Тема 3. Статистические методы анализа взаимосвязи

 

Различают два типа связей между различными явлениями и их признаками: функциональную, то есть жестко детерминированную, с одной стороны, и корреляционную, статистическую — с другой.

При функциональной связи изменение признака-результата полностью обусловлено изменением признака-фактора.

При корреляционной связи изменение признака-результата обусловлено влиянием признака-фактора не полностью, а лишь в некоторой мере, так как существует еще влияние других причин, многие из которых неизвестны. Особенно это относится к взаимосвязям между социально-экономическими явлениями. Характерной особенностью корреляционной взаимосвязи является то, что она проявляется лишь на совокупности в целом и может не выполняться для отдельных ее элементов. Поэтому корреляционные зависимости изучаются по эмпирическим данным, полученным при статистическом наблюдении, так как в них отражается совокупное действие всех причин и условий на изучаемый признак.

Если исследуется зависимость признака-результата от одного фактора, то такая корреляционная связь называется парной, если факторов много, то такая корреляционная связь называется множественной. В данной контрольной работе рассматривается пример только парной корреляции. При этом признак-результат обозначим y, а признак-фактор — х.

Порядок изучения корреляционной зависимости может быть следующим:

* во-первых, на основе анализа имеющихся данных устанавливается, существует ли какая-либо зависимость между рассматриваемыми признаками;

* во-вторых, устанавливается форма, характер зависимости и мера тесноты связи;

* в-третьих, выявленная взаимосвязь описывается аналитической зависимостью.

На первом этапе анализ зависимости осуществляется на основе аналитической группировки. Так как при выполнении задания по данной теме используются те же исходные данные, то выводы, полученные в результате аналитической группировки, произведенной при выполнении задания № 1 данной контрольной работы, являются исходными для более глубокого изучения зависимости между признаками.

Так как ряд значений признака-фактора и относящихся к ним групповых средних признака-результата показывает характер зависимости, то таким образом выражает в табличной форме эмпирическую функцию регрессии. Если в системе координат, где по оси (у) указываются значения признака-результата, а по оси (х) — значения признака-фактора, отметить групповые средние и соединить их прямолинейными отрезками, то полученная ломаная будет графически представлять ту же функцию. Эта линия называется эмпирической линией регрессии, которая отражает главную тенденцию рассматриваемой зависимости.

Для измерения тесноты связи применяется несколько показателей. При парной корреляции теснота связи измеряется прежде всего коэффициентом детерминации и корреляционным отношением, основанными на измерении вариации результирующего признака и ее составляющих. По теореме о разложении дисперсии:

,

где — полная дисперсия (вариация) признака-результата;

— внутригрупповая дисперсия;

— межгрупповая дисперсия.

Внутригрупповая дисперсия характеризует ту часть общей дисперсии признака-результата, которая не зависит от изменения величины признака-фактора. Тем самым она отражает влияние неучтенных причин вариации признака-результата, то есть показывает степень неопределенности. В корреляционном анализе она называется остаточной дисперсией и определяется по формуле:

где — дисперсия признака-результата в пределах отдельной группы по признаку-фактору;

— численность отдельной группы.

Межгрупповая дисперсия отражает ту часть общей дисперсии признака-результата, которая объясняется влиянием рассматриваемого признака-фактора. Она определяется по формуле:

,

где — групповое среднее k -й группы.

Межгрупповая дисперсия в корреляционном анализе называется объясненной дисперсией.

Коэффициент детерминации определяется как доля объясненной дисперсии в общей дисперсии признака-результата. Он показывает, какая часть общей вариации признака-результата y объясняется влиянием изучаемого фактора х:

.

Корреляционное отношение определяется как отношение средних квадратичных отклонений:

Максимально тесная связь - это связь функциональная, когда каждое значение признака-результата у может быть однозначно определено значением х, при этом остаточная дисперсия равна нулю, а коэффициент детерминации равен 1. Если связь между признаками отсутствует, то объясненная дисперсия равна 0, а следовательно, и коэффициент детерминации равен 0. Таким образом, чем ближе значение показателя к единице, тем сильнее связь между признаками.

При линейной форме зависимости (а именно линейная зависимость между признаками предполагается при выполнении задания по этой теме для упрощения расчетов) для измерения тесноты связи кроме корреляционного отношения используется также другой показатель, который называется коэффициентом корреляции. Он может быть исчислен по следующей формуле:

Коэффициент корреляции может быть рассчитан на основе корреляционной таблицы по формуле:

.

Коэффициент корреляции может принимать значения от -1 до +1.

Отрицательные значения указывают на наличие обратной (убывающей) линейной зависимости, положительные — прямой (возрастающей) линейной зависимости. Если коэффициент корреляции равен нулю, то можно сделать, вывод, что линейная связь отсутствует.

