ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
1. За d v бери то, что позволяет легко найти v,
2. За u бери то, для которого du проще (arcsin(x), arctag(x), ln(x),…)
Инструкция 1. Интегралы от рациональных функций
Правило: разлагай R (x) = P(x)/Q(x) в сумму простых дробей, для этого находи корни уравнения Q(x)= 0, при этом простому корню а кратности к будут соответствовать к слагаемых, содержащих А 1, А 2, … Ак , (к слагаемых), а комплексно сопряженному корню x 2 + px + q= 0 кратности l будут соответствовать слагаемые, содержащие в числителе M 1 x + N 1, M 2 x + N 2, … Mlx + Nl (l слагаемых), так что
Выражение в правой части снова «сворачивай» в дробь, приравнивай коэффициенты при одинаковых степенях x, получай систему уравнений и находи неизвестные коэффициенты А 1, А 2, … N 1, M 1 …
Инструкция 2. Интегралы от иррациональных функций.
1.
заменяй x =un, dx= n un- 1 du так, что бы исчезли все корни
2. .
заменяй (ax + b)/ (px + q) = un так, что бы исчезли все корни
3. ò dx (ax 2 +bx +c) 1/2.
Выделяй полный квадрат, ò сводится либо к ò dx (1- x 2) 1/2либо к ò dx (x 2 ±1) 1/2
а) ò dx (1- x 2) 1/2| x = sin u, dx = cos udu |
b) ò dx (x 2 +1) 1/2| x = sh u, dx = ch udu, ch2 u –sh2 u =1, u = Arsh x = ln(x + )|
sh2 u = 2sh u ch u =2 x (x 2+1)1/2
c) ò dx (x 2 - 1) 1/2| x = ch u, dx = sh udu,
4. ò dx / [(x -a)(ax 2 +bx+c)1/2 ] | Делай замену x -a= 1/ u Þ dx = -(1/ u 2) du, x =a+ 1/ u
5. ò(Ax + B) dx / (v)1/2 = A 1 (v)1/2 + B 1 ò dx/ (v)1/2 (*)
Правило: 1) дифференцируй (*), 2) умножай на (v)1/2 3) сравнивай коэффициенты
6. Подстановки Чебышева
ò xm (a+bxn) p dx
a) Если p целое, то возводи в p
b) Если (m +1) / n целое то Þ a+bxn = zr, r – знаменатель p
c) (m +1) / n +p Þ a+bxn = xn z r, r– знаменатель p
Инструкция 3. Интегралы от тригонометрических функций. Интегралы типа:
I. ; II ; III ;
IV
Есть универсальная подстановка, которая работает всегда:
РЕКОМЕНДАЦИИ.
1. Интегралы от четных степеней можно найти путем понижения степени вдвое (понижай степень- увеличивай аргумент!) по формулам
2. Интеграл от нечетных степеней : отделяй один из сомножителей и подводи под дифференциал, например:
3.Интегралы вида II можно найти по правилу 1, если m и n оба четны; если m или n -нечетно.
4. Интегралы вида III можно найти путем замены:
А)
Б)
5. Интегралы вида IV находятся путем разложения на слагаемые по формулам
Неопределенный интеграл.
1. F’ (x) = f (x).
F (x) первообразная от f (x).
2. ò f (x) dx= F (x) + C - множество первообразных
Основные формулы
0. ò0 dx =C, | |
1. ò xk dx = xk +1/ / (k +1) + C, k ¹ -1 | 2. ò dx/x = ln | x | + C |
3. ò ax dx = ax / lna +C | 4. ò ex dx = ex +C, |
5. ò Cosx dx = Sinx +C, | 6. ò Sinx dx =-Cosx +C |
7. ò dx/Cos 2 x dx = òsec2 x dx= tgx +C, | 8. ò dx/Sin 2 x dx = òcosec2 x dx=-ctgx +C |
9. | 10. |
11. | 12. |
13. ò Chx dx = Shx +C, | 14. ò Shx dx =Chx +C |
15. ò Ch -2 x dx = thx +C, | 16. ò sh -2 x dx =-cthx +C, |
17. | |
18. | |
12. | |
9*. | 10* |
11*. | 12* |
19. | |
20. |
Основные свойства неопределенного интеграла
1.(ò f (x) dx)’ = [ F (x) + C ]’= F’ (x) = f (x),
2. d (ò f (x) dx) =d [ F (x) + C ]= F’ (x) dx = f (x) dx,
3.ò f’ (x) dx = ò df (x)= f (x) + C,
4. ò C×f (x) dx = C× ò f (x) dx,
5. ò[ f (x) ±g(x)] dx = ò f (x) dx ±òg(x) dx,
6. ò f (u) du = F (u) + C.
Таблица основных дифференциалов
1. , dx= (1/2) d (2 x)=(1/2) d (2 x+b)=(1/3) d (3 x)=.. | 2. xdx= (1/2) d (x 2)=(1/2) d (x 2 + b )=(1/2 a) d (ax2 + b ) |
3. | 4. |
5.cos xdx = d (sin x) = d (sin x + b), cos axdx =(1/ a) d (sin ax) = (1/ ac) d (c sin x + b) | 6. sin xdx =- d (cos x) = - d (sin x + b), sin axdx =-(1/ a) d (cos ax) = -(1/ ac) d (c cos x + b) |
7. dx/ cos2 x =dtgx= d (tgx + b), dx/ cos2 ax = (1/ a) dtgax= (1/ aC) d (Ctgax + b) | 8. dx/ sin2 x =-dctgx= -d (ctgx + b), dx/ sin2 ax =- (1/ a) dctgax=- (1/ aC) d (Cctgax+b) |
9. | 9. |