И основные характеристики психологического эксперимента 10 страница

Шкала (лат. scala — лестница) в буквальном значении есть измерительный инструмент.

П. Суппес и Дж. Зинес [Суппес П., Зинес Дж., 1967] дали классическое определение шкалы: "Пусть А — эмпирическая система с отношениями (ЭСО), R — полная числовая система с отношениями (ЧСО), f — функция, которая гомоморфно отображает А в подсистему R (если в области нет двух разных объектов с одинаковой мерой, что является отображением изоморфизма). Назовем шкалой упорядоченную тройку < А; R; f >".

Обычно в качестве числовой системы R выбирается система действительных чисел или ее подсистема. Множество А — это совокупность измеряемых объектов с системой отношений, определенной на этом множестве. Отображение f — правило приписывания каждому объекту определенного числа.

В настоящее время определение Суппеса и Зинеса уточнено. Во-первых, в определение шкалы вводится G — группа допустимых преобразований. Во-вторых, множество А понимается не только как числовая система, но и как любая формальная знаковая система, которая может быть поставлена в отношение гомоморфизма с эмпирической системой. Таким образом, шкала — это четверка < А; R; f; G >. Согласно современным представлениям, внутренней характеристикой шкалы выступает именно группа G, a f является лишь привязкой шкалы к конкретной ситуации измерения.

В настоящее время под измерением понимается конструирование любой функции, которая изоморфно отображает эмпирическую структуру в символическую структуру. Как уже отмечено выше, совсем не обязательно такой структурой должна быть числовая. Это может быть любая структура, с помощью которой можно

измерить характеристики объектов, заменив их другими, более удобными в обращении (в том числе числами).

Подробнее математические основания теории психологических измерений изложены в монографии А. Д. Логвиненко "Измерения в психологии: математические основы" (1993). Существуют следующие основные типы шкал: наименований, порядка, интервалов, отношений. Ряд специалистов выделяет также абсолютную шкалу и шкалу разностей. Рассмотрим особенности каждого типа шкал.

6. 1.1 Шкала наименований

Шкала наименований получается путем присвоения "имен" объектам. При этом нужно разделить множество объектов на непересекающиеся подмножества.

Иными словами, объекты сравниваются друг с другом и определяется их эквивалентность — неэквивалентность. В результате данной процедуры образуется совокупность классов эквивалентности. Объекты, принадлежащие к одному классу, эквивалентны друг другу и отличны от объектов, относящихся к другим классам. Эквивалентным объектам присваиваются одинаковые имена.

Операция сравнения является первичной для построения любой шкалы. Для построения такой шкалы нужно, чтобы объект был равен или подобен сам себе ( х = х для всех значений х), т. е. на множестве объектов должно быть реализовано отношение рефлексивности. Для

психологических объектов, например испытуемых или психических образов, это отношение реализуемо, если абстрагироваться от времени. Но поскольку операции попарного (в частности) сравнения множества всех объектов эмпирически реализуются неодновременно, то в ходе эмпирического измерения даже это простейшее условие не выполняется.

Следует запомнить: любая шкала есть идеализация, модель реальности, даже такая простейшая, как шкала наименований.

На объектах должно быть реализовано отношение симметрии R (X = Y) > R (Y = X) и транзитивности R (X = Y, Y = Z) > R (X = Z). Но на множестве результатов психологических экспериментов эти условия могут нарушаться.

Кроме того, многократное повторение эксперимента (накопление статистики) приводит к "перемешиванию" состава классов: в лучшем случае мы можем получить оценку, указывающую на вероятность принадлежности объекта к классу.

Таким образом, нет оснований говорить о шкале наименований (номинативной шкале, или шкале строгой классификации) как о простейшей шкале, начальном уровне измерения в психологии.

Существуют более "примитивные" (с эмпирической, но не с математической точки зрения) виды шкал: шкалы, основанные на отношениях толерантности; шкалы "размытой" классификации и т. п.

О шкале наименований можно говорить в том случае, когда эмпирические объекты просто "помечаются" числом. Примером таких пометок являются номера на майках футболистов: цифру "1" по традиции получает вратарь, и это указывает на то,

что по своей функции он отличен от всех остальных игроков; но его функция на футбольном поле эквивалентна функции других вратарей, если не учитывать качество игры.

В принципе, вместо чисел при использовании шкалы наименований необходимо применять другие символы, ибо числовая шкала (натуральный ряд чисел) характеризуется разными системами операций.

