Оценка результатов выборочного наблюдения

АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ

ВЫБОРОЧНОГО СТАТИСТИЧЕСКОГО НАБЛЮДЕНИЯ

Метод выборочного наблюдения

Выборочное наблюдение является разновидностью несплошного статистического наблюдения и заключается в случайном или механическом отборе отдельных единиц статистической совокупности или их групп. При этом совокупность отобранных единиц называется выборочной совокупностью, а совокупность, из которой производят отбор, – генеральной совокупностью.

Основная задача выборочного наблюдения состоит в том, чтобы на основе статистических показателей, рассчитанных для выборочной совокупности, определить их значения для генеральной совокупности. Например, определить среднюю норму прибыли для всех предприятий отрасли, зная ее среднее значение для части предприятий этой отрасли, или определить долю населения города, поддерживающего проведение городской администрацией определенных мероприятий, зная значение этой доли только для части населения.

По виду формирования различают:

· индивидуальное выборочное наблюдение, когда отбирают отдельные единицы наблюдения;

· групповое наблюдение, когда отбирают группы единиц.

По методу отбора различают:

· повторное выборочное наблюдение, когда выбранная единица остаётся в генеральной совокупности и может быть выбрана ещё сколько угодно раз;

· бесповторное наблюдение, когда выбранная единица исключается из генеральной совокупности и в последующем отборе не участвует.

В зависимости от конкретного механизма отбора различают способы выборочного наблюдения:

· собственно-случайный, когда случайным образом (с помощью таблицы случайных чисел или жеребьёвки) отбирают отдельные единицы совокупности;

· механический, когда генеральную совокупность вначале упорядочивают по нейтральному признаку в порядке его возрастания или убывания (например, упорядочивают людей по фамилии или предприятий по названию в соответствии с последовательностью букв в алфавите), а затем отбирают заданное число единиц наблюдения через определённый интервал (например, при двухпроцентном отборе – каждую 50-ую единицу);

· типический, когда генеральную совокупность вначале разбивают на качественно однородные группы по признакам, от которых зависят изучаемые показатели (например, группировка предприятий по форме собственности). Затем из каждой группы отбирают отдельные единицы – случайно или механически;

· серийный, когда вначале из генеральной совокупности выбирают случайно или механически равновеликие группы единиц – серии (например, ящики с товаром). Затем в каждой отобранной серии обследуют все без исключения единицы. Примером такого способа отбора является проверка качества партии товара путем вскрытия отдельных упаковок товара.

Собственно-случайный, механический и типический способы отбора являются реализацией индивидуального выборочного наблюдения, а серийный – группового.

При проведении выборочного наблюдения всегда возникают ошибки репрезентативности. Они представляют собой расхождения между выборочным и генеральным значениями рассматриваемых показателей и возникают из-за того, что выборочная совокупность не в полной мере воспроизводит генеральную. Наличие ошибок репрезентативности обусловливает необходимость оценки точности и достоверности результатов выборочного наблюдения.

Оценка результатов выборочного наблюдения

Порядок оценки результатов выборочного наблюдения рассмотрим на примере определения генеральной средней () для количественного признака и генеральной доли (p) для альтернативного атрибутивного признака.

Обозначим ошибку выборки соответственно:

;

,

где:

– выборочная средняя;

w – выборочная доля.

Ошибка выборки является случайной величиной, так как заранее неизвестно, какие единицы попадут в выборочную совокупность, а какие – нет. Поэтому, оценивая точность результатов наблюдения, рассчитывают среднее и предельное значение ошибки выборки, которые связаны между собой уравнением:

;

,

где:

– предельные значения ошибки выборки;

– средние значения ошибки выборки;

t – коэффициент доверия. Он зависит от вероятности, с которой гарантируется предельная ошибка выборки – доверительной вероятности.

Предельное значение ошибки выборки определяет предельные границы генеральной средней (доли), образующие доверительный интервал:

;

.

Если показатель предельной ошибки выборки характеризует точность результатов выборочного наблюдения, то показатель доверительной вероятности – их достоверность. При заданном объеме выборочной совокупности между ними существует обратная связь – увеличение точности результатов наблюдения приводит к уменьшению их достоверности и наоборот.

В таблице 8.1 представлены значения доверительной вероятности, наиболее часто применяемые при проведении статистических выборок большого объёма (не менее 30 единиц), и соответствующие им значения коэффициента доверия.

Таблица 8.1

P	0,683	0,95	0,954	0,99	0,997
t		1,96		2,58

 

Порядок расчёта средней ошибки выборки зависит от способа выборочного наблюдения и метода отбора.

