассчитаем оптимальный размер заказа для каждого вида скидок, т.е. Q1*, Q2* и Q3*, и получим Q1*=700; Q2*=714; Q3*=718.

Так как Q1* - величина между 0 и 999, то ее можно оставить прежней. Q2* меньше количества, необходимого для получения скидки, следовательно, его значение необходимо принять равным 1000 единиц. Аналогично Q3* берем равным 2000 единиц. Получим Q1*=700; Q2*=1000; Q3*=2000.

Далее необходимо рассчитать общие издержки для каждого размера заказа и вида скидок, а затем выбрать наименьшее значение.

Рассмотрим таблицу 8.2.

Выберем тот размер заказа, который минимизирует общие годовые издержки. Из таблицы видно, что заказ в размере 1000 игрушечных гоночных машинок будет минимизировать совокупные издержки.

Таблица 8.2

Вид скидки
Цена		4,8	4,75
Размер заказа
Цена на товар за год	25 000	24 000	23 750
Годовые издержки заказа			122,5
Годовые издержки хранения
Общие годовые издержки	25 700	24 725	24 822,5

Индивидуальное задание

Решить задачу согласно вашему варианту, используя модели управления запасами.

Вариант 1

Господин Бобриков приобретает в течение года 1500 телевизоров для розничной продажи в своем магазине. Издержки хранения каждого телевизора равны 45 тыс. грн. в год. Издержки заказа - 150 тыс. грн. Количество рабочих дней в году равно 300, время выполнения заказа -6 дней. Необходимо найти:

t оптимальный размер заказа;

t годовые издержки заказа;

t точку восстановления запаса.

Вариант 2

Анна Васильева из компании «Сюрприз» продает 400 водяных кроватей в год, причем издержки хранения равны 1 тыс. грн. за кровать в день и издержки заказа - 40 тыс. грн. Количество рабочих дней равно 250 и время выполнения заказа - 6 дней. Каков оптимальный размер заказа? Чему равна точка восстановления запаса? Каков оптимальный размер заказа, если издержки хранения равны 1,5 тыс. грн.?

Вариант 3

Николай Ноженко является владельцем маленькой компании, которая выпускает электрические ножи. В среднем Ноженко может производить 150 ножей в день. Дневной спрос на ножи примерно равен 40. Фиксированные издержки производства равны 100 тыс. грн., издержки хранения - 8 тыс. грн. за нож в год. Какой максимальный заказ следует иметь на складе?

Вариант 4

Компания «Веселые ребята» закупает у завода-изготовителя лобовые стекла грузовых автомобилей «Краз» для розничной продажи. В год, за 200 рабочих дней, реализуется около 10000 стекол. Издержки заказа для компании составляют 4000. грн., ежедневные издержки хранения одного стекла - 60 грн. Чему равен оптимальный размер заказа? Каковы минимальные годовые совокупные издержки?

Вариант 5

Годовой заказ на тостер «Слава» равен 3000 единиц, или 10 в день. Издержки заказа равны 25 тыс. грн. издержки хранения - 0,4 тыс. грн. в день. Так как тостер «Слава» является очень популярным среди покупателей, то в случае отсутствия товара покупатели обычно согласны подождать, пока не подойдет следующий заказ. Однако издержки, связанные с дефицитом, равны 0,75 тыс. грн. за тостер в день. Сколько тостеров необходимо заказать? Каков максимальный дефицит? Чему равны совокупные издержки?

Вариант 6

Магазин «Природа» пользуется популярностью у покупателей благодаря широкому ассортименту экологически чистых продуктов. Большинство покупателей не отказываются от услуг магазина даже в том случае, когда интересующий их товар отсутствует в продаже. Они оставляют заказ на товар и ждут, когда поступит новая партия.

Сыр «Витаум» - не самый популярный из всего набора товаров, но администратор магазина регулярно заказывает этот продукт. Годовой спрос на «Витаум» составляет 500 головок сыра. Издержки заказа -400 тыс. грн. за заказ. Издержки хранения - 5 тыс. грн. в год. Упущенная прибыль вследствие дефицита составляет 100 тыс. грн. за год на одну головку сыра.

Сколько головок сыра следует заказывать, чтобы не допустить дефицита и иметь при этом минимальные общие издержки?

Сколько сыра следует заказывать, если допустить возможность дефицита?

Чему равна точка восстановления запаса, если время выполнения заказа составляет 10 дней и число рабочих дней в году 250?

Чему равен максимальный размер дефицита?

Вариант 7

Компания «Химпласт» предлагает следующие скидки для линолеума размером 2x3 м (табл. 8.3).

Таблица 8.3

Размер заказа	9 кусков или менее	10–50 кусков	50 кусков и более
Цена 1 куска	18 тыс. грн.	17,5 тыс. грн.	17,25 тыс. грн.

Магазин «Все для дома» заказывает у компании линолеум. Издержки заказа равны 45 тыс. грн. Годовые издержки хранения равны 50% от цены. Годовой спрос на линолеум в магазине составляет 100 кусков. Какое количество необходимо приобрести?

Вариант 8

Мебельный салон «Антика» продает в год около 1000 спальных гарнитуров по цене 50 тыс. грн. Размещение одного заказа на поставку гарнитуров обходится в 40 тыс грн. Годовая стоимость хранения гарнитура составляет 25% его цены. Салон может получить 3%-ную скидку у поставщика, если размер заказа составит не менее 200 гарнитуров. Следует ли салону заказывать 200 или более гарнитуров и пользоваться скидкой?

