Рентні платежі (ануїтети) та їх оцінка

Визначення майбутньої вартості потоку платежів. Нехай інвестор протягом певного періоду часу в кінці кожного року одержує платежі, які не є однаковими. Якщо він буде інвестувати суму кожного платежу на час до закінчення даного періоду, то після його завершення одержить деяку суму грошей, яку називають майбутньою вартістю потоку платежів.

Майбутню вартість потоку платежів можна визначити за формулою:

 

(3.27)

 

де: F - майбутня вартість потоку платежів; С_t - сума платежу за рік t; r - відсоток, під який інвестується сума С_t; n - кількість років, протягом яких проводяться виплати.

Майбутня вартість звичайного ануїтету при нарахуванні складного відсотку один раз на рік. Виникають ситуації, коли отримують (або виплачують) не одну суму, а декілька. Причому виплату (отримання) цих сум проводять за такими правилами: однакова сума через рівні проміжки часу за однієї й тієї самої діючої відсоткової ставки.

Такий механізм припливу (відпливу) грошей одержав назву ануїтету або ренти. Розрізняють два основних типи рент: безумовні й умовні ренти. Безумовні - ренти з фіксованим строком, тобто дати першої і останньої виплати визначені до початку ренти. Умовні ренти, в яких дата першої та останньої виплат залежить від деякої події. Рента називається звичайною (постнумерандо), якщо виплати здійснюються в кінці кожного періоду, і приведеною (авансованою, вексельною або пренумерандо), якщо виплати відбуваються на початку кожного періоду.

Як і для простої величини, для ануїтету можна визначити його майбутню і теперішню вартість.

Майбутню вартість ануїтету визначають як суму платежів і складних відсотків, що їх нараховують на кожній платіж на період часу, який пройшов від моменту кожного платежу до моменту останнього платежу. Визначити майбутню вартість звичайного ануїтету можна за допомогою формули:

 

(3.28)

Перетворимо формулу (23) для одержання С:

 

(3.29)

 

Майбутня вартість звичайного ануїтету при здійсненні виплат m разів на рік розраховується за формулою:

 

(3.30)

 

Майбутня вартість ануїтету при нарахуванні відсотку m разів на рік. Випадок, що розглядається, відрізняється від попереднього тим, що складний відсоток нараховується протягом року m разів, а платежі по ануїтету здійснюються тільки в кінці кожного року. Це означає, що відсотки по першому платежу нараховують з початку другого року і здійснюють m разів на рік тощо.

В даному випадку майбутня вартість ануїтету дорівнює:

 

(3.31)

 

Приведена вартість ануїтету при нарахуванні відсотку один раз на рік. Оберненим до поняття майбутньої вартості ануїтету є поняття теперішньої вартості ануїтету – теперішня, поточна або сьогоднішня вартість майбутніх рівномірних платежів, які здійснюють через рівні проміжки часу. Вона розраховується за формулою:

 

(3.32)

 

де: Р – приведена вартість ануїтету.

Формула приведеної вартості ануїтету може також використовуватися в тому випадку, коли позичальник бере кредит на умовах його погашення в майбутньому щорічними рівними платежами. Для цього з формули (3.32) виражають величину С:

 

(3.33)

 

де: Р – сума кредиту;

r – відсоток по кредиту;

С – платіж по кредиту;

N – термін дії кредиту.

Приведена вартість ануїтету при здійсненні виплат m разів на рік. Для випадку, що розглядається, приведену вартість ануїтету знаходять за допомогою наступної формули:

 

(3.34)

 

Приведена вартість ануїтету при нарахуванні відсотку m разів на рік розраховується за формулою:

 

(3.35)

 

Довічна рента. Довічна рента, виплати якої не обмежені ніякими строками. Майбутню вартість такого ануїтету визначити неможливо, так як вона не є кінцевою величиною. Однак можна розрахувати приведену вартість довічної ренти, скориставшись формулою (30). Оскільки для такого ануїтету n → ∞, то формула розрахунку приведеної вартості набуває вигляду:

 

(3.36)

 

Прикладом довічного ануїтету є безстрокові облігації та привілейовані акції, що генерують доход невизначено тривалий час, тому їх поточна теоретична вартість визначається за формулою (3.36). Найбільш простим варіантом оцінки привілейованої акції є відношення величини дивіденду до ринкової норми прибутку за акціями даного класу ризику.

