Построение маршрутных матриц

4.1 Постройте маршрутные матрицы для каждого узла сети(n = 10), которые обеспечивают выбор основного направления, а также двух обходных при упорядочении соединительных трактов от рассматриваемого узла ко всем остальным узлам.

Для остального направления (пути первого выбора) необходимо использовать кратчайшие пути по расстоянию от узла S(S = 1,…..,n) в остальные пункты сети.

Для обходных (путей второго и третьего выбора) – кратчайшие по транзитам пути при максимально допустимой транзитности T₀ = 2. При наличии нескольких путей одинаковой транзитности преимущество следует отдавать пути, кратчайшему по расстоянию.

Для определения путей, кратчайших по расстоянию, в качестве исходной матрицы длин линий, которые соединяют узловые пункты сети, воспользуйтесь матрицей весов, полученной при выполнении задания 1, а для определения путей минимальной транзитности смежности.

Для расчета основного напряжения воспользуемся алгоритмом Дейкстры. Особенностью этого алгоритма является тот факт, что в процессе выполнения одновременно строятся кратчайшие пути от заданной вершины S к остальным вершинам сети. Это объясняет тем, что любая вершина может оказаться промежуточной в кратчайшем пути из S в t.

Работа алгоритма реализуется с помощью расстановки у вершины меток вида (L_sj,i), где L_sj – длина кратчайшего пути из исходной вершины S определенную вершину j, а I – предыдущая вершина в этом пути.

Метки разделаются на временные и постоянные. Временные метки могут изменятся в следствии работы алгоритма, а постоянные не изменяются:

Алгоритм Дейкстры в пошаговой форме выглядит так:

Шаг 0. Для вершины S полагается L_ss = 0, а для остальных вершин L_sj = ∞. Все вершины имеют временную метку вида (L_sj,i).

Шаг 1. Среди вершин с временными метками выбираем вершину r, для которой L_sr = min(L_sj). Метка вершины r становится постоянной.

Шаг 2. Если все вершины сети получили постоянные метки – конец работы алгоритма. Иначе – переход кшагу

Шаг 3. Пересчитываем вершинные метки для вершины, смежных с вершиной r, которая получила постоянную метку на шаге 1, в соответствии с выражением L_sj = min(L_sj, L_sr + L_rj). Переход к шагу 1.

Для определения кратчайших по транзитности путей воспользуемся алгоритмом «ярусного дерева». Данный алгоритм вмещает в себя такие шаги:

Шаг 0. Создать подмножество нулевого яруса, включив в него единственный элемент – вершину S.Используя матрицу смежности, выписать номера столбцов в ряду с номерами S. Элементы которой равняются a_ij = 1. Таким образом получено подмножество вершин первого яруса, образованное вершиной S.

Шаг 1. Создать подмножество вершин следующего яруса. Для этого:

а) по очереди выбираются вершины предыдущего яруса, для каждой из которых выбирается ряд с одноименным номером в матрице смежности;

б) Для каждого ряда выписываются номера столбцов с нулевыми элементами

в) в каждом из полученных подмножеств исключается номера вершин (номера столбцов), для которых создавались подмножества на предыдущих ярусах. Все не исключенные элементы (номера столбцов) составят подмножество следующего яруса.

Шаг 2. Если номера яруса равняются (T₀ + 1) конец. Иначе – перейти к шагу 1.

 

 

Рисунок 4.1 - Графовая модель сети построения

по алгоритму Дейкстры (исходный узел – 1)

 

Трассировка для узла 1:

2→1 Рисунок 4.2 - Ярусное дерево

3→7→1 (исходный узел – 1)

4→1

5→1

6→3→7→1

7→1

8→10→7→1

9→10→7→1

10→7→1

 

 

	-		-			-		-	-	-
	-	50/4	16/7	45/2	106/8	55/4	-	88/5	56/8	133/8
	-	111/7,3	67/4,6	91/7,6	126/4,6	28/7,3	79/8,10	42/7,10	37/7,10	103/5,8

Таблица 4.1- Маршрутная матрица (исходный узел – 1)

Рисунок 4.3 - Графовая модель сети построения

по алгоритму Дейкстры (исходный узел – 2)

 

Трассировка для узла 2:

1→2

3→7→1→2

4→2

5→1→2 Рисунок 4.4 - Ярусное дерево

6→3→7→1→2 (исходный узел – 2)

7→1→2

8→10→7→1→2

9→10→7→1→2

10→7→1→2

 

 

