Визначення граничних напружень

Вихідною для визначення граничних напружень має бути одна з нормативних механічних характеристик матеріалу:

а) для постійно діючих напружень: границя текучості σ_т (τ_т) – для пластичних матеріалів і границя міцності σ_В (τ_в) – для крихких матеріалів;

б) для змінних у часі діючих напружень: границя витривалості σ_r (τ_r).

Нормативні механічні характеристики дістають в лабораторних умовах для стандартних зразків матеріалів. Оскільки розміри, фор­ма, умови виготовлення і роботи реальних деталей можуть значно відрізнятися від зразків, результати лабораторних випробувань не можна безпосередньо використовувати в розрахунках без відповід­них поправок. Із переходом від нормативних значень механічних характеристик до граничних напружень для реальних деталей треба враховувати деякі фактори.

Вплив абсолютних розмірів деталі (масшабний фактор). Досвід показує, що зі збільшенням розмірів деталей внаслідок зміни віднос­ного впливу поверхневого шару матеріалу і збільшення неоднорід­ності його властивостей характеристики міцності матеріалу мають тенденцію зменшуватись. Зменшення характеристик міцності врахо­вують коефіцієнтами K_d впливу абсолютних розмірів:

σ_тд = K_dт σ_т, σ_вд = K_dВσ_B, σ_–1д = K_dσ_–1 (16)

Тут індексом «д» позначені характеристики міцності деталі.

Більш детальні відомості про коефіцієнт K_d можна знайти у відповідній довідковій літературі.

Вплив форми деталі. Великий вплив на міцність деталей, особливо при циклічно змінних напруженнях, має місцева зміна форми деталей і пов'язане з цим явище концентрації напружень. У місцях різкої зміни форми деталей

(отвори, надрізи, галтелі, проточки), які називають концентраторами напружень, виникають місцеві піки напружень (рис. 4.6,а–в).

Відношення найбільших напружень у зоні концентрації σ_к (τ_к) до номінальних напружень (з урахуванням послаблення перерізу кон­центратором) називається теоретичним коефіцієнтом концентрації напружень:

α_σ = σ_к/σ; α_τ = τ_к/τ. (17)

Безпосереднє використання коефіцієнтів α_σ і α_τ в інженерних розрахунках не дає задовільних результатів. Досвід показує, що внаслідок виникнення в зоні концентрації об'ємного напруженого стану, впливу пластичних властивостей та ефекту зміцнення реаль­них матеріалів максимуми напружень згладжуються, і зменшення міц­ності матеріалу в зоні концентрації визначається не теоретичними ко­ефіцієнтами α_σ і α_τ, а так званими ефективними коефіцієнтами кон­центрації напружень, які безпосередньо повинні вводитись у розра­хунок. Ці коефіцієнти – відношення механічних характеристик ма­теріалів, добутих для гладких зразків, до тих же характеристик зраз­ків з тим чи іншим концентратором. Так, для статичних випробувань

К_sσ= σ_в /σ_вк; K_sτ = τ_в/τ_вк (18)

а для випробувань на втому із симетричним циклом

К_σ = σ_–1/σ_–1к ; К_τ = τ_–1/τ_–1к . (19)

Між теоретичними та ефективними коефіцієнтами концентрації напружень існують такі співвідношення:

α_σ >>К_σ і α_τ >> К_τ .

Для пластичних матеріалів та крихких із значною внутрішньою неоднорідністю (чавун, деякі види кольорового литва) при постій­них напруженнях ефективні коефіцієнти концентрації напружень K_sσ і K_sτ близькі до одиниці. Тільки для крихких матеріалів із одно­рідною структурою (загартована сталь) K_sσ і K_sτ можуть досягати значень 1,3–1,4.

Дуже висока чутливість матеріалів до концентрації напружень при циклічно змінних напруженнях. У цьому випадку ефективні коефіцієнти концентрації напружень можуть досягати значень 2,5–3,0 і більше.

Вплив стану поверхні деталі і поверхневого зміцнення. При постій–но діючих напруженнях стан робочих поверхонь деталей має незнач­ний вплив на їхню міцність. При змінних напруженнях руйнування деталей пов'язане з появою втомних тріщин, які здебільшого виника­ють у поверхневих шарах матеріалу. В цьому випадку будь–яке пош­кодження поверхні деталі спричинює появу концентрації напружень та зменшення границі витривалості σ_R. Таке зменшення σ_R більш помітне для матеріалів із високою границею міцності σ_в.

Обернену дію має спеціальне зміцнення поверхні деталей накле­пуванням (наприклад, обдуванням сталевими кульками), поверхне­вим гартуванням СВЧ, цементацією чи азотуванням. Для деталей із поверхневим зміцненням поверхні коефіцієнт зміцнення можна бра­ти К_зм = 1,20... 1,50 (менші значення для високоміцних сталей та де­талей великих розмірів, більші – для деталей із високими пластич­ними властивостями та деталей малих розмірів).