Доходність фінансових операцій. На фінансовому ринку інвестора цікавить результат його операцій. Результативність інвестицій порівнюють за допомогою такого показника, як доходність. Доходність – це відносний показник, що показує, який відсоток приносить 1 гривня інвестованих коштів за певний період.

Доходність за період. Доходність за період - це доходність, яку інвестор одержить за певний період часу. Вона визначається за формулою:

 

(3.37)

 

де: r - доходність за період;

Р - початкове інвестовані кошти;

Р_n сума, одержана через n років.

 

Доходність з розрахунку на рік. На фінансовому ринку виникає необхідність порівнювати доходності різних фінансових інструментів. Тому показником доходності, що зустрічається найчастіше, є доходність в розрахунку на рік. Він визначається як середнє геометричне, а саме:

 

(3.38)

 

де: r - доходність в розрахунку на рік; n - число років.

Розрахунок доходності при нарахуванні відсотків m разів за рік:

 

(3.39)

 

Якщо відсоток нараховується безперервно, то доходність в розрахунку на рік можна визначити за формулою:

 

(3.40)

 

де: r_n - доходність, виражена як відсоток, що нараховується безперервно.

Для короткострокових операцій доходність визначається на підставі формул:

 

або (3.41)

 

Для короткострокових цінних паперів також можна розрахувати ефективну доходність, тобто ефективний відсоток. Для цього можна скористатися наступною формулою (для прикладу візьмемо фінансовий рік, що дорівнює 360 дням).

 

(3.42)

 

де: r_еф - ефективна доходність в розрахунку на рік; t - період фінансової операції (час з моменту купівлі до продажу або погашення цінного паперу); r - простий відсоток в розрахунку на рік; г, - доходність за період t.

 

Відсоткові ставки та інфляція. Розрізняють номінальні і реальні відсоткові ставки. Якщо темп інфляції перевищує ставку відсотку, яку одержує вкладник на вкладені кошти, то результат від фінансової операції виявиться негативним, тобто за абсолютною величиною його кошти збільшаться, а їх сукупна купівельна спроможність зменшиться.

Номінальна відсоткова ставка - це відсоткова ставка без врахування інфляції. В якості номінальних виступають відсоткові ставки банківських установ. Номінальна ставка свідчить про абсолютне зростання грошових коштів інвестора.

Реальна відсоткова ставка - це ставка, що скоригована на відсоток інфляції. Реальна ставка свідчить про приріст купівельної спроможності коштів інвестора.

Взаємозв'язок між номінальною і реальною відсотковими ставками можна представити наступним чином:

 

(3.43)

 

 

Вищенаведене рівняння називають рівнянням Фішера. Запишемо його в літерному позначенні:

 

1 + r = (1 + y)*(1 + i) (3.44)

де: r - номінальна ставка відсотку; у - реальна ставка відсотку; і - темп інфляції.

З рівняння (39) можна одержати реальну відсоткову ставку:

 

або (3.45)

 

Оцінка фінансових активів

Оцінка облігацій з купоном. Грошовий потік в цьому випадку складається з однакових за роками надходжень (С) і номінальної вартості облігації (N), які сплачуються в момент погашення.

 

(3.46)

 

Оцінка звичайних акцій з рівномірно зростаючими дивідендами (формула Гордона). Ціну звичайних акцій з постійними темпами приросту дивідендів знаходять, спираючись на загальну схему оцінки фінансових активів, тобто шляхом складання дисконтованих грошових надходжень від володіння акцією.

