Знаходження моди та медіани

Для обчислення моди та медіани необхідно спочатку знайти модальний та медіанний інтервали побудованого і. в. р.

Очевидно, що модальним є 4-й інтервал, оскільки його частота f ₄=36 найбільша.

Для знаходження медіанного інтервалу необхідно для кожного і- го інтервалу знайти накопичену частоту S_i . Очевидно, що S ₁ =f ₁, а S_{i+ 1} = S_і + f_{i+ 1} . Накопичені частоти будемо знаходити у діапазоні, наприклад Q4-Q10. Так S₅ знаходимо за формулою “=Q7+І8”, як показано на рис. 1.18.

Аналізуючи значення S_i, легко встановити, що медіанним інтервалом є 4-й інтервал, оскільки він перший з інтервалів, для яких накопичена частота перевищує половину обсягу сукупності: .

Після знаходження модального та медіанного інтервалів обчислюємо моду та медіану за відповідними формулами

, ,

округлюючи їх значення до двох десяткових знаків.

 

 

Рис. 1.18.

 

Для даного прикладу ці характеристики обчислюємо у комірках, наприклад, К15 та К16 за формулами відповідно

“ =ОКРУГЛ(G7+D5*((I7-I6)/(2*I7-I6-I8));2)”

“ =ОКРУГЛ(G7+D5*((D10/2-I6)/I7);2)”, як показано на рис. 1.19.

 

 

Рис. 1.19.

 

За результатами дослідження можна зробити висновок: маємо одновершинний унімодальний гостроверхий (Ex> 3) розподіл однорідної статистичної сукупності з незначною лівосторонньою асиметрією.

Додаток 1

Вихідні дані для лабораторних робіт № 3, 4

 

№ з/п	Номери стовпців Li
	4,5	0,8	95,1	1,4	13,2	2,6	93,6	11,8	10,9	35,4	1,8	45,6	52,3	90,1	18,6
	7,8	1,2	95,2	1,6	11,7	2,7	92,0	10,9	10,6	36,2	1,9	46,3	54,2	95,6	19,8
	6,9	0,9	94,8	1,8	15,3	2,6	93,0	11,7	10,7	34,1	2,1	47,9	60,3	95,2	25,1
	8,4	1,1	95,0	1,9	17,4	3,0	93,4	11,8	10,6	33,8	2,3	49,1	68,9	96,8	27,3
	13,2	1,3	96,3	2,1	17,5	2,9	92,6	11,5	10,5	34,9	2,6	50,2	66,4	90,3	26,5
	11,7	1,2	94,7	2,3	18,6	2,8	91,0	11,6	10,5	36,4	2,7	50,3	65,8	92,4	29,4
	15,3	1,1	95,3	2,6	19,8	3,0	90,0	11,4	10,6	37,8	2,6	52,1	67,9	96,3	33,6
	17,4	1,4	94,2	2,7	25,1	3,1	90,8	11,5	10,3	36,5	3,0	52,6	75,2	95,8	32,1
	17,5	1,4	95,6	2,6	27,3	3,0	90,9	11,6	10,4	39,2	2,9	55,0	74,3	98,9	35,0
	18,6	1,5	93,7	3,0	26,5	3,1	91,2	11,5	10,3	42,0	2,8	54,2	77,8	91,2	38,4
	19,8	1,4	94,6	2,9	29,4	3,2	90,0	11,3	10,2	41,3	3,0	56,3	79,5	93,4	37,6
	25,1	1,6	92,1	2,8	33,6	3,6	89,9	11,4	10,1	43,6	3,1	57,4	83,6	95,6	39,8
	27,3	1,8	94,6	3,0	32,1	3,5	90,2	11,2	10,5	44,1	3,0	58,9	85,1	96,1	43,2
	26,5	1,9	93,8	3,1	35,0	3,6	88,9	11,1	10,1	47,2	3,1	59,6	90,3	99,4	42,6
	29,4	2,1	92,9	3,0	38,4	3,6	89,6	10,9	10,2	45,6	3,2	59,9	90,1	98,7	47,6
	33,6	2,3	91,8	3,1	37,6	3,7	88,4	11,1	10,0	46,3	3,6	62,4	97,5	99,3	46,5
	32,1	2,6	94,5	3,2	39,8	3,9	89,7	11,0	10,0	47,9	3,5	61,8	95,2	100,1	48,1
	35,0	2,7	93,6	3,6	43,2	3,8	87,6	10,9	10,2	49,1	3,6	64,8	96,8	101,2	50,3
	38,4	2,6	92,0	3,5	42,6	4,1	86,5	10,7	–	50,2	3,6	66,2	–	–	50,8
	37,6	3,0	–	3,6	47,6	4,2	84,3	–	–	50,3	3,7	67,0	–	–	54,9
	39,8	2,9	–	3,6	46,5	4,4	–	–	–	52,1	3,9	–	–	–	58,7
	43,2	–	–	–	48,1	–	–	–	–	52,6	3,8	–	–	–	58,6
	–	–	–	–	50,3	–	–	–	–	55,0	–	–	–	–	59,4
	–	–	–	–	50,8	–	–	–	–	–	–	–	–	–	61,8

