Статистика Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака

Изучаемые в курсе классической молекулярной статистической физики частицы, можно было рассматривать как упругие шарики. При этом каждую из тождественных частиц можно было отличить от других – как бы «пронумеровать», отследить траекторию каждой из них. При рассмотрении поведения коллектива таких частиц можно пользоваться распределением Максвелла и Больцмана (рисунок).

Особая природа квантовых частиц не позволяет отличить их друг от друга. Если две тождественные частицы (с одинаковыми массами, зарядом, спином и т.д.) взаимодействуют, то мы не можем никаким способом выяснить, какая из двух частиц была первая, а какая вторая. Т.е. в квантовой физике постулирован принцип неразличимости тождественных частиц: тождественные частицы экспериментально различить принципиально невозможно.

Рассмотрим состояние системы из двух частиц. Это состояние описывается волновой функцией ψ(x₁,x₂), где (x₁ и x₂ – совокупность пространственных и спиновых координат соответственно первой и второй частицы). Если частицы поменять местами, то возможны два варианта:

1) состояние системы частиц не изменится, что можно записать математически: (10.1)

Волновые функции, обладающие таким свойством, называются симметричными.

2) состояние системы изменится так, что волновая функция изменит знак: (10.2)

Такие волновые функции называются антисимметричными.

Можно показать, что симметрия волновых функций определяется спином частиц. Симметричными волновыми функциями описываются системы частиц, имеющих целочисленный спин (в том числе и нулевой спин). Такими частицами являются, например, фотоны. Антисимметричными волновыми функциями описываются системы частиц с полуцелым спином. Одна из таких частиц уже рассмотрена в предыдущих лекциях – это электрон. Именно для частиц с полуцелым спином выполняется принцип запрета Паули – в одной и той же квантовой системе не может быть двух частиц, находящихся в одинаковых состояниях.

Напомним, что квадрат волновой функции задает вероятность обнаружить частицу в данной точке в данный момент времени, или в нашем случае – с заданным спином в точке с заданными координатами. Тогда принцип неразличимости можно выразить следующим образом:

(10.3)

Не зависимо от того, симметричными или антисимметричными волновыми функциями обладают частицы, если они поменяются местами, в эксперименте мы этого не заметим – частицы являются неразличимыми. Вывод же функции распределения Больцмана основан на том, что каждая частица имеет индивидуальность.

В 1924 г. индийский физик Ш. Бозе обнаружил, что поведение фотонов не подчиняется распределению Больцмана. Он предложил новую функцию распределения для фотонов, которую Эйнштейн позднее обобщил на частицы, имеющие массу. Это функция известна как распределение Бозе-Эйнштейна и имеет вид:

(10.4)

где k – постоянная Больцмана.

Значение функции f(E) указывает, какова вероятность встретить частицу, имеющую энергию E, то есть она отражает распределение частиц по энергиям.

Частицы, подчиняющиеся статистике Бозе-Эйнштейна, называются бозонами. Параметр распределения μ, входящий в (10.4), называется химическим потенциалом. Он является функцией макроскопических параметров состояния коллектива частиц, в частности температуры. Бозонами являются фотоны, фононы, мезоны и др. Волновые функции бозонов при любых обстоятельствах остаются симметричными (формула 10.1).

Кривые распределения Максвелла-Больцмана,

Бозе-Эйнштейна, и Ферми-Дирака

Если число частиц в системе не постоянно, то можно показать, что μ = 0 и функция распределения будет иметь вид:

(10.4')

Такая ситуация реализуется, например, для коллектива фотонов в замкнутой полости. Фотоны непрерывно поглощаются и излучаются стенками полости, т.е. число частиц постоянно меняется.

С помощью распределения Бозе-Эйнштейна можно выяснить, какое количество частиц n в системе имеет энергию E. Зависимость количества частиц от значения энергии показана на рисунке (10.1) и выражается формулой:

(10.5)

Видно, что как и в случае классических частиц, в случае бозонов их число в каждом из энергетических состояний не ограничивается единицей. При этом расчеты показывают, что вероятность обнаружить две частицы с одинаковой энергией больше, чем вероятность появления одной такой частицы. Вероятность появления бозона в состоянии с конкретной энергией будет тем больше, чем больше уже имеется подобных частиц с указанной энергией. Присутствие бозона в конкретном квантовом состоянии увеличивает вероятность того, что в этом состоянии будут находиться другие бозоны того же типа. Одним из самых ярких примеров систем с данным свойством являются лазеры.

Однако поведение электронов и других частиц, подчиняющихся принципу Паули (см. раздел 8), не удовлетворяло и этому условию. Для таких частиц итальянский физик Э. Ферми и англичанин П. Дирак создали еще одно распределение:

(10.6)

Выражение (10.6) называется функцией распределения Ферми-Дирака. Химический потенциал μ для фермионов называют иногда энергией Ферми.

Частицы, подчиняющиеся статистике Ферми-Дирака, называются фермионами – такими частицами являются электроны, протоны, нейтроны, нейтрино, лептоны, кварки. Волновые функции фермионов всегда антисимметричны.

Поскольку из-за существования спинового квантового числа каждому значению энергии соответствует два возможных состояния, то зависимость числа частиц от того, какой энергией обладают эти частицы, имеет вид:

(10.7)

Эта функция представлена на рисунке. Видно, что число фермионов в любом состоянии не может быть больше единицы, то есть в состоянии с данной энергией – не больше двух, но обязательно с антипараллельными спинами.

Можно все состояния разделить на две группы – занятые состояния и свободные. Свободные состояния всегда расположены выше уровня Ферми. Энергия Ферми системы слабо зависит от температуры. Например, отличие энергии Ферми при комнатной температуре и при температуре, близкой к абсолютному нулю составляет всего 0.002%. Из рисунка видно, что число частиц, соответствующих уровню Ферми равно единице, то есть уровень заполнен наполовину. Этот факт отражает физический смысл уровня Ферми – вероятность заполнения этого уровня равна 1/2 (или 50%). То есть все уровни, расположенные выше уровня Ферми, будут свободными; все уровни, расположенные ниже – заполненными.

В энергетическом спектре всегда существует промежуточная область энергий между свободными и занятыми состояниями. Ширина этой области по порядку величины равна нескольким кТ (для комнатной температуры кТ составляет величину порядка 0.025 эВ). В этой области происходит переход от заполненных уровней к пустым. При низких температурах этот переход очень резок, так что все нижние уровни, вплоть до некоторого, полностью заняты, а все верхние – совсем пусты. В этом случае кривая, аналогичная изображенной на рис. 10.1, будет иметь очень резкий спад.

Итак, распределение Ферми-Дирака математически отражает суть поведения частиц с полуцелым спином: присутствие фермиона в конкретном квантовом состоянии запрещает другим фермионам находиться в том же состоянии.

Необходимо заметить, что при низких температурах распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака переходят в классическое распределение Максвелла-Больцмана.