Исходные данные и результаты решения задачи переписать в отчет и предъявить преподавателю

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что понимают под линейным программированием?

2. Какой набор действий рекомендуется выполнить в процессе моделирования?

3. Когда целесообразно использовать модель?

4. Какой набор действий необходимо выполнять при использовании модели?

5. Типы моделей.

6. Что всегда необходимо помнить о моделях?

7. Этапы процесса моделирования.

8. Что подразумевают под показателем эффективности?

9. Что часто называют целевыми функциями?

10. Как вызвать режим Подбор параметра?

11. Какие действия выполняются на этапе моделирования Изучение среды?

12. Какие действия выполняются на этапе моделирования Формализация представления о ситуации?

13. Какие действия выполняются на этапе моделирования Построение символической (количественной) модели?

ЛР3,4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ MS EXCEL

Цель работы: закрепить навыки постановки типовых задач линейного программирования и освоить методику их решения на основе использования табличного процессора MS Excel.

Краткие теоретические сведения

Ежедневно специалисты в области экономики и менеджмента сталкиваются с задачами оптимизации. Это и премирование штатного расписания, и расчет фонда заработной платы, и планирование рекламной кампании, и еще множество задач, решаемых с помощью методов оптимизации. Наиболее легкими и показательными являются задачи линейной оптимизации.

Линейное программирование – это раздел высшей математики, занимающийся разработкой методов поиска экстремальных значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения.

Задачи линейного программирования относятся к задачам на условный экстремум функции. Однако для исследования линейной функции многих переменных на условный экстремум нельзя применить хорошо разработанные методы математического анализа.

Действительно, пусть необходимо исследовать на экстремум линейную функцию при линейных ограничениях . Необходимым условием экстремума является . Но . Отсюда . Т.к. все коэффициенты линейной функции не могут быть равны нулю (0), то внутри области, образованной системой ограничений, экстремальные точки не существуют. Они могут быть только на границе области.

Для решения таких задач разработаны специальные методы линейного программирования, которые особенно широко применяются в экономике.

Линейная оптимизационная задача

Контрольный пример

Задача. Для производства столов и шкафов мебельная фабрика использует необходимые ресурсы. Нормы затрат ресурсов на одно изделие данного вида, прибыль от реализации одного изделия и общее количество имеющихся ресурсов каждого вида приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

 

 

Ресурсы	Нормы затрат ресурсов на одно изделие	Общее количество ресурсов
Стол	Шкаф
Древесина 1 вида	0,2	0,1
Древесина 2 вида	0,1	0,3
Трудоемкость (человеко-часов)	1,2	1,5	371,4
Прибыль от реализации одного изделия (грн.)

Определить, сколько столов и шкафов фабрике следует изготовлять, чтобы прибыль от их реализации была максимальной.

Решение

Для решения этой задачи необходимо построить математическую модель. Процесс построения модели можно начать с ответа на следующие три вопроса:

1. Для определения каких величин строится модель?

2. В чем состоит цель, для достижения которой из множества всех допустимых значений переменных выбираются оптимальные?

3. Каким ограничениям должны удовлетворять неизвестные?

В данном случае мебельной фабрике необходимо спланировать объем производства столов и шкафов так, чтобы максимизировать прибыль. Поэтому переменными являются: х₁ - количество столов, х₂ -количество шкафов.

Суммарная прибыль от производства столов и шкафов равна z=6x₁+8x₂. Целью фабрики является определение среди всех допустимых значений х₁ и х₂ таких, которые максимизируют суммарную прибыль, т.е. целевую функцию z.

Ограничения, которые налагаются на х₁ и х₂:

t объем производства шкафов и столов не могут быть отрицательным, следовательно х₁, х₂ > 0.

t нормы затрат древесины на столы и шкафы не могут превосходить максимально возможный запас данного исходного продукта, следовательно

0,2x₁+0,1x₂ < 40,

0,1x₁+0,3x₂ < 60.

Кроме того, ограничение на трудоемкость не превышает количества затрачиваемых ресурсов:

1,2x₁+1,5х₂ < 371,4.

Таким образом, математическая модель данной задачи имеет следующий вид:

максимизировать функцию

z=6х₁+8х₂

при следующих ограничениях:

0,2x₁+0,1x₂ < 40

0,1x₁+0,3x₂ < 60

1,2x₁+1,5х₂ < 371,4.

Данная модель является линейной, т.к. целевая функция и ограничения линейно зависят от переменных.