Метод коллективной аналитической иерархии

В простейшем случае трехуровневой иерархической структуры «цель - критерии - варианты» частная ценность (локальный приоритет) варианта А_i по каждому q -му критерию оценки K_q и относительная важность (вес) w_q критерия K_q, рассчитанные по формуле (3.1), имеют вид:

, (3.2)

, (3.3)

где и - суть элементы соответственно матриц парных сравнений вариантов A^q и критериев оценки А⁰; m — число сравниваемых вариантов; n — число сравниваемых критериев оценки.

Общая ценность варианта А_i определяется взвешенной суммой частных ценностей (локальных приоритетов), которая получается путем их последовательной аддитивной свертки по всем уровням иерархии:

(3.4)

Варианты решения проблемы ранжируются по вычисленным значениям общей ценности , и выделяется лучший вариант.

Рис. 3.2. Иерархическая структура проблемы коллективного выбора

Метод коллективной аналитической иерархии, позволяющий упорядочивать варианты по многим критериям, и развивающий метод аналитической иерархии разработаны Т. Саати и Дж. Александером (США, 1981). Метод основан на вычислении агрегированной общей ценности вариантов, которая представлена взвешенными средними арифметическими значениями показателей, и входит во вторую группу методов рационального выбора.

Иерархическая структура проблемы коллективного выбора представлена на рис. 3.2. Верхний уровень иерархии в модели проблемной ситуации характеризует стоящую перед участниками (членами КПР) основную цель F. Средние уровни иерархии включают в себя участников, обозначенных номерами 1,..., t, критерии оценки вариантов К₁,..., К_n. Нижний уровень иерархии представляет альтернативные варианты действий, решения, сценарии поведения A₁,..., А_m. Основные этапы процедуры коллективного выбора лучшего варианта те же, что и в случае индивидуального выбора.

Для измерения показателей сравнительной важности элементов иерархической структуры используется абсолютная девятибалльная шкала (см. табл. 3.1). Участники оцениваются («взвешиваются») по степени их влиятельности, критерии - по их относительной важности. Постулируется, что влиятельность участников является аддитивной величиной, которая распределена по всем уровням иерархии между участниками, критериями, вариантами.

Коллективная оценка общей ценности варианта А_i задается выражением

(3.7)

здесь - индивидуальная локальная ценность варианта A_i, i = 1,..., m, по критерию K_q для участника s, вычисляемая по формуле (3.2);

- индивидуальная относительная важность (вес) критерия K_q для участника s, вычисляемая по формуле (3.3);

t - число участников;

n - число критериев;

m - число сравниваемых вариантов.

Степень влиятельности участника s либо определяется выражением:

где - элемент A _o матрицы парных сравнений участников, либо вычисляется по формуле .

Коллективная общая ценность характеризует приоритетность варианта с учетом влиятельности участников. Варианты упорядочиваются по вычисленным значениям общих ценностей , и выделяется лучший вариант по максимальному значению общей ценности.

Метод коллективной мультипликативной аналитической иерархии, разработанный Ф. Лутсма и Дж. Барзилай (1977), основан на агрегировании средних геометрических значений показателей для определения коллективной общей ценности варианта в иерархической структуре «цель — участники — критерии — варианты». Метод также относится ко второй группе методов рационального коллективного выбора и сохраняет все особенности метода, предназначенного для одного ЛПР.

Индивидуальная локальная ценность варианта A_i по критерию K_q и вес критерия K_q для участника s вычисляются по формулам:

где — градация сравнительной предпочтительности i -го и j -го вариантов по критерию K_q для участника s;

— градация сравнительной важности q -го и l -го критериев для участника s, которые берутся из таблицы предпочтительности элементов иерархии; и — параметры шкал критериев и весов, равные, как и ранее, = ln 2, = ln 2/2.