Наиболее точный результат при расчете статистических показателей может быть получен на основе обработки исходных данных, однако это значительно увеличивает объем вычислений, если объем совокупности значительный. При выполнении контрольной работы точностью расчетов можно пожертвовать ради упрощения вычислений на основе сгруппированных данных, так как целью работы является выработка навыков использования статистических методов. Однако право выбора метода расчета остается за студентом. Так, при расчете коэффициента корреляции расчеты значительно упрощаются, если осуществлять их, используя корреляционную таблицу. Она строится на основе комбинационной таблицы, полученной при выполнении задания № 1.

Следующий этап исследования корреляционной связи заключается в том, чтобы описать зависимость признака-результата от признака-фактора некоторым аналитическим выражением. Так как исследуемая зависимость является корреляционной, то функция, описывающая зависимость (аналитическое уравнение регрессии), должна быть "ближайшей" к рассматриваемой корреляционной связи. Эта задача решается на основе метода наименьших квадратов, который позволяет по исходным данным оценить параметры функции, относящейся к заданному классу. Так, если считать, что связь между исследуемыми признаками - линейная, то нужно определить параметры линейного уравнения регрессии

на основе системы нормальных уравнений:

Решение системы дает следующие значения параметров:

Однако определить параметры линейного уравнения регрессии можно по-другому. Существует взаимосвязь между коэффициентом (b) линейного уравнения регрессии и коэффициентом корреляции:

Помня, что средние значения признаков и их средние квадратичные отклонения были определены в предыдущем задании, коэффициент корреляции уже вычислен, можно довольно просто определить значения параметров а и b.

Задание № 3

С помощью корреляционного анализа изучить связь между признаками, указанными в Вашем варианте. Для этого:

1.Построить, эмпирическую линию регрессии.

2.Оценить тесноту связи между признаками, рассчитав коэффициент детерминации, коэффициент корреляции.

3.Найти линейное уравнение связи, график которого представить в той же системе координат, что и эмпирическая линия регрессии.

4.Интерпретировать полученные результаты, сделать выводы.

Тема 4. ИНДЕКСЫ

В статистике под индексами понимаются относительные величины, характеризующие результаты сравнения двух уровней одноименных объектов. Однако это не любые показатели сравнения, а специальные, построенные при особых условиях обобщения.

Каждый индекс включает два вида данных: данные текущего (или отчетного ) уровня, которые принято обозначать «1», и базисного уровня, служащего базой сравнения, обозначаемые «0».

В зависимости от степени охвата подвергнутых обобщению единиц изучаемой совокупности индексы подразделяются на индивидуальные (частные) и агрегатные (общие). Индивидуальные индексы характеризуют изменение отдельных единиц статистической совокупности (например, изменение цен на отдельные виды работ и услуг и т.д.):

,

где — текущий уровень индексируемой величины;

— базисный уровень индексируемой величины.

Агрегатные индексы выражают сводные обобщающие результаты совместного изменения всех единиц, образующих статистическую совокупность (например, изменение цен на все виды выполняемых работ и услуг и т.д.):

.

Так как совокупность состоит обычно из элементов, непосредственно не поддающихся суммированию, то агрегатный индекс включает набор значений индексируемой величины и соответствующих им коэффициентов соизмерения (весов) .

Важной особенностью общих индексов является то, что они обладают синтетическими и аналитическими свойствами. Синтетические свойства индексов состоят в том, что посредством индексного метода производится соединение в целое разнородных единиц статистической совокупности. Аналитические свойства определяются тем, что с помощью индексного метода можно оценить влияние факторов на изменение изучаемого показателя.

Различают индексы количественных и качественных показателей. К индексам количественных (объемных) показателей относятся индексы физического объема продукции, работ и услуг, грузооборота, товарооборота и т.д. — показателей, которые характеризуются абсолютными величинами. К индексам качественных показателей относятся индексы цен, выработки, себестоимости единицы продукции, заработной платы и др., — показателей, уровень которых дается в форме средних (относительных) величин.

Систему этих индексов можно рассмотреть на примере таких показателей, как цена, физический объем работ или услуг и стоимость работ или услуг. Обозначим цену отдельного вида работ или услуг (качественный показатель) р, а физический объем, т.е. объем работ или услуг отдельного вида в натуральном выражении (количественный показатель) q. Тогда индивидуальные индексы этих показателей имеют вид:

¨ физического объема работ или услуг ,

¨ цены ,

¨ стоимости .

При определении общего индекса цен существует два подхода при выборе соизмерителя (веса) индексируемой величины:

1. В качестве веса приниматься физический объем работ и услуг текущего периода:

.

Такой агрегатный индекс цен называется индексом Пааше.

2. В качестве веса принимается физический объем работ и услуг базисного периода:

.

Такой агрегатный индекс цен называется индексом Ласпейреса.

