Аналітичне вирівнювання є більш досконалим способом дослідження часових рядів, який дає можливість не тільки гарантовано (хоча інколи й не дуже надійно) виявляти вид і характер тенденції, але й робити прогноз розвитку явища на наступні часові моменти або інтервали. Метод застосовний для рівномірних інтервальних рядів і для моментних рядів з довільними проміжками δі часу між моментами.
Суть методу полягає в тому, що кожний фактичний рівень уі ознаки Y розглядається як сума двох доданків: , де – систематична складова, яка відображає загальну тенденцію і виражається рівнянням = f(t); – випадкова складова, яка відображає флуктуації рівнів ряду і завуальовує загальну тенденцію.
Таким чином, аналітичне вирівнювання динамічного ряду означає побудову функції = f(t), яка аналітично виражає залежність систематичної складової значень ознаки Y від часу t. При цьому для інтервальних часових рядів аргумент t звичайно являє собою порядковий номер інтервалу. Нумерацію будемо починати з нуля.
Такі функції і їх графіки називають трендовими кривими. За допомогою трендової кривої завжди можна встановити вид і характер тенденції розвитку явища, а також зробити прогноз на наступні часові інтервали або моменти.
Процедура побудови трендової кривої складається з двох етапів: 1) вибір виду функції f(t); 2) обчислення параметрів вибраної функції.
З формально-математичної точки зору побудова трендової кривої цілком аналогічна побудові рівняння регресії, що детально розглядалось у п. 2.4 л. р. № 3, за винятком двох моментів:
1. Якщо ряд є рівномірним і неперервним, то системи лінійних алгебраїчних рівнянь (3.9), (3.10) можна суттєво спростити. Для цього необхідно: а) усі часові моменти ti моментного ряду пронумерувати, починаючи з нуля, і надалі моменти ti ототожнювати з їх номерами (як і часові інтервали для інтервального ряду): ti = і, і = ; б) перейти до умовних номерів , перенумерувавши часові інтервали або моменти так, щоб точка відліку опинилась у середині часового ряду. Схематично це може виглядати, наприклад, так:
– для непарного числа (п +1) рівнів ряду: = ti – п/ 2 (n= 2 l, ),
Фактичні номери ti | |||||
Умовні номери | –2 | –1 |
– для парного числа (п +1) рівнів ряду: =2 ti – п (n= 2 l +1, ),
Фактичні номери ti | ||||||
Умовні номери | –5 | –3 | –1 |
Очевидно, що , за рахунок чого і спрощуються системи рівнянь. Зокрема, система (3.9) для умовних параметрів а 1і b 1 набуває вигляду
(4.19)
звідки
, . (4.20)
Система (3.10) для умовних параметрів p 1, q 1i r 1 набуває вигляду
(4.21)
звідки , що збігається з відповідною формулою (4.20), а параметри p 1 i r 1 знаходяться як розв’язок системи двох лінійних рівнянь, що складається з першого і третього рівнянь системи (4.21).
Після розв’язання систем (4.19) і (4.21) одержуємо лінійну та квадратичну (або параболічну) моделі тренду відповідно
та , (4.22)
як функції умовного часу .
Для переходу до фактичного часу t необхідно в рівняннях (4.22) замість покласти: = t–l для непарного числа рівнів ряду, де l=n /2; =2 t–п для парного числа рівнів ряду. В результаті одержимо лінійну та квадратичну моделі тренду відповідно
та , (4.23)
де a=a 1 – b 1 · l, b=b 1, p=p 1 – q 1 · l+r 1· l2, q=q 1 – 2r 1· l, r=r 1 для непарного числа (n +1); a=a 1 – b 1 · п, b=2b 1, p=p 1 + q 1 · п+r 1 · n2, q=2q 1 – 4r 1 · n, r=4r 1 для парного числа (n +1).
2. Регресійна дисперсія обчислюється за формулою
, (4.24)
де – фактичні (вирівняні) значення рівнів ряду; (п +1) – число рівнів ряду; п – номер останнього рівня ряду, якщо нумерація починається з нуля; т – число параметрів трендової кривої.