Для деталей із полірованою поверхнею К_зм = 1, а для деталей, що мають поверхні, оброблені різцем (точіння, фрезерування), К_зм = 0,75...0,90. Найменше значення коефіцієнт зміцнення має для де­талей, які працюють в агресивному середовищі (наприклад, для де­талей, які працюють у морській воді, К_зм = 0,15...0,40).

Вплив строку служби деталі та режиму навантаження. Строк служби деталей, що знаходяться під дією постійних напружень, виз­начається випадковими пошкодженнями при перевантаженнях, ко­розійним чи абразивним спрацюванням, моральним старінням кон­струкції або іншими обставинами, які слід враховувати в кожному конкретному випадку на основі накопиченого досвіду експлуатації подібних елементів машин.

При роботі деталей в умовах циклічно змінних напружень строк служби h суттєво впливає на граничні напруження. Кожний цикл напружень викликає в матеріалі деталі накопичення фізичних змін, які спричинюють виникнення мікроскопічних тріщин, розвиток яких обумовлює поломки – руйнування втомного характеру.

Відомо, що циклічні напруження високих рівнів руйнують деталі при малому числі циклів, а напруження низьких рівнів – деталі при високому числі циклів. Взаємозв'язок між максимальним напру­женням циклу σ_mах із коєфіцієнтом асимєтрії R і числом циклів N_ц , при якому відбувається руйнування матеріалу деталі, встановлю­ється за допомогою спеціальних експериментальне добутих графіків, які називаються кривими втоми матеріалу, або кри­вими Веллера. Крива втоми будується для різних матеріалів з попе­редньо заданою ймовірністю неруйнування. Для однорідних сталей крива втоми має вигляд, показаний на рис. 4.7, а.

Криві втоми мають дві ділянки: криволінійну, що лежить ліво­руч від точки N₀, і близьку до горизонтальної – праворуч від цієї точ­ки. Це чіткіше видно на графіку, побудованому в системі координат

σ_mах – lg · N_ц (рис. 4.7, б).

Число циклів напружень N₀, що відповідає переходу кривої втоми в горизонтальну ділянку, називається базою випробу­вань, а відповідне йому напруження σ_R – довгочасною або необмеженою границею витривалості мате­ріалу.

Найбільше напруження циклу, яке із заданою ймовірністю не­руйнування може витримати матеріал при числі циклів N_N < N₀, називається обмеженою границею витривалості, яку будемо позначати σ_N (рис. 4.7).

Для ряду матеріалів і умов навантаження криві втоми не мають горизонтальної ділянки. В таких випадках можна говорити лише про обмежену границю витривалості матеріалів.

Криволінійна ділянка кривої втоми може бути апроксимована рів­нянням

N_ц·σ_і^m = const, (20)

де показник степеня для сталей m = 6... 10 характеризує нахил кривої втоми.

Враховуючи рівність (20), можна встановити взаємозв'язок між необмеженою σ_R і обмеженою σ_N границями витривалості:

,

Звідки , (21)

де k_l – коефіцієнт довговічності, що визначається за виразом

. (22)

Число циклів N_ц напружень пов'язане із строком служби h дета­лі. Якщо строк служби задано (h, год) і відома при постійному наван­таженні частота зміни напружень за одиницю часу n, с^–1 (у більшості випадків дорівнює або кратна числу обертів чи ходів машини), то легко обчислити повне число циклів зміни напружень за весь строк служби деталі за виразом N_h = 3600nh. У випадку N_h < N₀ діста­немо K_L> 1, σ_N > σ_R і розрахунок доцільно виконувати за обме­женою границею витривалості. Якщо N_h > N₀, то коефіцієнт дов­говічності K_L, беруть рівним одиниці і відповідно σ_N = σ_R (при на­явності горизонтальної ділянки на кривій втоми матеріалу).

Викладені міркування можуть бути основою для розв'язування оберненої задачі, тобто для визначення строку служби деталей, коли відомі їхні розміри, матеріал і умови навантаження.

Розглянемо тепер визначення коефіцієнта довговічності K_L для випадку змінного в часі навантаження і відповідних цьому наванта­женню змінних напружень протягом строку служби деталі.

Нехай протягом часу h₁ деталь працює при напруженнях σ₁ із частотою зміни цих напружень n₁ (рис. 4.8, а), протягом часу h₂ – при напруженнях σ₂

з частотою n₂ і т. д. За кожний період h₁ h₂,..., h_і число циклів напружень відповідно буде

N_ц1 = n₁·h₁ ; N_ц2 = n₂·h₂; N_ці = n_і·h_і;

а загальне число циклів за строк служби деталі

N_∑ = ∑N_{ц і} = ∑n_іh_і = n_Eh, (23)

де п_Е – деяка еквівалентна частота зміни напружень.

Вести розрахунок за найбільшими діючими напруженнями σ₁ і за числом циклів N_∑ було б невірно, оскільки напруження σ₁мають N_ц1 циклів, що значно менше N_∑. Такий розрахунок призвів би до невиправданого збільшення розмірів деталі.

