Поширення механічних коливань у пружному середовищі

Пружне середовище (тверде, рідке, газоподібне) характеризується тим, що між частинками середовища існують сили взаємодії. Тому коливання, які виникли в деякій точці середовища, передаються сусіднім точкам і поступово коливальний рух починає поширюватись від однієї точки до іншої з деякою швидкістю .

Поширення механічних коливань у пружному середовищі називають механічним хвильовим процесом, або механічною хвилею.

Прикладом механічного хвильового процесу є поширення звуку (звукова хвиля). До звукових хвиль відносять пружні хвилі, джерела яких коливаються в діапазоні частот ν =16÷20000 Гц.

Нехай джерелом хвилі є металева мембрана, яка здійснює гармонічні коливання з циклічною частотою . Біля мембрани розміщена довга металева труба, у якій міститься повітря (рис. 4.1).

Коливання мембрани передаються частинкам повітря і вздовж труби побіжить пружна хвиля (біжуча хвиля). Вона являє собою систему областей стискання й розрідження повітря, періодично змінюючих свій стан. Якщо у деякий момент часу у будь-якому місті середовища спостерігається стискання, а в сусідньому – розрідження, то через половину періоду в першій області виникає розрідження, а у другій стискання і.т.д.

 

 

Рис.4.1.

 

Треба звернути увагу на наступне:

1. Коливання частинок повітря відбуваються з циклічною частотою і тому таку хвилю називають монохроматичною (одна частота).

2. Коливання частинок середовища відбуваються паралельно напрямку, у якому поширюється хвиля.

3. Частинки середовища, в якому поширюється хвиля, тільки здійснюють коливання відносно положень рівноваги, а не втягуються хвилею до поступального руху. Це означає, що біжуча хвиля не переносить речовину у просторі, а здійснює тільки перенесення енергії та імпульсу.

Якщо коливання частинок середовища відбуваються вздовж напрямку поширення хвилі, то хвилю називають повздовжньою.

Хвилю називають поперечною, якщо частинки коливаються перпендикулярно до напрямку поширення хвилі.

Рис.4.2

 

На рис. 4.2 показано приклад поперечної хвилі, яка утворюється в закріпленій гумовій мотузці при коливанні її вільного кінця.

У твердих тілах можливі як повздовжні, так і поперечні хвилі. Повздовжня хвиля виникає в результаті деформації стискання або розрідження, як у газах так і рідинах. Поперечна хвиля виникає в результаті деформації зсуву. Гази й рідини не мають такої властивості. Тому в них поперечні хвилі неможливі.

Поширюючись від джерела коливань, хвильовий процес охоплює нові частини простору. Геометричне місце точок, до яких доходять коливання на момент часу t, називають фронтом хвилі (хвильовим фронтом). Фронт – це поверхня, яка розділяє частину простору у якій здійснюються коливання від області, у якій коливання ще не виникли (рис. 4.3).

 

Рис. 4.3

 

Геометричне місце точок простору, у яких коливання здійснюються в однаковій фазі, називається хвильовою поверхнею. Хвильові поверхні можуть бути будь якої форми. У простіших випадках вони мають форму площини або сфери. Відповідно хвилі в цих випадках називають плоскими або сферичними.

Рівняння біжучої хвилі

Розглянемо простіший випадок одномірних гармонічних звукових хвиль, які збуджуються мембраною на одному з кінців довгої труби (рис. 4.4).

Система відліку вибрана так, щоб джерело хвилі (мембрана) знаходилось в точці О, а поширення хвилі у трубі відбувалось у напрямку осі Оx. Частинки повітря позначені цифрами 1,2,3… 7. Наприклад, частинки 1 мають координату , а частинки 3 знаходяться на відстані від джерела хвилі. На рис. 4.4 показано положення частинок повітря у фіксований момент часу при відхиленні мембрани праворуч. Найбільш відхилені від положення рівноваги частинки 1, потім частинки 2 і.т.д.