При собственно-случайном наблюдении среднюю ошибку выборки определяют по следующим формулам:

· при повторном отборе

;

;

 

· при бесповторном отборе

;

,

где:

– выборочная дисперсия;

– выборочная дисперсия доли;

n – объём выборочной совокупности;

N – объём генеральной совокупности.

При заданном объеме выборки средняя ошибка бесповторного наблюдения всегда меньше средней ошибки повторного наблюдения, так как при бесповторном наблюдении выборочная совокупность будет в большей степени соответствовать генеральной, чем при повторном наблюдении, при котором может быть отобрана несколько раз одна и та же единица генеральной совокупности. Математически это подтверждается тем, что объем выборки всегда меньше объема исходной статистической совокупности, то есть

.

Тогда

.

Очевидно, что появление в формуле дополнительного множителя, меньшего единицы, уменьшает окончательный результат.

Пример 8.1. В таблице 8.2 представлены данные собственно-случайного повторного выборочного наблюдения деревьев в лесу, организованного с целью определения среднего диаметра деревьев во всем лесу. Рассчитаем границы, в которых находится генеральное значение среднего диаметра деревьев, гарантировав эти границы с вероятностью 0,683.

Таблица 8.2

Диаметр дерева, см	10 – 30	30 – 50	50 – 70	70 – 90	90 - 110	Итого
Число деревьев

 

Решение.

Искомые границы среднего диаметра деревьев во всем лесу

.

Выборочный средний диаметр деревьев

.

Предельная ошибка среднего диаметра

.

При доверительной вероятности P = 0,683 табличное значение коэффициента доверия t = 1.

Выборочная дисперсия диаметра деревьев

.

Итерационную часть расчетов представим в таблице 8.3.

Таблица 8.3

Итого			–

 

Согласно данным итоговой строке таблицы 8.3:

см;

;

≈ 12,7 см;

= 29,3; 54,7 см.

Таким образом, с вероятностью 0,683 можно утверждать, что средний диаметр деревьев в лесу находится в пределах от 29,3 до 54,7 см.

 

При большом объёме выборочной совокупности механическое наблюдение близко к бесповторному собственно-случайному отбору. Действительно, если, например, совокупность людей большого объема предварительно упорядочить по их фамилиям в алфавитном порядке и отобрать каждого k -го человека, то нельзя заранее узнать, кто из первоначальной неупорядоченной совокупности попадет в выборку, а кто – нет. Следовательно, по своей сути такой отбор будет носить случайный характер, но с той лишь разницей, что он всегда будет бесповторным. Поэтому для механической выборки могут быть применены формулы расчёта средней ошибки бесповторной собственно-случайной выборки.

Пример 8.2. Статистическим управлением города для изучения общественного мнения о работе городской администрации в порядке механического отбора было опрошено 6400 чел., что составило 2 % населения города. Из числа опрошенных 3840 чел. положительно оценили работу администрации. Определим с вероятностью 0,954 пределы, в которых находится доля городского населения, положительно оценивающего работу администрации.

Решение.

Границы доли населения, положительно оценивающего работу администрации

.

Выборочная доля населения

.

Предельная ошибка доли населения

.

При доверительной вероятности Р = 0,954 табличное значение коэффициента доверия t = 2.

Поскольку доля опрошенных людей от всего населения города составила 2 %, то

.

Тогда

≈ 0,012;

0,588; 0,612.

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что от 58,8 до 61,2 % населения города положительно оценивают работу городской администрации.

 

При типическом наблюдении средняя ошибка выборки определяется по следующим формулам:

· при повторном отборе

;

;

· при бесповторном отборе

где:

– среднее значение внутригрупповых выборочных дисперсий;

– среднее значение внутригрупповых выборочных дисперсий доли.

Условием применения этих формул является пропорциональный отбор единиц в типические группы, основанный на выполнении условия

,

где:

n_i, N_i – число единиц в i -ой выборочной и i -ой генеральной типических группах.

Пример 8.3. С целью выявления удельного веса простоев из-за несвоевременного поступления на предприятие комплектующих изделий было проведено одномоментное выборочное наблюдение рабочих трёх цехов на основе 20%-го случайного бесповторного отбора. Результаты наблюдения представлены в таблице 8.4.

Таблица 8.4

№ цеха	Объём выборки, чел.	Удельный вес простоев
		0,15
		0,10
		0,08
Итого		–

 

Определим с вероятностью 0,997 пределы, в которых находится удельный вес простоев рабочих из-за несвоевременного поступления комплектующих на предприятие в целом.