Итак, если объекты в каком-то отношении эквивалентны, то мы имеем право отнести их к одному классу. Главное, как говорил Стивене, не приписывать один и тот же символ разным классам или разные символы одному и тому же классу.

Для этой шкалы допустимо любое взаимно однозначное преобразование.

Несмотря на тенденцию "завышать" мощность шкалы, психологи очень часто применяют шкалу наименований в исследованиях. "Объективные" измерительные процедуры при диагностике личности приводят к типологизации: отнесению конкретной личности к тому или иному типа. Примером такой типологии являются классические темпераменты: холерик, сангвиник, меланхолик и флегматик.

В "субъективной" психологии измерения используются также классификации. Примеры: сортировка объектов по Гарднеру, метод константных стимулов в психофизике и т. д. Исследователь, пользующийся шкалой наименований, может применять следующие инвариантные статистики: относительные частоты, моду, корреляции случайных событий,

критерий.2.

6. 1.2 Шкала порядка

Порядковая шкала образуется, если на множестве реализовано одно бинарное отношение — порядок (отношения "не больше" и "меньше"). Построение шкалы порядка — процедура более сложная, чем создание шкалы наименований.

На шкале порядка объект может находиться между двумя другими, причем если а > b, b > с, то а > с (правило транзитивности отношений).

Классы эквивалентности, выделенные при помощи шкалы наименований, могут быть упорядочены по некоторому основанию. Различают шкалу строгого порядка (строгая упорядоченность) и шкалу слабого порядка (слабая упорядоченность). В первом случае на элементах множества реализуются отношения "не больше" и "меньше", а во втором — "не больше или равно" и "меньше или равно".

Шкала порядка сохраняет свои свойства при изотонических преобразованиях. Все функции, которые не имеют максимума (монотонные), отвечают этой группе преобразований. Значения величин можно заменять квадратами, логарифмами, нормализовать и т. д. При таких преобразованиях значений величин, определенных по шкале порядка, место объектов на шкале не изменяется, т. е. не происходит инверсий.

Еще Стивене высказывал мнение, что результаты большинства психологических измерений в лучшем случае соответствуют лишь шкалам порядка.

Шкалы порядка широко используются в психологии познавательных процессов, экспериментальной психосемантике, социальной психологии: ранжирование, оценивание, в том числе педагогическое, дают порядковые шкалы. Классическим

Рис. 6.1. Психологические шкалы. Индивидуальный профиль по опроснику MMPI (квазиинтервальное шкалирование)

Рис. 6.1. Психологические шкалы

Индивидуальный профиль по опроснику MMPI (квазиинтервальное шкалирование)

примером использования порядковых шкал является тестирование личностных черт, а также способностей. Большинство же специалистов в области тестирования интеллекта полагают, что процедура измерения этого свойства позволяет использовать интервальную шкалу и даже шкалу отношений.

Как бы то ни было, шкала порядка позволяет ввести линейную упорядоченность объектов на некоторой оси признака. Тем самым вводится важнейшее

Рис. 6.2. Схема вычисления стандартных оценок (стенов) по фактору N 16-факторного личностного опросника Р. Б. Кеттелла; снизу указаны интервалы в единицах 1/2 стандартного отклонения (пример шкалы интервалов)

Рис. 6.2. Схема вычисления стандартных оценок (стенов) по фактору N 16-факторного личностного опросника Р. Б. Кеттелла; снизу указаны интервалы в единицах 1/2 стандартного отклонения (пример шкалы интервалов)

понятие — измеряемое свойство, или линейное свойство, тогда как шкала наименований использует "вырожденный" вариант интерпретации понятия "свойство": "точечное" свойство (свойство есть — свойства нет).

Переходным вариантом шкалы порядка можно считать дихотомическую классификацию, проводимую по принципу "есть свойство — нет свойства" (1; 0) при 1 > 0. Дихотомическое разбиение множества позволяет применять не только порядок, но и метрику. Для интерпретации данных, полученных посредством порядковой шкалы, можно использовать более широкий спектр статистических мер (в дополнение к тем, которые допустимы для шкалы наименований).

В качестве характеристики центральной тенденции можно использовать медиану, а в качестве характеристики разброса — процентили. Для установления связи двух измерений допустима порядковая корреляция (.-Кэнделла и.-Спирмена).

Числовые значения порядковой шкалы нельзя складывать, вычитать, делить и умножать.