 

(3.47)

 

Приклад. Середня ринкова дохідність складає 12%, безпечна ставка – 9%, щорічний приріст дивідендів – 6%, сподіваний дивіденд наступного року 3 грн..бета коефіцієнт – 1,5. Визначити поточну ціну акції.

Рішення:

1. За допомогою моделі оцінки капітальних активів знаходимо необхідну ставку доходу. СЕ = 0,09+(0,12-0,09)х1,5=0,135 (13,5%).

2. Розрахуємо поточну ціну акції за формулою Гордона.

Р=3/ (0,135-0,06) = 40 грн.

Визначення вартості дисконтного векселя. Дисконтні векселі котируються па підставі ставки дисконту, показує величину знижки, яку продавець надає покупцю. Ставка дисконту вказується у відсотках до номіналу векселя як простий відсоток в розрахунку на рік. Ставку дисконту можна перерахувати в грошовий еквівалент за допомогою формули:

 

(3.48)

 

де: D - дисконт векселя;

N - номінал векселя;

d - ставка дисконту;

t - число днів з моменту придбання векселя до його погашення.

Ставка дисконту визначається за формулою:

 

(3.49)

 

Визначення ціни векселя. Ціну векселя можна визначити, вирахувавши з номіналу величину знижки, а саме:

 

P = N – D (3.50)

 

де: Р - ціна векселя.

Якщо відома ставка дисконту, то ціна визначається за формулою:

 

(3.51)

 

Якщо інвестор визначив для себе значення доходності, яку б він бажав забезпечити по векселю, то ціну паперу можна розрахувати за формулою:

 

(3.52)

 

де: r -доходність, яку бажає забезпечити собі інвестор. (Якщо вкладник порівнює інвестиції у вексель з іншими паперами, для яких фінансовий рік становить 365 днів, то у формулі доцільно в знаменнику ставити 365).

Визначення суми нарахованих відсотків і вексельної суми за процентним векселем. За процентним векселем нараховуються відсотки за ставкою, яка зазначається у векселі. Суму нарахованих відсотків можна визначити за формулою:

 

(3.53)

 

де: І - сума нарахованих відсотків;

N - номінал векселя;

С% - відсоткова ставка, що нараховується за векселем;

t_s - кількість днів від початку нарахування відсотку до його погашення.

 

Загальна сума, яку держатель процентного векселя при його погашенні, дорівнює сумі нарахованих відсотків і номіналу, її можна визначити за формулою:

 

(3.54)

 

де: S - сума відсотків і номіналу векселя.

 

Визначення ціни векселя. Ціна векселя визначається за формулою:

 

(3.55)

 

де: Р - ціна векселя;

І - кількість днів від купівлі до погашення векселя;

r - доходність, яку бажав би забезпечити собі інвестор.

 

Визначення суми нарахованих відсотків і суми погашення банківського сертифікату. При погашенні сертифікату інвестор одержить суму нарахованих відсотків, яка визначається за формулою:

 

(3.56)

 

де: N - номінал сертифікату;

t - строк, на який випущено сертифікат.

Визначення суми до погашення за сертифікатом. Загальну суму, яку одержить вкладник при погашенні сертифікату, можна визначити за формулою:

 

(3.57)

 

 

Визначення ціни сертифікату. Ціна сертифікату визначається за формулою:

 

(3.58)

 

де: Р ціна сертифіката;

t - кількість днів з моменту купівлі до погашення сертифікату;

r - доходність, яку бажав би забезпечити собі інвестор.

 

Контрольні завдання

При розв’язанні задач рекомендується користуватися додатками А-Е.

Завдання 1.

До банку покладено суму 50200 грн. терміном на 3 роки за річною ставкою 17% річних. Знайти нарощену суму, величину отриманого відсотка й ефективну ставку за умови нарахування відсотків кожні півроку.

Завдання 2.

Підприємству надані в кредит 60 000 грн. на 4 місяці з 1.03. цього року за ставкою 14 % річних. Необхідно визначити суму кредиту до погашення, якщо нарахування здійснюється з використанням з використанням англійської, німецької та французької методик нарахування відсотків.