Степень влиятельности участников предлагается оценивать подобно тому, как это делается с весами критериев, и рассчитывать показатель влиятельности члена s КПР по формуле:

(23.10)

где — градация сравнительной предпочтительности участника s по сравнению с участником r, измеренная по шкале; — параметр шкалы. Рекомендуется, как и в случае шкалы весов, полагать . Аналогичным образом можно оценивать и влиятельность коалиций.

Идентичность методологического подхода к оценке сравнительной влиятельности участников и весов критериев аргументируется авторами метода тем, что обычно отбор членов КПР и критериев оценки вариантов осуществляет некоторый руководитель высокого ранга, ответственный за решение проблемы.

Коллективная оценка общей ценности варианта агрегируется по всем критериям и всем участникам и представляется как

(3.8)

Все варианты упорядочиваются по предпочтительности в соответствии со значениями их агрегированных ценностей .

Иерархические методы коллективного принятия решения допускают определенную несогласованность предпочтений как отдельного ЛПР, так нескольких ЛПР и/или экспертов, независимо оценивающих элементы иерархической структуры. Объединение их оценок производится путем арифметического или геометрического усреднения индивидуальных суждений.

Как следует из выражений (3.7) и (3.8), очередность усреднения матриц парных сравнений элементов иерархической структуры — сначала по участникам, а потом по критериям или наоборот — не влияет на характер зависимости общей ценности от степени влиятельности участников и весов критериев. Этот вывод вытекает из арифметического и геометрического способов усреднения всех показателей. Таким образом, итоговое упорядочение вариантов не зависит от процедуры агрегирования индивидуальных многокритериальных предпочтений членов КПР. А значит, метод коллективной аналитической иерархии удовлетворяет условию рациональности коллективного выбора.

Из векторов приоритетов, оценивающих влияние элементов i+1 го уровня на каждый связанный с ним элемент i-го уровня (связь фиксируется наличием соответствующей дуги в графе иерархии), образуется матрица приоритетов, которая умножается справа на вектор приоритетов полученный на i-м уровне иерархии и получается вектор приоритетов i+1-го уровня.

Последовательное вычисление приоритетов элементов от верхних уровней к нижним позволяет численно оценить влияние всех включенных в иерархию элементов (КПР, стратегий, видов критериев, критериев, сценариев, действий и т. д.) на возможные исходы (терминальные вершины графа иерархии).

Сравнивая полученные приоритеты для элементов последнего уровня, можно установить соотношения в их значимости (выгодности, эффективности) с точки зрения ЛПР. Если задача состоит в выборе одного из альтернативных решений, то предпочтение следует отдать варианту с наибольшим приоритетом.

Набор матриц парных сравнений элементов на всех уровнях иерархической структуры представляет собой субъективную модель рационального выбора, где предпочтительность элементов для ЛПР имеет следующее выражение: H_i H_j, если > 1; H_i H_j, если = 1; H_i H_j, если < 1. Такие бинарные отношения между элементами иерархии могут быть и нетранзитивными. В модель рационального выбора входит также оценка степени влияния элемента H_i нижележащего уровня на элементы вышележащего уровня, которая характеризуется частной ценностью (локальным приоритетом) этого элемента по k -му аспекту:

(1)

По определению значения локальных приоритетов всех элементов иерархии нормированы в пределах от 0 до 1.

Вычисление ценности вариантов

Общая ценность (глобальный приоритет) каждого варианта решения стоящей проблемы выбора характеризует значимость варианта для ЛПР с точки зрения цели высшего уровня и служит основой для итогового упорядочения исходного множества вариантов. Общая ценность варианта определяется в соответствии с принципом иерархического синтеза. Согласно этому принципу для всех элементов на каждом из уровней иерархической структуры рассчитываются частные ценности (локальные приоритеты) элементов, которые затем агрегируются «снизу вверх», начиная с последнего (самого нижнего) уровня и кончая первым (самым верхним) уровнем.

, (3.2)

, (3.3)

(3.4)