Решение.

Имеет место типический бесповторный отбор рабочих (номер цеха – это типологический признак рабочего).

Пределы удельного веса простоев

.

Общий удельный вес простоев

.

Предельная ошибка удельного веса простоев

.

Среднее значение внутригрупповых дисперсий удельного веса простоев

≈ 0,098.

При доверительной вероятности Р = 0,997 табличное значение коэффициента доверия t = 3.

Доля опрошенных рабочих в каждом цехе и, следовательно, на всем предприятии составила 20%, поэтому

.

Тогда

;

0,027; 0,185.

Таким образом, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что удельный вес простоев рабочих из-за несвоевременного поступления комплектующих на предприятие в целом находится в пределах от 0,027 до 0,185.

Пример 8.4. В таблице 8.5 представлены результаты выборочного 10%-го механического наблюдения предприятий отрасли, сгруппированных по форме собственности и величине фондовооруженности. Определим с вероятностью 0,954 пределы, в которых находится среднее значение фондовооруженности предприятий отрасли.

Таблица 8.5

Форма собственности предприятия	Фондовооруженность, тыс. руб./чел.	Итого
500 – 1000	1000 – 1500	1500 – 2000
Хозяйственные товарищества
Производственные кооперативы
Государственные (муниципальные) унитарные предприятия
Итого

Решение.

Имеет место типический механический отбор (отбираемые предприятия предварительно сгруппированы в типические группы по форме собственности).

Пределы средней фондовооруженности

.

Выборочная средняя фондовооруженность

тыс. руб./чел.

Предельная ошибка средней фондовооруженности

.

Среднее значение внутригрупповых дисперсий фондовооруженности

,

где , – число предприятий и дисперсия их фондовооруженности в рамках j -ой группы.

Внутригрупповые дисперсии фондовооруженности

.

Внутригрупповые средние значения фондовооружённости:

;

тыс. руб./чел.;

тыс. руб./чел.;

≈ 1393 тыс. руб./чел.

Тогда:

;

;

≈ 157765;

≈ 151204.

При доверительной вероятности P = 0,954 табличное значение коэффициента доверия: t = 2.

Доля предприятий отрасли, попавших в выборку, составляет 10%, поэтому

.

Тогда:

≈ 62 тыс. руб./чел.;

Тыс. руб./чел.

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что среднее значение фондовооруженности предприятий отрасли находится в пределах от 1313 до 1437 тыс. руб./чел.

 

При серийном наблюдении для расчета средней ошибки выборки используют следующие формулы:

· при повторном отборе

;

;

· при бесповторном отборе

;

,

где:

– межсерийная выборочная дисперсия;

– межсерийная выборочная дисперсия доли;

r – число отобранных серий;

R – число серий в генеральной совокупности.

Пример 8.5. С целью проверки качества радиоэлектронной продукции из двадцати равновеликих партий микросхем случайным бесповторным образом отобрали пять партий. В каждой из них подвергли проверке все микросхемы. В результате проверки доля бракованных микросхем в отдельных партиях составила 5; 6; 4; 2 и 3 % соответственно. Определим с вероятностью 0,997, в каких пределах находится доля бракованных микросхем во всех двадцати партиях.

Решение.

Имеет место серийный бесповторный отбор.

Границы генеральной доли бракованных микросхем

.

Общая выборочная доля бракованных микросхем

.

Предельная ошибка выборочной доли бракованных микросхем

.

Поскольку доверительная вероятность P = 0,997, то t = 3.

Межсерийная дисперсия доли бракованных микросхем

.

Тогда

;

0,024; 0,056.

Таким образом, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что доля бракованных микросхем в целом во всех партиях находится в пределах от 2,4 до 5,6 %.

Пример 8.6. Для оценки качества работы конвейерной машины по расфасовке сахарного песка подвергли сплошному наблюдению упаковки сахарного песка в трёх контейнерах одинакового объёма. Эти контейнеры были отобраны механическим образом из девяти имеющихся в наличии. В результате наблюдения была определена средняя масса одной упаковки сахарного песка в каждом контейнере. Её величина составила соответственно 995; 1050, 1010 грамм. Определим с вероятностью 0,954 пределы, в которых находится средняя масса упаковки сахарного песка во всех девяти контейнерах.

Решение.

Границы средней массы одной упаковки

.

Общая выборочная средняя масса одной упаковки

г.

Предельная ошибка средней массы одной упаковки

.

При доверительной вероятности P = 0,954 коэффициент доверия t = 2.