 

Завдання 3.

Фінансовому менеджерові необхідно прийняти рішення: яку суму капіталу необхідно внести зараз, щоб через 5 років одержати 500 тис.грн. при ставці банківського відсотка - 18%. Скільки він повинний внести, щоб за цей час одержати 1 млн. грн. при ставці банківського відсотка 22% річних? (Відсоток складний).

Завдання 4.

До банку вкладено на терміновий ощадний рахунок 25 тис.грн. на 4 роки за складною ставкою 12% річних з подальшою пролонгацією на наступні 3 роки за простою ставкою 7% річних. Знайти нарощену суму після закінчення всього періоду вкладення грошей.

Завдання 5.

На вклад до банку в розмірі 10 000 грн. строком на 4 років банк нараховує 18% річних. Яка сума буде на рахунку в кінці строку, якщо нарахування відсотків здійснюється за схемою складних відсотків: а) щопівроку; б) щоквартально?

Завдання 6.

Знайти суму, яка буде на рахунку підприємства за два роки при безперервному нарахуванні відсотків на 500 грн. за ставкою 6% річних. r_еф = 15%, нарахування проводяться раз у півроку. Визначити еквівалентний простий відсоток.

 

Завдання 7.

Знайти річну ефективну відсоткову ставку, еквівалентну номінальній ставці 16 % при щомісячному нарахуванні відсотків.

Завдання 8.

Підприємство розмістило в банк 40 тис.грн. під піврічне нарахування складних відсотків 14%, через півроку керівництво зняло з рахунку 18 тис.грн., а через 3 роки закрило рахунок. Яку суму отримає підприємство при закритті рахунку.

 

Завдання 9.

Нехай 50000 грн. інвестовані на 39 місяців під складні відсотки за ставкою 27% річних. Знайти нарощену до кінця строку суму: а) за схемою складних відсотків; б) за змішаною схемою.

Завдання 10.

Визначити поточну вартість облігації з нульовим купоном номінальною вартістю 6 000 і строком погашення 10 років, якщо прийнята норма прибутку складає 14%.

 

Завдання 11.

За який строк вклад в 10 000 грн. збільшиться в 4 рази при ставці 21% річних?

Завдання 12.

Є два варіанти вкладення коштів для підприємства: в дол. США на півтора року в банк А під 4 % з щомісячним нарахуванням складних відсотків або в банк Б на гривневий депозит під 12% з піврічним нарахуванням відсотків. Курс купівлі долара на початок терміну 24,1 грн., а очікуваний курс продажу через півтора року – 24,8 грн.

 

Завдання13.

Підприємством були інвестовані кошти на 5 років. В кінці першого року воно одержало 100 000 грн., в кінці другого – 200 000 грн., третього – 300 000 грн.; четвертого – 400 000 грн., п'ятого – 300 000 грн. та інвестувало суму кожного платежу під 21% річних до закінчення цього п'ятирічного періоду. Визначити майбутню вартість потоку платежів.

Завдання 14.

В кінці кожного року робиться внесок на депозит в сумі 1 000 грн. на умовах 16 % річних при щорічному нарахуванні відсотків. Яка сума буде на рахунку через 10 років?

Завдання15.

До банку вкладено на ощадний рахунок до запитання 24 тис.грн. на 5 років. При цьому перші 3 роки нарахування відсотків йде за простою ставкою в розмірі 12% річних, 4-й рік – за ставкою 6% річних, а 5-й рік - 4%. Знайти нарощену суму після закінчення 5 років.

Завдання 16.

В кінці кожного року робиться внесок на депозит в сумі 2 000 грн. на умовах 9% річних при щорічному нарахуванні відсотків протягом 12 років. Визначити приведену вартість ануїтету.

Завдання17.

Підприємство бажає накопичити на депозитному рахунку 800 тис.грн., здійснюючи вкінці кожного року внески під 10%річних, що нараховуються за схемою складних відсотків. Який внесок має бути, щоб отримати цю суму через років.