У даному разі розрахунок будують на так званому принципі лі­нійного підсумовування пошкоджень. Суть цього принципу можна сформулювати так: загальна кількість пошкоджень, накопичених в матеріалі деталі явищами втомного руйнування, дорівнює сумі пошкоджень за різні періоди роботи при різних рівнях напружень. Цей принцип наближено виражається такою залежністю:

∑ N_ці /N ≈ 1 (24)

де N_ці – число циклів дії деякого напруження σ_і; N – число цик­лів до руйнування при цьому ж напруженні.

На основі рівності (24) складний характер зміни напружень можна звести до напруження постійного рівня

σ = σ_mах = σ₁, з ек­вівалентним числом циклів N_E < N_∑ і діючого протягом часу h, або до деякого еквівалентного напруження σ_Е < σ₁ але з числом циклів N_∑ протягом часу h.

На практиці в більшості випадків використовують зведення склад­ного характеру зміни напружень до напруження постійного рівня σ = σ_mах з еквівалентним числом циклів N_E (рис. 4.8, б).

Помножимо чисельник і знаменник у рівності (24) на σ_і^m:

∑(N_ці · σ_і^m)/(N · σ_і^m) = 1.

У знаменнику маємо постійну величину, яку відповідно до рівняння кривої втоми змінимо на N₀σ_R^m і винесемо з–під знаку суми: ∑N_ці · σ_і^m = N₀ · σ_R^m = const. (25)

На основі залежності (25) дію всього комплексу напружень протягом розрахункового строку служби замінимо дією максимального напруження з еквівалентним числом циклів N_E:

∑N_ці · σ_і^m = N_E · σ_mах^m. (26)

Звідси еквівалентне число циклів напружень

N_E = ∑(σ_і /σ_mах)^m · N_ці = ∑(σ_і /σ_mах)^m · n_і · h_і = n_E · h∑(σ_і /σ_mах)^m · (n_і/n_Е) · (h_i/h).

Враховуючи співвідношення (23), а також позначивши

К_Е = ∑(σ_і /σ_mах)^m · (n_і/n_Е) · (h_i/h); (27)

дістанемо кінцеву формулу для визначення еквівалентного числа циклів

N_E = K_E · N_∑. (28)

Величина К_Е називається коефіцієнтом інтенсивності змінних напружень. Оскільки при напруженнях, спричинених змінним наван­таженням, К_Е < 1 відповідно N_E < N_∑– У даному випадку коефіцієнт довговічності згідно з формулою (22) буде виражатись таким чином: (29)

Відношення напружень σ_і /σ_mах у (27) можна замінити відношен­ням відповідних навантажень F_і/F або T_і/T. При цьому якщо σ_і залежить від F_і лінійно, що має місце в більшості практичних ви­падків, то показник степеня m у (27) залишається без змін. Якщо ж σ_і виражається через F_і у вигляді , наприклад при виз­наченні контактних напружень у деталях із лінійним контактом, то показник степеня повинен бути заміненим на m/2. Відповідно до цього коефіцієнти інтенсивності напружень К_Е можна виразити через навантаження і характеризувати інтенсивність їх протягом строку служби деталі.

Для розрахунків деталей при деформаціях розтягу, згину або кручення

K_E = ∑(F_t/F)^m · (n_і/n_E) · (h_i/h);

K_E = ∑(Т_t/Т)^m · (n_і/n_E) · (h_i/h). (30)

Для розрахунків на контактну міцність деталей з лінійним кон­тактом

K_НЕ = ∑(F_t/F)^m/2 · (n_і/n_E) · (h_i/h). (31)

Коефіцієнти інтенсивності навантаження при типових режимах навантаження деталей машин (див. рис. 2.3) наведені в табл. 4.1 для випадку, коли частота напружень не змінюється із зміною наван­таження, тобто n_і/n_E = 1.

Деякі відомості про значення показників степеня m кривої втоми для різних матеріалів, а також бази випробувань N₀ наведені в табл.

Граничні напруження. На основі даних про вплив різних факторів на граничні напруження в деталях машин і з урахуванням вихідного значення однієї з нормативних механічних характеристик матеріалу можна записати формули для визначення граничних напружень σ_lim реальної деталі:

для деталей з пластичних матеріалів, які працюють при постійних напруженнях,

σ_lim = σ_T · K_dT/K_sσ, τ_lim = τ_Т · K_d/K_sτ; (32)

для деталей з крихких матеріалів, які працюють при постійних на­пруженнях,

σ_lim = σ_B · K_dB/K_sσ, τ_lim = τ_B · K_dB/K_sτ (33)

для деталей з будь–яких матеріалів, які працюють при циклічно змін­них напруженнях, σ_lim = σ_R · K_d · K_ЗM · K_L/K_σ;

τ_lim = τ_R · K_d · K_ЗM · K_L/K_τ. (34)

У записаних формулах:

K_d ≤ 1 – коефіцієнт впливу абсолютних розмірів деталі; [K_sσ · (K_sτ); K_σ · (K_τ)] ≥ 1 – ефективні коефіцієнти концентрації напружень при постійних і циклічно змінних діючих напруженнях; К_зм 1 – коефіцієнт, який враховує стан поверхні деталі або її поверхневе зміцнення; K_L ≥ 1 – коефіцієнт довговіч­ності [див. формули (22) і (29)].