Вариант 9

Обычная оптовая цена аудиоколонок для автомагнитолы – 2 тыс. грн. В случае заказа от 75 до 90 колонок цена сокращается до 1,85 тыс. грн. При заказе более 100 колонок цена снижается до 1,575 тыс. грн. Издержки заказа для компании «Эхо», являющейся производителем колонок, равны 1 тыс. грн., годовые издержки хранения – 5% от стоимости колонки. Ежедневная величина спроса в течение 250 дней реализации в году – 25 колонок. Каков оптимальный размер заказа и чему равны минимальные средние ежедневные издержки?

Вариант 10

Компания «Интегро» продает в год около 2000 шкафов-купе по цене 4 тыс. грн. Размещение одного заказа на поставку шкафов-купе обходится в 3 тыс. грн. Годовая стоимость хранения гарнитура составляет 20% его цены. Компания может получить 5%-ную скидку у поставщика, если размер заказа составит не менее 300 гарнитуров. Следует ли салону заказывать 300 или более гарнитуров и пользоваться скидкой?

Вариант 11

Компания «Люкс» предлагает следующие скидки для обоев (табл. 8.4).

Таблица 8.4

Размер заказа	10 метров и менее	10–100 метров	Более 100 метров
Цена 1 метра	300 руб.	250 руб.	210 руб.

Магазин «Уют» заказывает у компании обои. Издержки заказа равны 50 тыс. грн. Годовые издержки хранения равны 40% от цены. Годовой спрос на линолеум в магазине составляет 2000 метров. Какое количество необходимо приобрести?

Вариант 12

Петр Иванович из компании «Уют» продает 600 спален в год, причем издержки хранения равны 500 грн. за кровать в день и издержки заказа – 50 тыс. грн. Количество рабочих дней равно 250 и время выполнения заказа – 5 дней. Каков оптимальный размер заказа? Чему равна точка восстановления запаса? Каков оптимальный размер заказа, если издержки хранения равны 1 тыс. грн.?

Вариант 13

Иванко Иван является владельцем компании, которая изготовляет игрушки. В среднем компания может производить 50 игрушек в день. Дневной спрос на игрушки примерно равен 40. Фиксированные издержки производства равны 10 тыс. грн., издержки хранения - 2 тыс. грн. за игрушку в год. Какой максимальный заказ следует иметь на складе?

Вариант 14

Иван Федорович приобретает в течение года 300 видеомагнитофонов для розничной продажи в своем магазине. Издержки хранения каждого магнитофона равны 20 тыс. грн. в год. Издержки заказа - 100 тыс. грн. Количество рабочих дней в году равно 300, время выполнения заказа - 5 дней. Необходимо найти:

t оптимальный размер заказа;

t годовые издержки заказа;

t точку восстановления запаса.

Вариант 15

Фирма приобретает в течение года 1000 компьютеров для розничной продажи. Издержки хранения каждого компьютера равны 25 тыс. грн. в год. Издержки заказа - 300 тыс. грн. Количество рабочих дней в году равно 290, время выполнения заказа - 10 дней. Необходимо найти:

t оптимальный размер заказа;

t годовые издержки заказа;

t точку восстановления запаса.

Контрольные вопросы

1.Что такое время выполнения заказа?

2.Что такое время цикла?

3.Что такое запас?

4.Что такое издержки заказа?

5.Что такое издержки хранения?

6.Что такое точка восстановления?

7.Что такое упущенная прибыль?

8.Какие модели управления запасами вы знаете?

9.Опишите модель оптимального размера заказа.

10. Опишите модель заказа с количественными ссылками.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аронович А.Б., Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Сборник задач по исследованию операций. – М. Изд-во МГУ, 1997.

2. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов / Под ред. Н.Ш. Кремер. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.

3. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе: Учеб. пособие / Под ред. Б.А. Лагоши. – М.: Финансы и статистика, 2002.

4. Системный анализ в управлении: Учеб. пособие / Под ред. А.А. Еме-льянова. – М.: Финансы и статистика, 2002.

5. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов / Под ред. В.В. Федоссева. – М.: ЮНИТИ, 2002.

ОГЛАВЛЕНИЕ

	Методические указания по выполнению лабораторных работ ………..
ЛБ 1	Обработка результатов экспериментов …………………………………
ЛБ 2	Использование линейного программирования для решения транспортных задач ………………………………………………………
ЛБ 3	Решение задач оптимизации с использованием MS EXCEL. Линейная оптимизационная задача ……………………………………..
ЛБ 4	Решение задач оптимизации с использованием MS EXCEL. Транспортная задача.
ЛБ 5	Вычисление статистических показателей эмпирического массива данных и их графическая интерпретация
ЛБ 6	Метод анализа иерархий
ЛБ 7	Модели систем массового обслуживания
ЛБ 8	Принятие решений в условиях неопределенности. Игры с природой.
ЛБ 9	Модели управления запасами
	СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ………………………………………………..

 

^[1] Большая Советская Энциклопедия. (В 30 томах) Гл.ред. А.М. Прохоров. Изд.3-е. М., «Советская Энциклопедия». 1973. Т.14 с.459.

 

[2] Использовать функцию ЕСЛИ(условие; значение если истина; значение если ложь)

=ЕСЛИ(D9>D13;(D9-D13)*D3*D12;0)

[3] Предлагается изучить и рассмотреть самостоятельно в качестве усложненного варианта