6. 1.3 Шкала интервалов

Шкала интервалов является первой метрической шкалой. Собственно, начиная с нее, имеет смысл говорить об измерениях в узком смысле этого слова — о введении меры на множестве объектов. Шкала интервалов определяет величину различий между объектами в проявлении свойства. С помощью шкалы интервалов можно сравнивать два объекта. При этом выясняют, насколько более или менее выражено определенное свойство у одного объекта, чем у другого. Шкала интервалов очень часто используется исследователями. Классическим примером применения этой шкалы в физике является измерение температуры по

Цельсию. Шкала интервалов имеет масштабную единицу, но положение нуля на ней произвольно, поэтому нет смысла говорить о том, во сколько раз больше или меньше утренняя температура воздуха, измеренная шкалой Цельсия, чем дневная.

Значения интервальной шкалы инвариантны относительно группы аффинных преобразований прямой. То есть мы имеем право изменять масштаб шкалы, умножая каждое из ее значений на константу, и производить ее сдвиг относительно произвольно выбранной точки на любое расстояние вправо или влево (прибавлять или отнимать константу).

Интервальная шкала позволяет применять практически всю параметрическую статистику для анализа данных, полученных с ее помощью. Помимо медианы и моды для характеристики центральной тенденции используется среднее арифметическое, а для оценки разброса — дисперсия. Можно вычислять коэффициенты асимметрии и эксцесса и другие параметры распределения. Для оценки величины статистической связи между переменными применяется коэффициент линейной корреляции Пирсона и т. д.

Большинство специалистов по теории психологических измерений полагает, что тесты измеряют психические свойства с помощью шкалы интервалов. Прежде всего это касается тестов интеллекта и достижений. Численные значения одного теста можно переводить в численные значения другого теста с помощью линейного преобразования: х ' = ах + b.

Ряд авторов полагает, что относить тесты интеллекта к шкалам интервалов нет оснований. Во-первых, каждый тест имеет "нуль" — любой индивид может получить минимальный балл, если не решит ни одной задачи в отведенное время. Во-вторых, тест имеет максимум шкалы — балл, который испытуемый может получить, решив все задачи за минимальное время. В- третьих, разница между отдельными значениями шкалы неодинакова. По крайней мере, нет никаких теоретических и эмпирических оснований утверждать, что 100 и 120 баллов по шкале IQ отличаются на столько же, на сколько 80 и 100 баллов.

Скорее всего, шкала любого теста интеллекта является комбинированной шкалой, с естественным минимумом и/или максимумом, но порядковой. Однако эти соображения не мешают тестологам рассматривать шкалу IQ как интервальную, преобразуя "сырые" значения в шкальные с помощью известной процедуры "нормализации" шкалы.

6. 1.4 Шкала отношений

Шкала отношений — наиболее часто используемая в физике шкала. По крайней мере, идеалом измерительной процедуры является получение таких данных о выраженности свойств объектов, когда можно сказать, во сколько раз один объект больше или меньше другого.

Это возможно лишь тогда, когда помимо определения равенства, рангового порядка, равенства интервалов известно равенство отношений. Шкала отношений отличается от шкалы интервалов тем, что на ней определено положение "естественного нуля". Классический пример — шкала температур Кельвина.

В психологии шкалы отношений практически не применяются. Одним из исключений являются шкалы оценки компетентности, основанные на модели Раша (о ней пойдет речь позже). Действительно, вполне можно представить уровень "нулевой" осведомленности испытуемого в какой-то области знаний (например, знание автором этого учебника эскимосского языка) или же "нулевой" уровень владения каким-либо навыком. Авторы стохастической теории теста доказывают, что, введя единую шкалу "трудности задачи — способности испытуемого", можно измерить, во сколько раз одна задача труднее другой или же один испытуемый компетентнее другого.

Значения шкалы отношений инвариантны относительно преобразования вида: х ' = ах. Значения шкалы можно умножать на константу. К ним применимы любые статистические меры.

Измерения массы, времени реакции и выполнения тестового задания — таковы области применения шкалы отношений.

Отличием этой шкалы от абсолютной является отсутствие "естественной" масштабной единицы.