Применение каждого из этих индексов зависит от цели исследования. Индекс Пааше характеризует влияние изменения цен на стоимость работ и услуг, реализованных в отчетном периоде, а индекс Ласпейреса показывает влияние изменения цен на стоимость работ и услуг, если физический объем их в текущем периоде не изменится.

Однако в нашей практике более распространен индекс Пааше, поэтому именно этот индекс в качестве индекса цен будет применен при выполнении контрольной работы. Это важно, так как от этого зависит конструкция общего индекса физического объема.

Дело в том, что практически каждый индекс можно рассматривать как часть некоей системы индексов, определенной взаимосвязью между признаками. Так, если

стоимость продукции = количество ´ цена,

то и общий индекс стоимости должен быть равен произведению индекса физического объема на индекс цен: .

Отсюда, если для индексирования цен применен индекс Пааше, то индекс физического объема будет иметь вид:

,

а индекс стоимости, разложенный на соответствующие компоненты, имеет вид:

.

Индексный метод позволяет также представить абсолютный прирост стоимости продукции как результат влияния различных факторов: изменения цен и количества продукции.

Так, общее изменение стоимости продукции в текущем периоде по сравнению с базисным определяется следующим образом:

,

в том числе:

• за счет изменения цен на отдельные виды продукции

;

• за счет изменения количества производимой продукции

.

Общее изменение стоимости продукции равно алгебраической сумме изменений за счет каждого из факторов.

Агрегатный индекс связан с индивидуальными индексами. Это особенно важно тогда, когда данных для построения агрегатного индекса недостаточно. При этом агрегатный индекс может быть определен как средний из индивидуальных; метод усреднения зависит от имеющейся системы весов.

 

Так, если даны индивидуальные индексы цен различных видов однородной продукции , то агрегатный индекс цен для этого набора продукции будет определен как среднее гармоническое с весами усреднения :

.

Если даны индивидуальные индексы физического объема ,то агрегатный индекс физического объема для этого набора продукции будет определен как среднее арифметическое с весами усреднения :

.

Особый подход существует при индексировании средних величин. Индекс средней величины определяется как отношение ее значений в текущем и базисном периоде. Например, индекс средней цены будет определяться так:

 

.

Если принять то .

 

При этом на величину средней влияет как изменение цен, так и изменение структуры набора продукции, для которой определялась средняя цена, поскольку в ее расчете участвуют веса разных периодов . Поэтому индекс средней величины называется индексом переменного состава, а для анализа влияния на индекс средней величины непосредственного изменения усредняемой величины (в данном случае цены) определяется индекс фиксированного состава:

 

,

а изменения структуры продукции - индекс структурного сдвига:

 

.

Задание № 4

1. Пользуясь табл. 2 и 3, сформировать таблицу исходных данных.

2. Определить индивидуальные индексы:

• физического объема,

• цены;

• стоимости.

3. Определить общие индексы:

• физического объема,

• цены;

• стоимости.

Объяснить экономический смысл каждого из индексов, показать взаимосвязь между ними.

4. Определить абсолютное изменение стоимости произведенной продукции в текущем периоде по сравнению с базисным, в том числе за счет изменения цен и за счет изменения выпуска продукции.

5. Считая продукцию однородной, определить, как изменилась средняя цена единицы продукции и как при этом повлияло изменение цен и изменение структуры выпускаемой продукции. Объяснить полученные результаты.

5.Используя данные табл. 5, рассчитать, как в среднем изменилась себестоимость единицы и выпуск продукции.

Таблица 2

	Базисный период	Текущий период
Вид продукции	Выпуск продукции, тыс. шт.	Цена за единицу, тыс. руб./шт.	Выпуск продукции, тыс. шт.	Цена за единицу, тыс. руб./шт.
	А	Б			Г	Д
I II III

 

Таблица 3

	Номер варианта
Столбцы данных	А1 ГЗ	А1 Г4	А1 ДЗ	А1 Д4	А2 ГЗ	А2 Г4	Б1 ГЗ	Б1 Д3	Б2 ДЗ	Б2 Д4

 

 

Используя табл. 2 и 3, можно сформировать исходные данные для выполнения задания по данной теме. Например:

Таблица 4

Вид продукции	Базисный период	Текущий период
Выпуск продукции, тыс. шт.	Цена за единицу, тыс. руб./шт.	Стоимость продукции, тыс.руб	Выпуск продукции, тыс. шт.	Цена за единицу, тыс. руб./шт.	Стоимость продукции, тыс.руб	Стоимость продукции в сопоставимых ценах тыс.руб.
I
II
III
Итого:

Таблица 5

Вариант	Вид продукции	Изменение себестоимости единицы продукции в текущем периоде по сравнению с базисным, %	Изменение физического объема продукции в текущем периоде по сравнению с базисным, %	Затраты на производство продукции, (тыс. руб.)
Базисный период	Текущий период
	A В С
	А В С
	А В С
	А В С
	А В С
	А В С
	А В С
	А В С
	А В С
	А В С