Вказівки до виконання роботи. Перед виконанням лабораторної роботи необхідно вивчити такий теоретичний матеріал: малі коливання; математичний маятник; фізичний маятник

Перед виконанням лабораторної роботи необхідно вивчити такий теоретичний матеріал: малі коливання; математичний маятник; фізичний маятник. Згасаючі гармонійні коливання. Характеристики згасання.

 

Фізичний маятник − це тіло, що має змогу обертатись навколо нерухомої горизонтальної осі, яка не проходить через центр мас тіла (рис. 4.1.1). При відхиленні маятника на кут j від положення рівноваги виникає обертовий момент M, який прагне повернути маятник у положення рівноваги:

, (4.1.1)

де m − маса тіла; ℓ − відстань від осі обертання до центра мас маятника.

Якщо маятник відпустити з такого положення, то виникне коливальний рух. Коливальному руху маятника перешкоджають опір повітря і тертя в осі маятника. Відомо, що у випадку невеликої швидкості руху сумарний момент сил опору буде пропорційний кутовій швидкості руху маятника:

, (4.1.2.)

де – коефіцієнт опору навколишнього середовища; − кутова швидкість. Знак “-“ свідчить про те, що вектори та мають протилежний напрям.

Отже, рівняння руху фізичного маятника, записане на основі динаміки обертального руху абсолютно твердого тіла відносно закріпленої осі при наявності опору середовища, буде мати вигляд:

, (4.1.3)

де J – момент інерції маятника відносно осі обертання; − кутове прискорення.

Враховуючи, що при малих кутах відхилення , а також вводячи позначення та , рівняння руху можна записати у вигляді:

. (4.1.4)

Розв’язком цього рівняння є функція залежності кута обертання маятника від часу, яку записують у вигляді:

. (4.1.5)

Графік функції (4.1.5) показано на рис. 4.1.2.

 

Виходячи з вигляду цієї функції, рух маятника можна розглядати як гармонійне коливання з частотою та амплітудою, яка змінюється з часом за законом .

Період згасаючих коливань дорівнює:

. (4.1.6)

Якщо коефіцієнт опору середовища невеликий, тобто можна вважати його рівним нулю ( =0), то це означає, що і d=0. Тоді формула періоду коливань запишеться так:

. (4.1.7)

Швидкість згасаючих коливань характеризується коефіцієнтом згасання d. Для визначення коефіцієнта згасання користуються залежністю амплітуди від часу, яка подається у вигляді логарифмічної функції:

. (4.1.8)

У координатах () рівняння (4.1.8) є прямою лінією. Величина d визначає кутовий коефіцієнт нахилу прямої (4.1.8) до осі часу t (рис. 4.1.3):

або . (4.1.9)

Якщо , то .

З останньої формули можна дати таке визначення коефіцієнта згасання: значення коефіцієнта згасання d є величиною, оберненою до проміжку часу t_e, амплітуда коливань якого згодом зменшується в е =2,71828…раз. Співвідношення (4.1.9) можна використовувати для експериментального визначення d.

Крім коефіцієнта згасання для характеристики згасання застосовують також логарифмічний декремент згасання , який визначається логарифмом відношення амплітуд, що відповідають моментам часу, які відрізняються на період:

. (4.1.10)

Фізичний маятник виконано у вигляді металевого стрижня 1 (рис. 4.1.4), до верхнього торця якого прикріплено дві призми. Ці призми спираються своїми ребрами на раму. Для зміни періоду коливань на стрижень надітий масивний вантаж 2, положення якого можна регулювати гвинтами. Відлік амплітуди коливань у градусах виконується за шкалою 3.

Хід роботи

1. Встановити вантаж на стрижні у крайнє нижнє положення.

2. Відхилити маятник на кут 8^o...10^o від положення рівноваги і відпустити. Виміряти час 20...30 повних коливань та визначити період коливань маятника за формулою:

.

3. Відхилити маятник на кут 8^o...10^o і відпустити його. Через кожні 10-15 секунд після цього визначати за шкалою 5 амплітуду коливань А доти, поки вона не зменшиться до 1...2^o.

4. Розрахувати значення логарифму натурального від амплітуди (ln A).

5. Результати вимірів та розрахунків занести до таблиці 4.1.1.

6. Згідно з отриманими результатами побудувати графік залежності ln A = f (t). Для цього нанести експериментальні точки з таблиці 4.1.1 і по їх положенню провести пряму лінію для графічного усереднення отриманих результатів (рис. 4.1.3).

7. На початку і на кінці графіка вибрати на осі t два моменти часу t ₁ та t ₂ (рис. 4.1.3) й визначити відповідні значення ln A ₁ та ln A ₂.

8. Визначити коефіцієнт згасання d за формулою:

.

9. За формулою (4.1.10) визначити логарифмічний декремент згасання .

10. Пересунути вантаж в положення, яке визначить викладач та виконати пункти 2-9.

 

Таблиця 4.1.1.

№ пор.	t, с	А, (град)	ln(A)	, 1/с

 

Контрольні запитання

1. Що таке коливання?

2. Що таке періодичні коливання?

3. Які коливання називають вільними?

4. Які коливання є незгасаючими? згасаючими?

5. Які коливання називаються вимушеними?

6. Які коливання називають гармонійними? Напишіть їх рівняння.

7. Дайте означення амплітуди, фази, початкової фази, періоду, лінійної та циклічної частот коливань.

8. Отримайте формули швидкості і прискорення для точки, що здійснює гармонійні коливання з рівняння гармонійних коливань.

9. Виведіть формули для кінетичної, потенціальної і повної енергії при гармонійних коливаннях.

10. Виведіть диференціальне рівняння згасаючих коливань пружинного та фізичного маятників. Запишіть його розв’язок.

11. Що таке коефіцієнт згасання? логарифмічний декремент згасання? В чому полягає їх фізичний зміст?

12. Від чого залежить період коливань пружинного, фізичного і математичного маятників?