6. 1.5 Другие шкалы

1. Дихотомическая классификация часто рассматривается как вариант шкалы наименований. Это верно, за исключением одного случая, когда мы измеряем свойство, имеющее всего лишь два уровня выраженности: "есть — нет", так называемое "точечное" свойство. Примеров таких свойств много: наличие или отсутствие у испытуемого какой-либо наследственной болезни (дальтонизм, болезнь Дауна, гемофилия и др.), абсолютного слуха и др. В этом случае исследователь имеет право проводить "оцифровку" данных, присваивая каждому из типов цифру "1" или "О", и работать с ними как со значениями шкалы интервалов.

В ряде пособий неверно утверждается, что шкала наименований различает предметы по проявлению свойства, но не различает их по уровню проявления этого свойства. Шкала наименований вообще не основана на понятии "свойство" (которое вводится, лишь начиная со шкалы порядка), а базируется на представлении о "типе" — множестве эквивалентных объектов. Для того чтобы ввести понятие "свойство", требуется ввести отношения не между объектами, а между классами (типами) эквивалентных объектов (которые, конечно, могут содержать всего лишь один объект).

2. Шкала разностей, в отличие от шкалы отношений, не имеет естественного нуля, но имеет естественную масштабную единицу измерения. Ей соответствует аддитивная группа действительных чисел. Классическим примером этой шкалы является историческая хронология. Она сходна со шкалой интервалов. Разница лишь в том, что значения этой шкалы нельзя умножать (делить) на константу. Поэтому считается, что шкала разностей — единственная с точностью до сдвига. Некоторые исследователи полагают, что Иисус Христос родился за четыре года до общепринятого начала нашего христианского летосчисления. Сдвиг на четыре года назад ничего не изменит в хронологии. Можно использовать мусульманское летосчисление или же считать годы от сотворения мира. Кому как нравится.

В психологии шкала разностей используется в методиках парных сравнений.

3. Абсолютная шкала является развитием шкалы отношений и отличается от нее тем, что обладает естественной единицей измерения. В этом ее сходство со шкалой разностей. Число решенных задач ("сырой" балл), если задачи эквивалентны, — одно из проявлений абсолютной шкалы.

В психологии абсолютные шкалы не используются. Данные, полученные с помощью абсолютной шкалы, не преобразуются, шкала тождественна сама себе. Любые статистические меры допустимы.

4. В литературе, посвященной проблемам психологических измерений, упоминаются и другие типы шкал: ординальная (порядковая) с естественным началом, лог - интервальная, упорядоченная метрическая и др. О свойствах порядковой шкалы с естественным началом упоминалось в данном разделе.

Все написанное выше относится к одномерным шкалам. Шкалы могут быть и многомерными: шкалируемый признак в этом случае имеет ненулевые проекции на два (или более) соответствующих параметра. Векторные свойства, в отличие от скалярных, являются многомерными.

6. 1.6 Шкальные преобразования

Возможны два варианта шкальных преобразований:

1) повышение мощности шкалы;

2) понижение мощности шкалы.

Вторая процедура является тривиальной. Поскольку все возможные процедуры преобразований, которые приемлемы для более мощной шкалы (например, шкалы интервалов), допустимы и для менее мощной (например, шкалы порядка), то у нас есть право рассматривать данные, полученные с помощью интервальной шкалы, как порядковые или, допустим, порядковую шкалу — в качестве номинальной. Другое дело, если (по каким-либо соображениям) у нас возникает потребность перейти от шкалы наименований к шкале порядка и т. д. Для этого требуется вводить необъективные (с позиций математической теории измерений) допущения и эмпирические приемы, базирующиеся лишь на интуиции и правдоподобных рассуждениях. Но в большинстве случаев производится эмпирическая проверка: в какой мере данные, полученные с помощью "слабой" шкалы, удовлетворяют требованиям более "мощной" шкалы.

Рассмотрим переход от шкалы наименований к порядковой шкале. Естественно, для этого нужно упорядочить классы по некоторому основанию. Предположим, что принадлежность объекта к некоторому классу есть случайная функция. Тогда переход от номинативной шкалы к шкале порядка возможен в том случае, если существует упорядоченность классов. Во-первых, для каждого элемента существует модальный класс, вероятность принадлежности к которому значимо больше, чем к другим классам. Во-вторых, для каждого элемента существует только одна функция вероятностной принадлежности к множеству классов, такая, чтобы эти классы можно было упорядочить единственным образом. Проще говоря, каждый класс должен иметь только двух соседей: "слева" и "справа", а порядок соседства определяется эмпирической частотой попадания элементов в различные классы. В "свой" класс

элемент попадает чаще, в соседние со "своим" — реже и в отдаленные — еще реже. При обработке данных осуществляется эмпирическая проверка каждой тройки классов на стохастическую транзитность. Преобразование шкалы порядка в шкалу интервалов — более частый вариант. Он подробно описан в литературе, посвященной теории психологических измерений, в частности теории тестов.

