Соотношение кривой среднего и предельного продукта

На представленном выше графике отмечена еще одна важная закономерность, касающаяся соотношения среднего и предельного продукта.

Независимо от вида производственной функции кривая среднего продукта растет пока значения МР > AP, падает, когда MP < AP, и достигает своего максимума при MP = AP.

Предположим, что в течение семестра средняя оценка студента составляет 4 балла. Если за итоговый тест он получит 3 балла, то средняя оценка будет меньше 4. Если же за итоговый тест он получает 5 баллов, то его средняя оценка будет больше 4 балла. Очевидно, что средняя оценка студента аналогична среднему продукту рабочего, а оценка за итоговый тест- предельному продукту.

Таким образом, если предельный продукт превышает средний продукт, то средний продукт увеличивается, и наоборот, если предельный продукт меньше среднего продукта, то средний продукт уменьшается.

Докажем это математически.

Пусть производственная функция имеет вид

Q=f(L),

где L - переменный фактор производства.

Тогда

АРL=Q/L=f(L)/L,

MPL=dQ/dL=f`(L)

Кривая среднего продукта достигает своего максимума при условии

(APL)`= 0

или

d(APL)/dL= 0.

Используем стандартные формулы дифференцирования для нахождения производной отношения и получаем:

d(APL)/dL= = 0.

Для того чтобы выражение равнялось нулю, необходимо, чтобы и числитель равнялся нулю (L> 0):

L*f`(L)-f(L)= 0,

или

f`(L)=f(L)/L,

или

MPL=APL.

Другими словами, средний продукт достигает своего максимума при условии равенства среднего и предельного продуктов.

Если числитель положительный, т.е. МРL>APL, то и производная среднего продукта есть величина положительная, и, следовательно, кривая АР растет.

Если же числитель отрицательный, т.е. MPL<APL, то производная будет отрицательной, и, следовательно, кривая АР будет падать.

1.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСЛОВИЙ ЭФФЕКТИВНОГО ПРОИЗВОДСТВА: ИЗОКОСТЫ И ИЗОКВАНТЫ

В зависимости от состояния рыночного спроса фирма может выбрать один из нескольких вариантов производства. Для точного определения оптимального объема выпуска используем графический метод анализа производственной функции через изокванты и изокосты.

 

ИЗОКВАНТЫ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Для простоты анализа, как и прежде, будем полагать, что:

исследуемая функция производства зависит от двух факторов: труда и капитала,

является частным случаем функции Кобба-Дугласа и имеет вид

Q=KL;

факторы производства в определенных пределах будут взаимозаменяемыми;

технология производства в течение всего рассматриваемого периода не меняется.

Представим в виде таблицы данную функцию для значений K и L от 1 до 4.

Таблица 1.2

Производственная функция

L K

Как видно из табл. 1.2, существует несколько комбинаций труда и капитала, обеспечивающих в определенных пределах заданный объем выпуска. Например, Q =4 можно получить, используя комбинации (1,4), (4,1) и (2,2). Аналогичным образом Q =6 можно получить, используя комбинации (2,3) и (3,2) и т.д.

Если отложить по горизонтальной оси количество единиц труда, по вертикальной- количество единиц капитала, затем обозначить точки, в которых фирма выпускает один и тот же объем, то получится кривая, представленная на рис. 1.2 и называемая изоквантой (IQ).

Каждая точка изокванты соответствует комбинации ресурсов, при которой фирма выпускает заданный объем продукции.

 

Рис.1.2. Карта изоквант

Набор изоквант, характеризующий данную производственную функцию, называется картой изоквант.

СВОЙСТВА ИЗОКВАНТ

Свойства стандартных изоквант аналогичны характеристикам кривых безразличия.

1. Изокванта, так же как и кривая безразличия, является непрерывной функцией, а не набором дискретных точек.

2. Для любого заданного объема выпуска может быть проведена своя изокванта, отражающая различные комбинации экономических ресурсов, обеспечивающих производителю одинаковый объем производства.

3. Изокванты, описывающие данную производственную функцию, никогда не пересекаются.

Пересечение изоквант противоречило бы условию эффективности производства. Для доказательства этого предположим, что две изокванты для разных объемов имеют одну общую точку А. Отметим на графике еще две произвольные точки В и С, как это изображено на рис. 1.3.

 

Рис. 1.3. Изокванты не пересекаются

Комбинация ресурсов В является более предпочтительной для фирмы, чем комбинация С, поскольку содержит большее количество обоих ресурсов, и следовательно, в соответствии с данной производственной функцией, обеспечивает больший объем выпуска. Вместе с тем комбинации А и В принадлежат одной изокванте, и значит обеспечивают одинаковый объем производства. Комбинации А и С также принадлежат одной изокванте и также обеспечивают одинаковый объем. В соответствии с принципом транзитивности, если А = В и А = С, то и В = С, а это противоречит исходному положению.

4. Изокванты не имеют участков возрастания.

Если бы участок возрастания существовал, то при движении вдоль него увеличивалось бы количество как первого (К), так и второго (L) ресурса, т.е. возрастал бы объем максимального выпуска, а он (объем) должен быть постоянным на всем протяжении изокванты.

Убывающий характер изокванты отражает возможность замещения в определенных пределах используемых ресурсов, так что совокупный объем выпуска остается неизменным.