Рис. 4.4

 

Нехай мембрана й частинки 1 коливаються за законом

,

де зміщення від положення рівноваги;

- амплітуда коливань;

частота коливань джерела хвилі (мембрани).

Якщо хвиля поширюється праворуч із швидкістю , то коливання частинок 3, що розташовані на відстані будуть такими самими, але виникнуть трохи пізніше. Час запізнювання . Тому, коливання частинок, що мають координату , будуть здійснюватись за законом

. (4.1)

Звернемо увагу, що функція (2.1) є функцією двох змінних і , тобто

(4.2)

Рівняння (4.2) називається рівнянням плоскої монохроматичної біжучої хвилі.

Ознакою монохроматичності хвилі є те, що всі частинки коливаються з однаковою частотою . Термін - плоска хвиля означає, що всі частинки, які лежать у площині, перпендикулярній напрямку поширення хвилі (осі Ох), коливаються однаково (мають однакову фазу).

Рівняння біжучої хвилі можна подати у вигляді:

,

оскільки відомо, що , де період коливань. Величина дорівнює шляху, який проходить хвиля за час (час одного повного коливання). Цю величину позначають , називають довжиною хвилі, а рівняння хвилі записують у вигляді

.

Величина у рівнянні є періодом коливань за часом, а величину - можна вважати своєрідним періодом у просторі. Тобто довжина хвилі - це відстань між найближчими точками у просторі, які коливаються в однаковій фазі.

Оскільки то, по аналогії, вводиться позначення . Величина -називається хвильовим числом, а рівняння біжучої хвилі набуває вигляду:

. (4.3)

Рівняння (4.2), або (4.3) визначають закон руху частинок у кожній точці простору у будь-який момент часу. Якщо у рівнянні (4.3) зафіксувати час (нехай, наприклад, ), тоді функція залежить тільки від змінної . Графік цієї функції показує миттєву картину зміщень усіх частинок - як би миттєву “фотографію” хвилі (рис. 4.5)

 

 

 

Рис. 4.5

 

Важливо звернути увагу, що графік хвилі має періодичність у просторі, а періодом, дійсно, є довжина хвилі .

Поширення хвилі можна уявити, якщо переміщати цю “заморожену“ синусоїду зі швидкістю вздовж осі Оx (рис. 4.6).

Дві послідовні “миттєві фотографії” хвилі у момент часу і показані на рис. 4.6.

 

Рис. 4.6

 

Рівнянням (3.3) описується не тільки відхилення положень частинок повітря від рівноваги, але і будь-яка інша величина, що аналогічно змінюється при поширенні хвилі в трубі. Наприклад, коливання тиску повітря у трубі може бути зображено у вигляді біжучої хвилі. В цьому випадку під змінною у рівнянні (4.3) слід розуміти тиск, або густину повітря (рис. 4.7).

 

Рис. 4.7

 

Швидкість звуку у газах

 

З визначенням швидкості звуку у повітрі зв'язана відома помилка Ньютона. Ньютон був упевнений, що хвильовий рух є ізотермічним процесом. Тому він вважав, що зв'язок між тиском і об'ємом повітря визначається за законом , і отримав формулу

. (4.4)

В цій формулі

- універсальна газова стала;

- молярна маса газу;

- термодинамічна температура.

Цю помилку виправив в 1816 р. французький фізик П.Лаплас, коли встановив, що в дійсності поширення звуку є адіабатичним процесом. Це означає, що стискання й розрідження змінюються так часто, що суміжні ділянки середовища не встигають обмінюватись теплотою.

При адіабатичному процесі зв'язок між тиском і об'ємом даної маси газу дається рівнянням Пуассона:

де - показник адіабати, який показує у скільки разів молярна теплоємность газу при сталому тиску () більша за молярну теплоємность при сталому об'ємі ().

