Перевод смешанного числа (целого и дробного) из десятичного счисления в другое счисление

Метод деления.

Представление десятичного числа в других системах счисления может проводиться по схеме Горнера. Допустим, что у нас есть целое число D, представленное с помощью основания системы счисления b, т.е. D_n. Процесс представления выполняется в несколько этапов по следующим правилам:

3 Последовательно делить заданное число и получаемые целые части на новое основание счисления до тех пор, пока целая часть не станет меньше основания нового счисления.

4 Полученные остатки от деления, представленные символами нового счисления, записать в виде числа, начиная с последней целой части.

Следовательно, на 1 этапе D_n = , где - целая часть от деления, а₀ – остаток. Этот остаток является первым младшим разрядом в новой системе счисления. На втором этапе деления получаем выражение вида

= и т.д.

Задача.

Представить по схеме Горнера десятичное число D₁₀ = 147 в двоичном коде D₂ = 10010011, в восьмеричном коде D₈ =223, в шестнадцатеричном коде D₁₆ = 93.

Проверить полученные результаты на инженерном калькуляторе.

 

Рассмотрим преобразование десятичных чисел в двоичные, восьмеричные или шестнадцатеричные на основе процедуры схемы Горнера, представленной в виде таблицы:

 

Десятичное число D10	Двоичное число D2	Вес разряда
13: 2 = 6 с остатком 1
6: 2 = 3 с остатком 0
3: 2 = 1 с остатком 1
1: 2 = 0 с остатком 1

 

Десятичное число D10	Двоичное число D2	Вес разряда
37: 2 = 18 с остатком 1
18: 2 = 9 с остатком 0
9: 2 = 4 с остатком 1
4: 2 = 2 с остатком 0
2: 2 = 1 с остатком 0
1: 2 = 0 с остатком 1

 

Десятичное число D10	Восьмеричное число D8	Вес разряда
271: 8 = 33 с остатком 7
33: 8 = 4 с остатком 1
4: 8 = 0 с остатком 4

 

Десятичное число D10	D16	Вес разряда
27154: 16 = 1697 с остатком 2
1697: 16 = 106 с остатком 1
106: 16 = 6 с остатком 10	А
6: 16 = 0 с остатком 6

 

Десятичное число D10	D16	Вес разряда
7589: 16 = 474 с остатком 5
474: 16 = 29 с остатком 10	А
29: 16 = 1 с остатком 13	D
1: 16 = 0 с остатком 1

 

Задача.

Самостоятельно записать процедуру перевода D₁₀ =156 в D₈ и на основе анализа процедуры преобразования чисел из одной системы счисления (D₁₀) в другую D₂, D₈, D₁₆ разработать алгоритм этой процедуры.

 

Решение:

 

Десятичное число D10	Двоичное число D2	Вес разряда
156:2 = 78 с остатком 0
78:2 = 39 с остатком 0
39:2 = 19 с остатком 1
19:2 = 9 с остатком 1
9:2 = 4 с остатком 1
4:2 = 2 с остатком 0
2:2 = 1 с остатком 0
1:2 = 0 с остатком 1

 

Десятичное число D10	Восьмеричное число D8	Вес разряда
156:8 = 19 с остатком 4
19:8 = 2 с остатком 3
2:8 = 0 остатком 2

 

Десятичное число D10	D16	Вес разряда
156:16 = 9 с остатком 12	С
9:16 = 0 с остатком 9

 

156₁₀ = 10011100₈ = 234₈ = 9С₁₆

 

 

 

Алгоритм процедуры показан на рисунке:

 

 

 

Метод вычитания.

53 2⁵ 2⁴ 2³ 2² 2¹ 2⁰

-32 ®2⁵____ 1 1 0 1 0 1

-16 ®2⁴____________­

5____________________________­

-4 ®2²________________________________­

-1 ®2⁰_________________________________________­

 

Метод умножения (Перевод дробного числа из десятичного счисления в другое счисление).

Правило: последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равна нулю или не будет получено требуемое по условию количество разрядов; полученные целые части являются разрядами числа в новой системе и их необходимо представлять цифрами этой новой системы счисления.

Пример.

Для преобразования десятичной дроби в двоичный эквивалент используем операцию последовательного умножения на 2. Если первое произведение окажется меньше 1, то запишем в старший разряд двоичной дроби 0. Если первое произведение ³ 1, то старшей цифрой двоичной дроби является 1. Аналогично определим вторую цифру двоичной дроби, причем на два умножается только дробная часть произведении, полученная на предыдущем шаге.

 

Задача.

0,6384×2=1,2768 ®1 0,4535×2=0,907 ®0

0,2768×2=0,5536 ®0 0,907×2=1,8140 ®1

0,5536×2=1,1072 ®1 0,8140×2=1,6280 ®1

0,1072×2=0,2144 ®0 2,6280×2=1,256 ®1

0,2144×2=0,04288®0 1,256×2=0,512 ®0

0,0×2=0,0 ®0 0,512×2=1,024 ®1

(0,6384)₁₀ = (0,101000)₂ 0,024×2=0,048 ®0

0,048×2=0,096 ®0

0,096×2=0,182 ®0

(0,4535)₁₀ = (0,011101000)₂

 

Форматы чисел