Взаимное расположение двух плоскостей

Вопрос 7.

Две плоскости в пространстве могут быть либо взаимно параллельными, и в частном случае совпадая друг с другом, либо пересекающимися. Взаимно перпендикулярные плоскости представляют собой частный случай пересекающихся плоскостей и будут рассмотрены ниже.

Параллельные плоскости. Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. При решении различных задач часто приходится через данную точку А проводить плоскость β, параллельную данной плоскости α.

На рис. 81 плоскость α задана двумя пересекающимися прямыми а и b. Искомая плоскость β определена прямыми а1 и b1, соответственно параллельными a и b и проходящими через заданную точку A1.

Пересекающиеся плоскости. Линией пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточно определить две точки, общие обеим плоскостям, либо одну точку и направление линии пересечения плоскостей.

Перед тем как рассмотреть построение линии пересечения двух плоскостей, разберем важную и вспомогательную задачу: найдем точку К пересечения прямой общего положения с проецирующей плоскостью.

Пусть например, даны прямая а и горизонтально проецирующая плоскость α (рис 82). Тогда горизонтальная проекция К1 искомой точки должна одновременно лежать на горизонтальной проекции α1 плоскости α и на горизонтальной проекции а1 прямой а, т.е. в точке пересечения а1 с α1 (рис 83). Фронтальная проекция К2 точки К расположена на линии проекционной связи и на фронтальной проекции а2 прямой а.

А теперь разберем один из частных случаев пересекающихся плоскостей, когда одна из них – проецирующая.

На рис. 84 приведены плоскость общего положения, заданная треугольником АВС, и горизонтально проецирующая плоскость α. Найдем две общие точки для этих двух плоскостей. Очевидно, этими общими точками для плоскостей ∆АВС и α будут точки пересечения сторон АВ и ВС треугольника АВС с проецирующей плоскостью α. Построение таких точек D и E как на пространственном чертеже (рис 84), так и на эпюре (рис 85) не вызывает затруднений после разобранного выше примера.

Соединяя одноименные проекции точек D и Е, получим проекции линии пересечения плоскости ∆ АВС и плоскости α.

Таким образом, горизонтальная проекция D1Е1 линии пересечения заданных плоскостей совпадает с горизонтальной проекцией проецирующей плоскость α – с ее горизонтальными следом α1.

Рассмотрим теперь общий случай. Пусть в пространстве заданы две плоскости общего положения α и β (рис 86). Для построения линии их пересечения необходимо, как отмечалось выше, найти две точки, общие обеим плоскостям.

Для определения этих точек заданные плоскости пересекают двумя вспомогательными плоскостями. В качестве таких плоскостей целесообразнее взять проецирующие плоскости и, в частности, плоскости уровня. На рис. 86 первая вспомогательная плоскость уровня γ каждую из данных плоскостей пересекает по горизонталям h и h1, которые определяют точку 1, общую для плоскостей α и β. Эта точка определяется пересечением горизонталей h2 и h3, по которым вспомогательная плоскость δ пересекает каждую из данных плоскостей.

Условие параллельности 2-х плоскостей.
Плоскости параллельны если 2 пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны 2 пересекающимся прямым другой плоскости.