6.2 ВИДЫ ПСИХОЛОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

В психологии используется множество конкретных измерительных методик. Удобную классификацию психологических измерений предложил С. С. Паповян [Паповян С. С., 1983]. Будем придерживаться ее в дальнейшем изложении.

Методы психологических измерений могут быть классифицированы по различным основаниям:

1) процедуре сбора "сырых" данных;

2) предмету измерения;

3) виду используемой шкалы;

4) типу шкалируемого материала;

5) моделям шкалирования;

6) числу "мерностей" (одномерные и многомерные);

7) мощности метода сбора данных (мощные или слабые);

8) типу ответа индивида;

9) какими они являются: детерминистскими или вероятностными.

Для психолога-экспериментатора главными основаниями являются процедура сбора данных и предмет измерения.

Чаще всего применяются следующие процедуры субъективного шкалирования:

Метод ранжирования. Все объекты представляются испытуемому одновременно, он должен их упорядочить по величине измеряемого признака.

Метод парных сравнений. Объекты предъявляются испытуемому попарно (число предъявлений равно числу сочетаний ( п)). Испытуемый оценивает сходства — различия между членами пар.

Метод абсолютной оценки. Стимулы предъявляются по одному. Испытуемый дает оценку стимула в единицах предложенной шкалы.

Метод выбора. Индивиду предлагается несколько объектов (стимулов, высказываний и т. д.), из которых он должен выбрать те, которые соответствуют заданному критерию.

По предмету измерения все методики делятся на: а) методики шкалирования объектов, б) методики шкалирования индивидов и в) методики совместного шкалирования объектов и индивидов.

Методики шкалирования объектов (стимулов, высказываний и др.) выстраиваются в контекст экспериментальной или измерительной процедуры. По своей сути они не являются задачей исследователя, а представляют собой экспериментальную задачу испытуемого. Исследователь использует эту задачу для выявления поведения испытуемого (в данном случае — реакций, действий, вербальных оценок и др.),

чтобы определить особенности его психики. Поэтому нет оснований причислять эти техники к методам психологического измерения поведения, если под измерением понимать только задачу экспериментатора.

При субъективном шкалировании испытуемый выполняет функции измерительного прибора, а экспериментатор мало интересуется особенностями "измеряемых" испытуемым объектов и исследует сам "измерительный прибор".

Парадигма субъективного шкалирования перешла в другие области психологии из психофизики, где классификация задач испытуемого в эксперименте очень хорошо разработана. Этого нельзя сказать об остальных областях психологии.

Но по укоренившейся традиции методики и модели субъективного шкалирования рассматриваются в одном разделе с техниками и моделями измерения поведения. Традиция эта

связана с тем, что и при "шкалировании объектов", и при "шкалировании индивидов" в процессе обработки и интерпретации данных используется сходный математический аппарат. Процедуре одномерного и многомерного субъективного шкалирования посвящена обширная научная и учебная литература (см. Библиографию).

Остановимся на моделях совместного шкалирования объектов и испытуемых. Модели делятся на два вида: детерминистические и вероятностные. Суть этих моделей в том, что и объекты, и индивиды, которые высказывают суждения об объектах, "отображаются" на одну шкалу на основании обработки данных поведенческого измерения либо субъективного шкалирования.

Основными детерминистическими моделями являются метод развертывания К. Кумбса [Coombs С. Н., 1964] и шкалограммный анализ Л. Гутмана [Guttman L, 1944]. К вероятностным моделям относится латентно-структурный анализ IRT (item response theory) (см. разд. 6.5). Здесь же мы кратко остановимся на детерминистических моделях.

Метод развертывания Кумбса исходит из предположения, что объекты и индивиды могут быть размещены на шкале одномерного признака. Индивид может предпочитать один объект другому. Существует "идеальная точка" индивида — субъективный эталон. Индивид предпочитает тот стимул, который "ближе" к субъективному эталону.