Закінчення додатку 1

№ з/п	Номери стовпців Li
	1,5	93,7	11,5	42,0	0,8	45,3	100,2	94,6	140,2	90,1	64,5	107,6	92,7	28,7	51,2
	1,4	94,6	11,3	41,3	1,2	44,2	100,1	97,2	140,3	97,5	66,8	109,6	93,6	27,4	50,6
	1,6	92,1	11,4	43,6	0,9	44,6	99,4	97,3	140,6	95,2	67,9	110,2	92,5	24,6	52,3
	1,8	94,6	11,2	44,1	1,1	45,8	99,6	96,1	139,5	96,8	69,3	112,4	93,6	26,3	50,4
	1,9	93,8	11,1	47,2	1,3	46,8	99,8	97,5	142,3	90,1	72,1	113,1	93,8	25,4	47,6
	2,1	92,9	10,9	45,6	1,2	48,2	101,6	96,0	135,6	95,6	73,4	114,8	93,4	24,8	49,2
	2,3	91,8	11,1	46,3	1,1	49,3	102,3	96,1	136,8	95,2	78,6	115,6	92,8	23,9	47,3
	2,6	94,5	11,0	47,9	1,4	52,4	106,9	95,9	135,4	96,8	81,3	118,3	93,1	22,8	45,1
	2,7	93,6	10,9	49,1	1,4	57,8	105,2	96,3	133,6	90,3	79,5	117,9	92,5	21,0	47,6
	2,6	92,0	10,7	50,2	1,5	56,9	104,6	95,2	131,0	92,4	84,9	117,6	91,2	20,0	40,3
	3,0	93,0	10,9	50,3	1,4	58,2	103,8	95,4	132,9	96,3	83,1	118,5	89,7	20,9	44,2
	2,9	93,4	10,6	52,1	1,6	62,3	105,2	94,2	132,4	95,8	86,5	119,3	91,6	20,3	45,0
	2,8	92,6	10,7	52,6	1,8	61,4	106,7	93,8	129,6	98,9	88,9	121,4	91,2	18,9	39,6
	3,0	91,0	10,6	55,0	1,9	64,8	108,9	94,5	130,0	91,2	87,4	122,0	90,8	19,6	37,2
	3,1	90,0	10,5	54,2	2,1	64,5	107,6	92,7	128,7	93,4	92,6	121,6	90,2	17,4	37,9
	3,0	90,8	10,5	56,3	2,3	66,8	109,6	93,6	127,4	95,6	93,8	125,3	89,9	16,8	40,1
	3,1	90,9	10,6	57,4	2,6	67,9	110,2	92,5	124,6	96,1	96,5	126,8	91,0	16,2	39,7
	3,2	91,2	10,3	58,9	2,7	69,3	112,4	93,6	126,3	99,4	95,6	128,5	90,5	15,3	41,3
	3,6	90,0	10,4	59,6	2,6	72,1	113,1	93,8	125,4	98,7	98,2	127,9	90,2	14,8	37,4
	3,5	89,9	10,3	59,9	3,0	73,4	114,8	93,4	–	99,3	99,3	129,3	89,3	14,6	34,2
	3,6	90,2	10,2	62,4	2,9	78,6	–	92,8	–	100,1	99,8	128,5	89,7	15,9	35,1
	–	88,9	10,1	61,8	–	76,9	–	–	–	101,2	102,5	127,4	88,2	–	35,6
	–	–	10,5	64,8	–	–	–	–	–	104,5	103,8	128,3	–	–	32,3
	–	–	–	66,2	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	31,0