		-	-	-	-	-	-	-	-	-
	50/4	-	-	35/1	40/1	65/4	21/1	58/1	-	-
	111/3,7	-	31/1,7	143/3,6	75/4,1	70/1,4	56/4,1	83/4,6	13/4,6	42/1,7

Таблица 4.2-Маршрутная матрица (исходный узел – 2)

Рисунок 4.5 - Графовая модель сети построения

по алгоритму Дейкстры (исходный узел – 3)

 

Трассировка для узла 3:

1→7→3

2→1→7→3

4→1→7→3

5→1→7→3 Рисунок 4.6 - Ярусное дерево

6→3 (исходный узел – 3)

7→3

8→6→3

9→10→7→3

10→7→3

 

	-	-	-	-	-			-	-	-
	16/2	-	-	47/6	83/6	60/7	62/6	30/6	60/6	31/7
	67/6,4	31/7,1	-	36/7,1	41/7,1	160/2,4	116/2,1	46/7,10	41/7,10	45/6,8

Таблица 4.3-Маршрутная матрица (исходный узел – 3)

 

Рисунок 4.7 - Графовая модель сети построения

по алгоритму Дейкстры (исходный узел –4)

 

 

Трассировка для узла 4:

1→4

2→4

3→7→1→4

5→1→4 Рисунок 4.8 - Ярусное дерево

6→4 (исходный узел –4)

7→1→4

8→6→4

9→10→7→1→4

10→7→1→4

 

 

		-	-	-	-	-	-	-	-	-
	46/2	35/1	125/2	-	45/1	-	26/1	53/6	83/6	-
	91/6,7	142/6,3	36/1,7	-	72/2,1	76/1,7	51/2,1	88/2,1	143/6,8	47/1,7

Таблица 4.4-Маршрутная матрица (исходный узел – 4)

 

Рисунок 4.9 - Графовая модель сети построения

по алгоритму Дейкстры (исходный узел –5)

 

 

Трассировка для узла 5:

1→5

2→1→5

3→7→1→5

4→1→5 Рисунок 4.10 - Ярусное дерево

6→3→7→1→5 (исходный узел –5)

7→1→5

8→5

9→10→7→1→5

10→7→1→5

 

 

		-	-	-	-	-	-	-	-	-
	106/8	40/1	83/6	45/1	-	81/8	31/1	68/1	119/6	78/8
	126/6,4	75/1,4	41/1,7	70/1,2	-	80/1,4	93/6,3	209/6,9	88/8,10	52/1,7

Таблица 4.5-Маршрутная матрица (исходный узел – 5)

Рисунок 4.11 - Графовая модель сети построения

по алгоритму Дейкстры (исходный узел –6)

 

 

Трассировка для узла 6:

1→7→3→6

2→1→7→3→6

3→6

4→6 Рисунок 4.12 - Ярусное дерево

5→1→7→3→6 (исходный узел –6)

7→3→6

8→6

9→10→8→6

10→8→6

 

 

	-	-		-	-	-	-		-	-
	55/4	65/4	60/7	-	81/8	-	22/3	134/5	108/8	33/8
	28/3,7	70/4,1	160/4,2	76/7,1	80/4,1	-	54/8,10	73/9,10	43/8,9	43/3,7

Таблица 4.6-Маршрутная матрица (исходный узел – 6)

 

Рисунок 4.13 - Графовая модель сети построения

по алгоритму Дейкстры (исходный узел –7)

 

 

Трассировка для узла 7:

1→7

2→1→7

3→7

4→1→7 Рисунок 4.14 - Ярусное дерево

5→1→7 (исходный узел –7)

6→3→7

8→10→7

9→10→7

10→7

 

 

		-		-	-	-	-	-	-	-
	-	21/1	62/6	26/1	31/1	22/3	-	36/10	31/10	-
	79/10,8	56/1,4	116/1,2	51/1,2	93/3,6	54/10,8	-	40/3,6	70/3,6	64/1,8

Таблица 4.7-Маршрутная матрица (исходный узел – 7)

Рисунок 4.15- Графовая модель сети построения

по алгоритму Дейкстры (исходный узел –8)

 

 

Трассировка для узла 8:

1→7→10→8

2→1→7→10→8

3→6→8

4→6→8 Рисунок 4.16- Ярусное дерево

5→8 (исходный узел –8)

6→8

7→10→8

9→10→8

10→8

 

 

	-	-	-	-	-		-	-	-
	88/5	58/1	30/6	53/6	68/1	134/5	36/10	-	25/10	100/9
	42/10,7	83/6,4	46/10,7	88/1,2	209/9,6	73/10,9	40/6,3	-	182/5,6	70/1,7