Межсерийная дисперсия средней массы одной упаковки

.

Тогда:

г;

= 985; 1051 г.

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средняя масса одной упаковки сахарного песка во всех имеющихся в наличии контейнерах находится в пределах от 985 до 1051 г.

 

8.3. Определение необходимого объёма выборки

Перед проведением выборочного наблюдения необходимо определить объём будущей выборочной совокупности. Выбор объёма осуществляют, задаваясь точностью результатов наблюдения (предельной ошибкой выборки) и их достоверностью (доверительной вероятностью или коэффициентом доверия).

В таблице 8.6 представлены формулы расчёта необходимого объёма выборки при различных способах наблюдения. Применение этих формул требует знания выборочных дисперсий – общей, внутригрупповых или межсерийной. Их значения можно взять из результатов аналогичного наблюдения, проведённого ранее. Если такой возможности нет, то необходимо провести предварительное выборочное наблюдение небольшого объёма и по его результатам рассчитать выборочные дисперсии.

Пример 8.7. Планируется проведение собственно-случайного повторного наблюдения проб угля месторождения с целью определения его средней зольности (в %). При наблюдении аналогичного месторождения среднеквадратичное отклонение зольности угля составило 3%. Определим необходимое число проб угля для определения средней зольности всего месторождения наблюдения с точностью ±0,5% и доверительной вероятностью 0,954.

Таблица 8.6

Способ наблюдения	Исследуемый показатель	Метод наблюдения
повторный	бесповторный
Собственно-случайный	Среднее значение
Доля
Механический	Среднее значение	–
Доля	–
Типический	Среднее значение
Доля
Серийный	Среднее значение
Доля

 

Решение.

Необходимый объем выборки

.

При доверительной вероятности P = 0,954 коэффициент доверия t = 2.

Тогда

пробы.

Таким образом, чтобы определить среднюю зольность угля всего месторождения с точностью ± 3% и гарантировать этот результат с вероятностью 0,954, необходимо подвергнуть собственно-случайному повторному наблюдению 144 пробы угля.

Пример 8.8. Необходимо провести серийное бесповторное наблюдение партии говяжьей тушёнки с целью определения средней массы одной банки. Партия состоит из 100 упаковок. При проверке предыдущей аналогичной партии было обследовано пять упаковок тушенки. При этом в каждой упаковке средняя масса банки составила соответственно 320; 323; 327 и 330 г. Определим, сколько упаковок надо обследовать в текущей партии, чтобы получить результат с точностью ± 3 г и доверительной вероятностью 0,683.

Решение.

Необходимый объём выборки

.

При доверительной вероятности P = 0,683 коэффициент доверия t = 1.

Межсерийная дисперсия средней массы банки тушенки по данным предыдущего наблюдения

.

Общая средняя масса банки тушенки по данным предыдущего наблюдения

г.

Тогда:

.

упаковки.

Таким образом, чтобы определить среднюю массу банки говяжьей тушёнки во всей партии с точностью ± 3 г и гарантировать этот результат с вероятностью 0,683, необходимо подвергнуть сплошному наблюдению банки из двух упаковок, отобрав эти упаковки механически или случайно-бесповторно.

Пример 8.9. В отчетном году планируется провести выборочное повторное наблюдение сотрудников государственной противопожарной службы рядового и младшего начальствующего состава, проходящих службу на территории Санкт-Петербурга и Ленинградской области, с целью определения доли сотрудников, удовлетворённых условиями своей службы. По результатам аналогичного опроса в предшествующем году были получены следующие значения доли сотрудников, удовлетворённых условиями своей службы: рядовой состав – 45%; младший начальствующий состав – 55%. При этом число опрошенных каждой категории сотрудников было одинаковым. Определим, сколько требуется опросить сотрудников, чтобы точность результатов наблюдения составила ± 5 % с доверительной вероятностью 0,954.

Решение.

Имеет место типическое повторное наблюдение.

Необходимый объём наблюдения

.

При доверительной вероятности P = 0,954 коэффициент доверия t = 2.

Среднее значение внутригрупповой дисперсии доли по данным прошлого наблюдения

= 0,2475.

Тогда

чел.

Таким образом, опросив 396 человек из числа сотрудников государственной противопожарной службы (198 человек рядового состава и 198 человек младшего начальствующего состава) и рассчитав на основе результатов опроса общую долю сотрудников, удовлетворённых условиями своей службы, можно гарантировать точность значения этого показателя на уровне ± 5 % с доверительной вероятностью 0,954.