 

Додаток 2

 

Критичні значення кореляційного відношення (0,05; k ₁; k ₂)

і коефіцієнта детермінації (0,05; k ₁; k ₂) для рівня значущості

 

k 1 k 2
	0,771	0,865	0,903	0,924	0,938
	0,658	0,776	0,832	0,865	0,887
	0,569	0,699	0,764	0,806	0,835
	0,500	0,632	0,704	0,751	0,785
	0,444	0,575	0,651	0,702	0,739
	0,399	0,527	0,604	0,657	0,697
	0,362	0,488	0,563	0,628	0,659
	0,332	0,451	0,527	0,582	0,624
	0,306	0,420	0,495	0,550	0,593
	0,283	0,394	0,466	0,521	0,564
	0,247	0,345	0,417	0,471	0,514
	0,219	0,312	0,378	0,429	0,477
	0,197	0,283	0,348	0,394	0,435
	0,179	0,259	0,318	0,364	0,404
	0,164	0,238	0,294	0,339	0,377
	0,151	0,221	0,273	0,316	0,353
	0,140	0,206	0,256	0,297	0,332
	0,130	0,193	0,240	0,279	0,314
	0,122	0,182	0,227	0,264	0,297

 

Додаток 3

Критичні точки розподілу Стьюдента

Для двосторонньої критичної області

 

α k	0,10	0,05
	2,35	3,18
	2,13	2,78
	2,01	2,57
	1,94	2,45
	1,89	2,36
	1,86	2,31
	1,83	2,26
	1,81	2,23
	1,80	2,20
	1,78	2,18
	1,76	2,14
	1,75	2,12
	1,73	2,10
	1,73	2,09
	1,72	2,07
	1,71	2,06
	1,70	2,05
	1,68	2,02
	1,67	2,00
	1,66	1,98
∞	1,64	1,96

 

Додаток 4

 

Критичні значення модуля коефіцієнта кореляції знаків Фехнера для двосторонньої критичної області; − обсяг вибірки; − рівень значущості

 

	0,05	1,000	1,000	1,000	0,778	0,800	0,818	0,667	0,692	0,714	0,600
0,10	1,000	1,000	0,750	0,778	0,800	0,636	0,667	0,538	0,571	0,600

	0,05	0,625	0,529	0,556	0,579	0,500	0,524	0,545	0,478	0,500	0,440
0,10	0,500	0,529	0,444	0,474	0,500	0,429	0,455	0,391	0,417	0,440

