Математична обробка результатів вимірювання

Введення в теорію похибок

При самих якісних багатократних вимірюваннях однієї і тієї ж величини окремі результати дещо відрізняються між собою в ту чи іншу сторону від її дійсної величини. Все це відбувається через те, що процес вимірювання неминуче супроводжується похибками. Під похибкою результату виміру і розуміють різницю між цим результатом і точним (істинним) значенням X величини яку вимірюють, тобто

(23)

Вимірюючи будь-яку фізичну величину, ми не розраховуємо отримати її істинне значення. Все ж таки нам необхідно вказати, наскільки отриманий результат є близьким до істинного значення, тобто необхідно вказати точність вимірювання. Тому доцільно разом з отриманим результатом вказати наближену похибку вимірювання. Наприклад, ми виміряли стальною стрічкою довжину лінії AB, і отримали dAB =256,46 м. Відомо, що вимірювання виконані з відносною точністю 1:2000. Для визначення числового значення похибки виконують обчислення за формулою

(24)

де M - граничний знаменник відносної похибки для виконання технічних робіт. Виміряну довжину лінії AB можна записати

256,56 ± 0,13 м. (25)

Даний вираз означає, що виміряна довжина лінії AB знаходиться в межах

256,43 < 256,56 > 256,69. (26)

В дійсності рівняння (26) має ймовірний сенс. Ми не можемо впевнено стверджувати, що дана величина лежить в зазначених межах, але наші вимірювання показують, що є деяка ймовірність цього.

Визначати похибки необхідно тому, що не знаючи їх, не можна зробити відповідних висновків із проведених вимірювань. Отримані результати вимірів публікуються і стають загальним надбанням. Кожен може користуватися ними, як йому завгодно. Одні можуть використовувати його в розрахунках для практичної мети, інші - для перевірки теоретичних доведень. Якщо на основі отриманого результату роблять висновки, то важливо знати, в якій мірі можна на них покластися. Все це необхідне для того, щоб можна було відповісти на подібні запитання. Тому виконавець зобов'язаний вказати величину похибки вимірювання.

Можна подумати, що будь-які вимірювання слід проводити якомога точніше, але такий підхід був би неправильним. Тому важливо планувати і виконувати вимірювання так, щоб точність кінцевих результатів відповідала їх меті. Таким чином поняття похибки вимірювання відіграє далеко не другорядну роль при вимірюваннях. Воно має пряме відношення до таких питань, як мета виміру, його метод і значимість та результативність.

Види похибок вимірювання

Під час геодезичних вимірювань виникають похибки від яких залежить точність отриманих результатів. Відомо, що точність вимірювань повинна бути пов'язана із граничними допусками передбаченими існуючими інструкціями, тому необхідно знати величини похибок і причини їх походження.

Похибки бувають грубими, випадковими і систематичними.

Грубі похибки виникають в результаті промахів при вимірюваннях або при обчисленнях. Теорія похибок вимірювань не розглядає грубі похибки (промахи), виникнення яких пов'язано з порушенням правил експлуатації приладів та некомпетенцією працівників і випадковими описками. Тому грубі похибки повинні повністю виключатися під час виявлення їх шляхом контрольних вимірювань і обчислень.

Так, згідно Інструкції горизонтальний кут, перевищення і віддаль вимірюють два рази, відповідно при КП і при КЛ, по чорній і червоній сторонах рейки, в прямому і зворотньому напрямках. Вимірювання і обчислення контролюють також шляхом обчислення нев'язки, наприклад, кутової в ходах полігонометрії, нівелірних ходах, в приростах координат і т.д.

Систематичні похибки виникають за рахунок одноманітної і безперервної дії спотворення кінцевого результату вимірів в процесі вимірювання. Систематичною похибкою називається похибка, яка залишається постійною на протязі всієї серії вимірювань. Інколи систематичні похибки непостійні. Наприклад, рулетка 20-метрова виявилася на 20 см довшою. Все це виникло через те, що під час нанесення ділень на полотно стрічки замість величини 1 м нанесли величину 1,01 м. Тоді, 20 х 1,01 м= 20,20м. Похибка даної рулетки є великою, в цьому випадку слід відмовитися від використання її або кожен раз вводити поправку у виміри. Ось чому виконують компарування мірних приладів. До того ж нерідко в такому процесі вимірювань існують декілька причин появи систематичних похибок і не всі із них вдається вивчити і виявити повністю.

Випадковими похибками називають такі, поява яких не залежить від нашої волі. Випадкові похибки при вимірах неминучі і причин при їх виникненні існує декілька та неможливо встановити їх дію. Тому завжди визначають, як впливають вони на кінцевий результат вимірів. Випадкові похибки змінюють свій знак в рівній мірі як на додатній так і на від'ємний. При відсутності систематичних похибок вони служать причиною розподілення

повторних вимірів відносно істинного значення (рис. 38).

Рис.38. Наявність тільки випадкових похибок

 

Якщо дана величина буде налічувати і систематичну похибку, то результати вимірів будуть розподілені відносно не істинного, а зміщеного значення (рис. 39).

Рис. 39. Наявність не тільки випадкових, але і систематичних похибок

 

Нехай виміряли лінію багато разів, похибка відліку за штрихом невелика, але нерівномірність зумовлена тим що натяг стрічки не однаковий в усіх вимірах, присутня шерехатість місцевості та зміна температури стрічки під час вимірювань - все це викликає розподілення результатів повторних вимірювань і тому їх відносять до виду випадкових похибок.

Дослідженнями встановлено, що при всіх однакових умовах вимірювань будь-якої одної величини випадкові похибки мають наступні властивості:

1. За абсолютною своєю величиною вони не будуть перевищувати будь-якої граничної величини.

Чим більша абсолютна величина випадкової похибки, тим рідше вона з'являється в даному ряді вимірів.

Похибки із знаком плюс з'являються так же часто, як із знаком мінус.

Середнє арифметичне із випадкових похибок на основі третьої властивості, буде необмежено наближатися до нуля із збільшенням числа вимірів даної величини.

На основі цієї властивості випадкових похибок можна стверджувати, що середнє арифметичне із результатів вимірів одної і тої ж величини буде наближатися до істинного значення цієї величини при збільшені числа вимірів в силу компенсації похибок з різними знаками. Тому вважають, що середнє арифметичне із результатів, навіть невеликого числа вимірів, буде ближче до істинного значення, ніж будь-який окремо взятий результат. На цій основі середнє арифметичне із результатів вимірів прийнято називати ймовірнішим значенням виміряної величини, а розходження кожного виміру із середнім арифметичним - ймовірнішою похибкою.

Згідно третьої властивості випадкових похибок вимірювання її можна виразити математично. Так, при вимірюванні п разів

величини X отримали результати іі, і2, із,..., іп, а випадкові

похибки цих вимірів становлять відповідно Al, А2, A3,..., Ап, то можна це виразити формулою

або

 

[Ai]= J1 + J2 + A3 +... + An. (29)

Нехай ми виконуємо серію вимірів одної і тої ж величини без систематичних похибок. Із-за наявності випадкових похибок окремі значення -C j, -C2, -C3,..., -Cn, неоднакові, і в якості найкращого значення шуканої величини приймається середнє арифметичне Xo