Основні поняття кінематики і динаміки обертального руху

Обертальним рухом твердого тіла називається такий рух, при якому траєкторії тіла є концентричними колами з центром на одній прямій, що називається віссю обертання (рис. 2.3).

Рис. 2.3

 

Миттєві швидкості точок тіла, здійснюючого обертальний рух, можуть відрізнятися (наприклад, для точок А і В: ). Тому для характеристики обертального руху тіл незручно користуватися такими поняттями кінематики як переміщення, швидкість, прискорення точки. Положення тіла при обертальному русі зручно характеризувати кутом обертання . Слід звернути увагу, що за малий проміжок часу всі точки тіла повернуться на один і той же кут . Отже, мірою переміщення тіла за малий проміжок часу є елементарний кут повороту . Тоді швидкість зміни кута обертання можна характеризувати кутовою швидкістю , тобто похідною кута обертання за часом. А бистроту зміни кутової швидкості можна оцінювати, визначаючи кутове прискорення як похідну кутової швидкості за часом.

Прийнято розглядати кутову швидкість і кутове прискорення як вектори і . Вектор кутової швидкості напрямлений вздовж осі обертання в бік поступального руху правого гвинта, коли його повертати за напрямом обертання тіла (рис. 2.4). Вираз визначає модуль вектора .

Рис. 2.4

 

Необхідно звернути увагу на таку обставину. Щоб надати тілу обертального руху, або змінити кутову швидкість обертання, необхідно прикласти до тіла певну силу .Однак крім величини і напрямку сили важливо, в якій точці тіла прикладається сила.

Наприклад, при обертанні будь-якого тіла за допомогою важеля, (при затягуванні болта гайковим ключем (рис. 2.5)) істотним виявляється не тільки модуль сили, але й довжина важеля (його плече). Очевидно, чим далі від осі обертання розміщена точка прикладання сили, тим більше буде обертаюча дія цієї сили. Тому, в динаміці обертального руху, для характеристики обертаючої дії сили вводиться фізична величина М, яку називають момент сили. Спрощенню момент сили визначається як добуток сили F на плече h:

 

M=F·h.

Рис. 2.5

 

Але в більшості прикладних задач момент сили знаходять відносно вибраної точки і відносно вибраної осі. Треба обов’язково уявляти різницю між цими величинами.

Момент сили відносно точки – величина векторна. Наприклад, якщо в точці А (рис. 2.6) до тіла прикладена сила , то момент сили відносно точки О визначається векторним добутком

,

де – радіус вектор, проведений з точки О в точку прикладання сили А.

 

 

Рис. 2.6

 

Вектор перпендикулярний до площини, в якій лежать вектори і і напрямлений у той бік, звідки обертання, яке викликає сила видно проти годинникової стрілки. Його модуль

,

де – кут між векторами і , а – довжина перпендикуляру, проведеного з точки О на лінію дії сили. Величину називають плече сили.

Отже, модуль моменту сили дорівнює добутку сили на плече, а розмірність моменту:

[M] = H·м.

Момент сили відносно нерухомої осі – скалярна величина, яка дорівнює проекції на вісь z вектора моменту сили , який визначено відносно довільної точки О, що лежить на даної осі (рис. 2.7).

Момент сили відносно точки задає у просторі напрям осі, відносно якої оберталось би тіло під дією сили, а його модуль характеризує обертаючу дію сили.

Момент сили відносно осі характеризує обертаючу дію сили тільки відносно вибраної осі z.

 

 

Рис. 2.7

 

Якщо вісь z співпадає з напрямком вектора , то момент сили відносно осі може розглядатися у вигляді вектора, співпадаючого з віссю z.

Між фізичними величинами силою і моментом сили можна провести певну аналогію. Сила характеризує зовнішній вплив на тіло, або матеріальну точку при поступальному русі. Дія сили призводить до появи прискорення (і швидкості, якщо спочатку тіло знаходилося в стані спокою).

Основний закон динаміки поступального руху (ІІ закон Ньютона):

.

З нього випливає, що прискорення тіла пропорційно діючої силі, а напрям прискорення співпадає з напрямком сили.

Момент сили характеризує зовнішній вплив на тіло при обертальному русі. Момент сили призводить до виникнення кутового прискорення (і кутової швидкості, якщо спочатку тіло знаходилося в стані спокою). Основний закон динаміки обертального руху має схожий вигляд:

,

де – скалярна величина, яка є мірою інертності тіла при обертанні (момент інерції тіла). Отже, кутове прискорення , яке зумовлено моментом сили , пропорційно моменту і співпадає з напрямком моменту.