Додаток 5

Таблиця значень інтегральної функції Лапласа

x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)
0,00	0,0000	0,24	0,0948	0,48	0,1844	0,72	0,2642
0,01	0,0040	0,25	0,0987	0,49	0,1879	0,73	0,2673
0,02	0,0080	0,26	0,1026	0,50	0,1915	0,74	0,2703
0,03	0,0120	0,27	0,1064	0,51	0,1950	0,75	0,2734
0,04	0,0160	0,28	0,1103	0,52	0,1985	0,76	0,2764
0,05	0,0199	0,29	0,1141	0,53	0,2019	0,77	0,2794
0,06	0,0239	0,30	0,1179	0,54	0,2054	0,78	0,2823
0,07	0,0279	0,31	0,1217	0,55	0,2088	0,79	0,2852
0,08	0,0319	0,32	0,1255	0,56	0,2123	0,80	0,2881
0,09	0,0359	0,33	0,1293	0,57	0,2157	0,81	0,2930
0,10	0,0398	0,34	0,1331	0,58	0,2190	0,82	0,2939
0,11	0,0438	0,35	0,1368	0,59	0,2224	0,83	0,2967
0,12	0,0478	0,36	0,1406	0,60	0,2257	0,84	0,2995
0,13	0,0517	0,37	0,1443	0,61	0,2291	0,85	0,3023
0,14	0,0557	0,38	0,1480	0,62	0,2324	0,86	0,3051
0,15	0,0596	0,39	0,1517	0,63	0,2357	0,87	0,3078
0,16	0,0636	0,40	0,1554	0,64	0,2389	0,88	0,3106
0,17	0,0675	0,41	0,1591 *	0,65	0,2422	0,89	0,3133
0,18	0,0714	0,42	0,1628	0,66	0,2454	0,90	0,3159
0,19	0,0753	0,43	0,1664	0,67	0,2486	0,91	0,3186
0,20	0,0793	0,44	0,1700	0,68	0,2517	0,92	0,3212
0,21	0,0832	0,45	0,1736	0,69	0,2549	0,93	0,3238
0,22	0,0871	0,46	0,1772	0,70	0,2580	0,94	0,3264
0,23	0,0910	0,47	0,1808	0,71	0,2611	0,95	0,3289

 

x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)
0,96	0,3315	1,37	0,4147	1,78	0,4525	2,36	0,4909
0,97	0,3340	1,38	0,4162	1,79	0,4633	2,38	0,4913
0,98	0,3365	1,39	0,4177	1,80	0,4641	2,40	0,4918
0,99	0,3389	1,40	0,4192	1,81	0,4649	2,42	0,4922
1,00	0,3413	1,41	0,4207	1,82	0,4656	2,44	0,4927
1,01	0,3438	1,42	0,4222	1,83	0,4664	2,46	0,4931
1,02	0,3461	1,43	0,4236	1,84	0,4671	2,48	0,4934
1,03	0.3485	1,44	0,4251	1,85	0,4678	2,50	0.4938
1,04	0,3508	1,45	0,4265	1,86	0,4686	2,52	0,4941
1,05	0,3531	1,46	0,4279	1,87	0,4693	2,54	0,4945
1,06	0,3554	1,47	0,4292	1,88	0,4699	2,56	0,4948
1,07	0,3577	1,48	0,4306	1,89	0,4706	2,58	0,4951
1,08	0,3599	1,49	0,4319	1,90	0,4713	2,60	0,4953
1,09	0,3621	1,50	0,4332	1,91	0,4719	2,62	0,4956
1,10	0,3643	1,51	0,4345	1,92	0,4726	2,64	0,4959
1,11	0,3665	1,52	0,4357	1,93	0,4732	2,66	0,4961
1,12	0,3686	1,53	0,4370	1,94	0,4738	2,68	0,4963
1,13	0,3708	1,54	0,4382	1,95	0,4744	2,70	0,4965
1,14	0,3729	1,55	0,4394	1,96	0,4750	2,72	0,4967
1,15	0,3749	1,56	0,4408	1,97	0,4756	2,74	0,4969
1,16	0,3770	1,57	0,4418	1,98	0,4761	2,76	0,4971
1,17	0,3790	1,58	0,4429	1,99	0,4767	2,78	0,4973
1,18	0.3810	1,59	0,4441	2,00	0,4772	2,80	0,4974
1,19	0.3830	1,60	0,4452	2,02	0,4783	2,82	0,4976
1,20	0,3849	1,61	0,4463	2,04	0,4793	2,84	0,4977
1,21	0,3869	1,62	0,4474	2,06	0,4803	2,86	0,4979
1,22	0,3883	1,63	0,4484	2,08	0,4812	2,88	0,4980
1,23	0,3907	1,64	0,4495	2,10	0,4821	2,90	0,4981
1,24	0,3925	1,65	0,4505	2,12	0,4830	2,92	0,4982
1,25	0,3944	1,66	0,4515	2,14	0,4838	2,94	0,4984
1,26	0,3962	1,67	0,4525	2,16	0,4846	2,96	0,4985
1,27	0,3980	1,68	0,4535	2,18	0,4854	2,98	0,4986
1,28	0,3997	1,69	0,4545	2,20	0,4861	3,00	0,4987
1,29	0,4015	1,70	0,4554	2 22	0,4868	3,20	0,4993
1,30	0,4032	1,71	0,4564	2,24	0,4875	3,40	0,4997
1,31	0,4049	1,72	0,4573	2,26	0,4881	3,60	0,4998
1,32	0,4066	1,73	0,4582	2,28	0,4887	3,80	0,4999
1,33	0,4082	1,74	0,4591	2,30	0,4893	4,00	0,5000
1,34	0,4099	1,75	0,4599	2,32	0,4898
1,35	0,4115	1,76	0,4608	2,34	0,4904
1,36	0,4131	1,77	0,4616

