Двоичное представление чисел

Арифметические основы вычислительных машин

Системы счисления

Двоичное представление чисел

Все компьютеры используют для хранения информации двоичную систему. Это значит, что каждый элемент хранимой информации может иметь только два состояния. Эти состояния обозначаются как «включен» и «выключен», «истина» и «ложь», или «1» и «0». Как правило, компьютер использует эти значения в виде уровней напряжения.

Из-за двоичного представления данных компьютеры используют в своих вычислениях арифметику с двоичным основанием. Используя простейшие числа 0 и 1, можно выполнять очень сложные вычисления.

Арифметика с основанием 2 пользуется только двумя цифрами: 0 и 1.

Для начала определим общие принципы систем счисления на примере привычной нам десятичной арифметики. Мы обычно применяем систему исчисления по основанию 10. В десятичной арифметике употребляется десять различных цифр - от 0 до 9. (Двоичную арифметику можно представить себе как систему для людей, имеющих только два пальца.) Ограничение лишь десятью цифрами в десятичной арифметике не мешает нам представлять более крупные числа. Мы пользуемся многозначными числами, в каждой позиции которых стоят разные степени 10. Самая правая цифра любого числа обозначает число единиц, соседняя слева - количество десятков, следующая - число сотен и т.д. Прогрессия справа налево выстраивается такая:

10⁰, 10¹, 10² и т.д.

Число 2368 в действительности представляет 2 тысячи, 3 сотни, 6 десятков и 8 единиц. Покажем, говоря математическим языком, разложение числа 2368.

2368 = 2*10³ + 3*10² + 6*10¹ + 8*10⁰

= 2000 + 300 + 60 + 8

Таким образом, мы видим общее правило определения веса разряда многоразрядного числа:

Если пронумеровать разряды целого числа справа налево, начиная от 0 для разряда единиц, то вес любого разряда получается возведением основания системы счисления в степень, значение которой равно номеру разряда.

Так, вес самого младшего разряда целых чисел равен 1, поскольку номер разряда равен 0 (любое число, возведенное в нулевую степень, дает в результате единицу). Вес следующего слева разряда равен 10 в степени 1, т.е. равен десяти, и т.д.

Арифметика с основанием 2 или двоичная система аналогична десятичной, за исключением того, что разряды числа здесь соответствуют степеням 2 а не 10. Числа больше 1 представляются многозначными числами, так же как в десятичной арифметике многозначное представление получают числа больше 9. Каждая цифра (разряд) в двоичной системе называется бит (от Binary digit). Двоичным числом состоящим из n бит можно изобразить число величиной 2^n-1.

Кроме бита введем понятие байта – байт (англ. byte) — единица измерения количества информации, байт равен восьми битам (может принимать 256 (2⁸) различных значений).

Сложение в двоичной системе выглядит так:

0 + 0 = 0

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

В цифровой электронике одному двоичному разряду в двоичной системе счисления соответствует один двоичный логический элемент с двумя состояниями (открыт, закрыт).

Чтобы было сразу понятно, что число записано в двоичном представлении, мы будем пользоваться суффиксом «b» (т.е. буква b будет записана после всех цифр). Этим они будут отличаться от десятичных, не имеющих суффикса. Например, 2368 - это десятичное число, а 1011b - двоичное.

К неудобствам двоичной системы счисления относится то, что запись числа в двоичной системе громоздка (требует большего числа разрядов, чем привычная для человека десятичная). По этой и ряду других причин, кроме двоичной применяется шестнадцатеричная система счисления. Преобразования из двоичной в шестнадцатеричную систему и обратно выполняются просто и удобно.

Двоичная арифметика хороша для компьютера, поскольку он имеет дело только с единицами и нулями. Но человеческое восприятие требует более компактного представления. Мы будем пользоваться шестнадцатеричным представлением данных для собственного удобства.