 

Завдання 18.

Розрахувати поточну ціну безстрокового цінного паперу, якщо річний дохід, що сплачується, складає 200 грн., а ринкова доходність - 18%.

 

Завдання 19.

Підприємство бажає подвоїти 10 000 грн. через 3 роки. Яка доходність цієї операції?

Завдання20.

Знайти вартість кредиту, вираженого річною відсотковою ставкою, якщо основна сума кредиту 30 000 грн., а сума при погашенні – 70 000 грн. Кредит виданий на 2 роки.

 

Завдання21.

Підприємство розміщує облігаційну позику на суму 300 тис.грн. терміном на 10 років. Ставка купонної прибутковості – 5% річних. Через рік підприємство починає формувати фонд для погашення облігацій, відкладаючи кошти на рахунок у банк під 22% річних. Яку суму воно повинне перераховувати щорічно, щоб погасити облігації своєчасно?

Завдання22.

Знайти доходність інвестицій, виражену річною відсотковою ставкою та ефективну доходність операції, основна і нарощена суми яких складають 18 000 грн. і 16000 грн. відповідно. Термін інвестування 3 місяці. Фінансовий рік дорівнює 360 днів.

Завдання23.

Облігація номіналом 1000 грн. з щорічним нарахуванням відсотків і купонною ставкою 12 % річних буде погашена через 6 років. Взначити поточну та кінцеву дохідність, якщо ціна її придбання 860 грн.

Завдання 24.

Номінальна ставка відсотку дорівнює 12 % річних, темп інфляції 6%. Визначити реальну ставку відсотку.

Завдання 25.

Облігація номіналом 1000 грн. з піврічним нарахуванням відсотків і купонною ставкою 16 % річних буде погашена через 6 років. Яка її поточна ціна, якщо ринкова норма прибутку 12 %?

 

Завдання 26.

Доходи та дивіденди на звичайні акції фірми щорічно зростали на 4 %. Найближчими роками сподіваються на збереження цих темпів приросту. Останній річний дивіденд становив 2,7 грн. на акцію. Визначити доцільність придбання звичайної акції фірми за ціною 20 грн., якщо ставка доходу за депозитом - 14 %.

Завдання 27.

Через 1 рік власник векселя, виданого комерційним банком, повинний одержати за ним 120 тис. грн. Яка сума була внесена до банку у момент придбання векселя, якщо прибутковість векселя повинна скласти 12% річних? Визначити величину знижки на вексель строком 35 днів, якщо ставка дисконту дорівнює 15 %.

Завдання 28.

Визначити ставку дисконту, якщо номінал векселя - 10000 грн.. дисконт векселя - 250 грн. До погашення залишилось 90 днів.

Завдання 29.

Яку суму отримає власник векселя, якщо номінало 30000 грн. і строком погашення через 25 місяців, якщо він при його видачі здійснює облік за ставкою дисконту - 20 %, нарахування щоквартальне.

Завдання 30.

Номінал векселя дорівнює 3 500 грн., за векселем нараховуються 20% річних, з початку нарахування відсотків до моменту пред'явлення векселя до оплати пройшло 40 днів. Визначити суму нарахованих відсотків.

Завдання 31.

Сертифікат номіналом 5700 грн. з купоном 30% був випущений на 70 днів. Визначити суму нарахованих відсотків, які будуть сплачені при погашенні.

Завдання 32.

Депозитний сертифікат, номінал якого 150 тис.грн., термін обігу – 45 днів, придбаний на ринку за ціною 151,75 тис.грн. за 15 днів до погашення. Визначити суму, яку отримає власник сертифіката при погашенні, а також очікувану доходність r, якщо процентна ставка по сертифікату становить 15% річних.

Рекомендована література

Основна література

[2,8,10,15,17,19,20,21,22,23,24,25]

Додаткова література

[2,7,8,27,28,33]

Практичне заняття № 3