Закінчення додатку 5

Додаток 6

Таблиця критичних точок розподілу Пірсона ( − рівень значущості; −число степенів вільності)

 

 

0,01	0,025	0,05	0,95	0,975	0,89
	6,6	5,0	3,8	0,0039	0,00098	0,00016
	9,2	7,4	6,0	0,103	0,051	0,020
	11,3	9,4	7,8	0,352	0,216	0,115
	13,3	11,1	9,5	0,711	0,484	0,297
	15,1	12.8	11,1	1,15	0,831	0,554
	16,8	14,4	12,6	1,64	1,24	0,872
	18,5	16,0	14,1	2,17	1,69	1,24
	20,1	17,5	15,5	2,73	2,18	1,65
	21,7	19,0	16,9	3,33	2,70	2,09
	23,2	20,5	18,3	3,94	3,25	2,56
	24,7	21,9	19,7	4,57	3,82	3,05
	26,2	23,3	21,0	5,23	4,40	3,57
	27,7	24,7	22,4	5,89	5,01	4,11
	29,1	26,1	23,7	6,57	5,63	4,66
	30,6	27,5	25,0	7,26	6,26	5,23
	32,0	28,8	26,3	7,96	6,91	5,81
	33,4	30,2	27,6	8,67	7,56	6,41
	34,8	31,5	28,9	9,39	8,23	7,01
	36,2	32,9	30,1	10,1	8,91	7,63
	37,6	34,2	31,4	10,9	9,59	8,26
	38,9	35,5	32,7	11,6	10,3	8,90
	40,3	36,8	33,9	12,3	11,0	9,54
	41,6	38,1	35,2	13,1	11,7	10,2
	43,0	39,4	36,4	13,8	12,4	10,9
	44,3	40,6	37,7	14,6	13,1	11,5
	45,6	41,9	38,9	15,4	13,8	12,2
	47,0	43,2	40,1	16,2	14,6	12,9
	48,3	44,5	41,3	16,9	15,3	13,6
	49,6	45,7	42,6	17,7	16,0	14,3
	50,9	47,0	43,8	18,5	16,8	15,0

Література

 

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1998.

2. Ковтун Н.В., Столяров Г.С. Загальна теорія статистики: Курс лекцій. – К.: Четверта хвиля, 1996.

3. Харченко Л.П. и др. Статистика: Учебное пособие / Под ред. В.Г. Ионина. – Изд. 2-е. – М., 2002.

4. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики. – М., 2004.

5. Теория статистики: Учебник / Под ред. Г.Л. Громыко. – М., 2002.

6. Теория статистики: Учебник / Р.А. Шмойлова и др.; под ред. Р.А. Шмойловой. – М., 2003.

7. Практикум по теории статистики: Учебное пособие / Р.А. Шмойлова и др.; под ред. Р.А. Шмойловой. – М., 2004.

8. Мармоза А.Т. Теорія статистики. – К., 2003.

9. Октябрьский П.Я. Статистика: Учебник. – М., 2003.

10. Мармоза А.Т. Практикум з теорії статистики. – К., 2003.