Таблица 4.8-Маршрутная матрица (исходный узел –8)

Рисунок 4.17- Графовая модель сети построения

по алгоритму Дейкстры (исходный узел –9)

 

 

Трассировка для узла 9:

1→7→10→9

2→1→7→10→9

3→7→10→9

4→1→7→10→9 Рисунок 4.18- Ярусное дерево

5→1→7→10→9 (исходный узел –9)

6→8→10→9

7→10→9

8→10→9

10→9

 

 

	-	-	-	-	-	-	-	-	-
	133/8	-	60/6	83/6	119/6	108/8	31/10	25/10	-	105/8
	37/10,7	113/6,4	41/10,7	143/8,6	88/10,8	43/10,8	70/6,3	182/6,5	-	81/6,8

Таблица 4.9-Маршрутная матрица (исходный узел –9)

 

Рисунок 4.19 - Графовая модель сети построения

по алгоритму Дейкстры (исходный узел –10)

 

 

Трассировка для узла 10:

1→7→10

2→1→7→10

3→7→10

4→1→7→10 Рисунок 4.20 - Ярусное дерево

5→1→7→10 (исходный узел –10)

6→8→10

7→10

8→10

9→10

 

 

	-	-	-	-	-	-	-			-
	27/7	-	31/7	-	78/8	33/8	-	100/9	105/8	-
	103/8,5	42/7,1	45/8,6	47/7,1	52/7,1	43/7,3	64/8,1	70/7,1	81/8,6	-

Таблица 4.10-Маршрутная матрица (исходный узел –10)

4.2 Дать письменные ответы на следующие ключевые вопросы:

1. К какому классу задач относится задача построения маршрутных матриц?

2. Что называется путем в сети? Длиной пути? Транзитностью пути? Кратчайшим путем?

3. Приведите практические ситуации, в которых возникает задача определения кратчайшего пути.

4. На чем основан алгоритм Дейкстры, поиска кратчайших путей?

5. Какого вида пометки используются при работе алгоритма Дейкстры?

6. Можно ли с помощью алгоритма Дейкстры отыскать множество путей, кратчайших по транзитности? Какие исходные данные для этого потребуются?

7. Каким методом можно получить множество путей заданной транзитности?

8. В чем состоит идея метода построения ярусного дерева?

 

Ответы:

1. Задача построения маршрутных матриц относится к классу экстремальных.

2. Путем в сети называется последовательность вершин или последовательность дуг (ребер), соединяющих пару вершин графа. Сумма приписанных дугам (ребрам) весов в пути является длиной пути. Под транзитностью пути подразумевается количество промежуточных вершин, которые встречаются на пути между парой вершин. Путь из одной вершины в другую, имеющий минимально возможную длину, называется кратчайшим.

3. На практике кратчайшие пути определяются для создания маршрутных матриц, которые находятся на каждом узле коммутации сети.

4. Алгоритм Дейкстры основывается на том, что в процессе выполнения одновременно строятся кратчайшие пути от заданной вершины s к остальным вершинам сети. Это объясняется тем, что любая вершина і є N может оказаться промежуточной в кратчайшем пути из s в t.

5. Метки разделяются на временные и постоянные. Временные метки могут изменятся вследствие работы алгоритма, а постоянные не изменяются.

6. Для определения множества путей кратчайших по транзитности при помощи алгоритма Дейкстры достаточно обладать графовой моделью сети.

7. Множество путей заданной транзитности можно получить при помощи построения так называемого «ярусного дерева».

8. Алгоритм построения «ярусного дерева» вмещает в себя такие шаги:

Шаг 0. Создать подмножество нулевого яруса, включив в него единственный элемент – вершину s. Используя матрицу смежности, выписать номера столбцов в ряду с номером s, элементы которой равняются a_sj=1. Таким образом, получено подмножество вершин первого яруса, образованное вершиной s.

Шаг 1. Создать подмножество вершин следующего яруса. Для этого:

а) по очереди выбираются вершины предыдущего яруса, для каждой из которых выбирается ряд с одноименным номером в матрице смежности;

б) для каждого ряда выписываются номера столбцов с нулевыми элементами;

в) в каждом из полученных подмножеств исключаются номера вершин (номера столбцов), для которых создавались подмножества на предыдущих ярусах. Все не исключенные элементы (номера столбцов) составят подмножество следующего яруса.

Шаг 2. Если номер яруса равняется (Т_о+1) – конец. Иначе – перейти к шагу 1.