Можна теоретично довести, що тоді швидкість звуку у газах визначається за формулою:

. (4.5)

З формули (4.5) випливає, що швидкість поширення звуку у данному газу залежить тільки від температури.

 

Стоячі хвилі

Якщо в середовищі поширюються одночасно декілька хвиль, то коливання частинок середовища є геометричною сумою коливань, які здійснювали б частинки при поширенні кожної з хвиль окремо. В результаті накладання хвиль створюється деякий новий хвильовий процес. Таким процесом є, наприклад, звучання оркестру.

При накладанні хвиль можуть виникати особливі явища. Найбільш важливим із них є інтерференція хвиль. Інтерференція – це явище стійкого перерозподілу коливань у просторі, в результаті якого в одних точках коливання підсилюються, а в інших зменшуються. Інтерференція виникає коли накладаються хвилі однакових частот з незмінною різницею фаз. Такі хвилі називають когерентними.

Ми розглянемо один важливий інтерференційний ефект, який полягає в утворенні стоячих хвиль.

Стояча хвиля виникає в результаті накладання двох зустрічних когерентних плоских хвиль з однаковою амплітудою та частотою.

Практично забезпечити когерентність (узгодженість) двох джерел хвиль дуже важко. Але відомо, що при відбиванні від перешкоди виникає хвиля зустрічного напрямку поширення з такою ж самою амплітудою та частотою.

Таким чином, можна, використовуючи одне джерело плоскої монохроматичної хвилі, забезпечити когерентність хвиль, які поширюються в прямому й оберненому напрямках. Отже, практично, стоячі хвилі виникають при накладанні біжучої та відбитої хвиль.

Явища такого роду зустрічаються дуже часто. Так кожен тон звучання будь-якого музикального інструменту збуджується стоячою хвилею. Вона виникає або в струні (струнні інструменти), або в стовпі повітря (духові інструменти). Відбиваючими границями в цих випадках є точки закріплення струни та поверхні всередині духових інструментів.

Нехай дві плоскі хвилі, однакової амплітуди та частоти, поширюються назустріч одна одній. Відмінність у напрямку поширення враховується в знаках перед координатою в рівнянні хвилі (рис. 4.8).

Рис. 4.8

 

Результуюче зміщення частинок:

.

Результат виявляється дуже цікавим. Сума двох біжучих хвиль не дає хвильового руху, хоча рівняння називають рівнянням стоячої хвилі. Множник показує, що в точках середовища виникають коливання з тією ж частотою , що й коливання зустрічних хвиль. Множник , який не залежить від часу, визначає амплітуду результуючого коливання. Але амплітуда величина додатна, тому точніше амплітуда -дорівнює абсолютному значенню цього множника . Зрозуміло, що амплітуда залежить від координати , і тому в різних точках простору різна. Ця обставина є ознакою інтерференції.

Стояча хвиля не є хвилею в повному розумінні цього слова. Коли відбувається поширення біжучої хвилі, то всі частинки середовища коливаються з однаковою амплітудою і спостерігається поступова передача енергії від однієї точки простору до інших. Біжуча хвиля може рухатись праворуч, або ліворуч, але у стоячій хвилі нема напрямку поширення та передачі енергії. Назва “стояча хвиля“ характеризує просто коливальний стан середовища. Важливішою особливістю цього стану є те, що коливаються не всі частинки середовища. Це точки, координати яких задовольняють умові .

Розв'язуючі це рівняння знаходимо координати нерухомих точок:

, де .

Таким чином, в точках простору, де коливання відсутні.

В точках простору, для яких амплітуда коливань максимальна.

На рис. 4.9 показано графік амплітуди коливань стоячої хвилі в залежності від координати .

Рис. 4.9

 

Точки простору, у яких коливання відсутні називаються вузлами стоячої хвилі, а точки, у яких амплітуда максимальна - пучностями.

На рис. 4.10 показана відмінність між поведінкою біжучої та стоячої хвилі для трьох послідовних моментів часу , , .

 

 

Рис. 4.10