Процедура измерения состоит в следующем. Испытуемому предъявляются пары стимулов, которые он сравнивает. Формируется матрица частоты предпочтений стимулов размером т х п (т — стимулы, п — индивиды). В клеточках матрицы — относительные частоты предпочтений. Шкалограммный анализ Гутмана используется для построения опросников. Наиболее часто он применяется при дихотомической оценке ответа испытуемого ("да" — "нет", "решил" — "не решил").

Предполагается следующее: принятие индивидом пункта (решение задачи, ответ "да" и т. д.) означает то, что его шкальное значение не меньше величины пункта. Если индивид решает данную задачу, то он решает любую другую (более легкую) задачу. Принятие индивидом пункта опросника или правильное решение задачи обозначается как "1", непринятие пункта или неверное решение — "0".

В ходе обработки строки и столбцы исходной матрицы данных переставляются так, чтобы она соответствовала "совершенной" шкалограмме: матрица выше диагонали, т. е. верхняя правая часть матрицы, должна состоять из единиц, а нижняя

левая — включать только нули. Порядок индивидов по строкам должен соответствовать порядку заданий по столбцам по величине выраженности свойства.

Практически никогда идеальная шкалограмма не получается.

Оценка одномерности признака предложена Гутманом и называется воспроизводимости.

R = 1 - e/ nk,

коэффициентом

где е — число "ошибок" в откликах испытуемых, п — количество испытуемых, k — число заданий.

Существует также модификация модели Гутмана, описывающая процедуру с несколькими вариантами ответов.

6.3 ТЕСТИРОВАНИЕ И ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ

Тестирование (в частности, психологическое) является разновидностью процедуры измерения свойств объекта. Свойство — философская категория, выражающая такую сторону предмета, которая обусловливает его различия и общность с другими предметами и обнаруживается в его отношении к ним.

В логике под свойством понимается одноместный предикат вида Р (х): например, x - город — в отличие от отношения, которое также является одноместным предикатом. Свойство может быть многоместным предикатом, а отношение — одноместным, например: "Петр любит самого себя". Свойство ограничивает область объектов, которым оно приписывается. В результате операции приписывания свойства объектов становится меньше, чем было до этого. Отношение же всегда образует новые объекты, например, Р (х, у, z), где х — мужчины, у — женщины, z — дети; если Р — генетическое отношение, то связанные этим отношением х, у и z дают новый объект — человечество.

Отсюда ясно, что вводя понятие "свойство", мы выделяем класс психических сущностей, которые этим свойством обладают.

Свойства классифицируются по наличию интенсивности и ее изменениям. При этом различают три основных типа свойств:

а)точечные;

б)линейные;

в)многомерные.

Рассмотрим первый тип: точечные свойства. Человек может быть: либо мертвым, либо живым; или мужчиной, или женщиной; или холериком, или сангвиником.

Ни одна женщина не может быть чуть-чуть беременной. Существуют свойства, которые не имеют интенсивности и могут рассматриваться как точечные, или "свойства нулевого измерения". Такие свойства обладают определенностью, качественной, но не количественной. Второй тип свойств образуют линейные свойства (одномерные свойства). Последний термин, с нашей точки зрения, более удачен. Другие линейные свойства, присущие предмету, всегда имеют определенную интенсивность, причем могут изменяться лишь в направлении уменьшения или увеличения этой интенсивности. Таковы масса, упругость, вязкость, мощность, температура, физическая сила человека, его рост и т. д. Отметим, что большинство психических свойств относится традиционно к этому типу. В частности, факторная теория интеллекта вводит понятия: "общий интеллект", "креативность", "дивергентное мышление", основываясь на том, что эти свойства являются одномерными (линейными).

Одномерные (линейные) свойства помимо качественной определенности обладают также количественной. Обычно вводится понятие интервала интенсивности, под которым понимается вся совокупность интенсивностей данного свойства (диапазон интенсивности). Физические свойства такого рода называются скалярами.

Примером двухмерных свойств являются векторные величины. Двухмерные свойства можно представить как комбинацию одномерных (разложение вектора на плоскости — комбинация скалярных величин: величины угла и длины отрезка). Их обобщением являются многомерные свойства, которые можно определить как свойства, способные изменяться в n - отношениях: пространственные векторы в математике, тензоры в физике и т. д.

Между точечными, линейными и многомерными свойствами существует простое отношение сводимости: многомерное свойство может быть представлено как совокупность линейных свойств, а линейное — как множество точечных свойств. Соответственно набор точечных свойств можно представить в качестве псевдолинейного свойства, а набор линейных — как псевдомногомерное свойство.