Деформации рассматриваемого тела (элементов конструкции) возникают от приложения внешней силы. При этом изменяются расстояния между частицами тела, что в свою очередь приводит к изменению сил взаимного притяжения между ними. Отсюда, как следствие, возникают внутренние усилия. При этом внутренние усилия определяются универсальным методом сечений (или метод разреза).
Известно, что различают силы внешние и силы внутренние. Внешние усилия (нагрузки) – это количественная мера взаимодействия двух различных тел. К ним относятся и реакции в связях. Внутренние усилия – это количественная мера взаимодействия двух частей одного тела, расположенных по разные стороны сечения и вызванные действием внешних усилий. Внутренние усилия возникают непосредственно в деформируемом теле.
На рис.1 приведена расчетная схема бруса с произвольной комбинацией внешней нагрузки образующую равновесную систему сил:
| (1) |
Сверху вниз: упругое тело, левая отсеченная часть, правая отсеченная часть
Рис.1. Метод сечений.
При этом, реакции связей определяются из известных уравнений равновесия статики твердого тела:
 
| (2) |
 
| |
 
|
где х0, у0, z0 — базовая система координат осей.
Мысленное разрезание бруса на две части произвольным сечением А (рис.1 a), приводит к условиям равновесия каждой из двух отсеченных частей (рис.1 б,в). Здесь { S’ } и { S" } - внутренние усилия, возникающих соответственно в левой и правой отсеченных частях вследствие действия внешних усилий.
При составлении мысленно отсеченных частей, условие равновесия тела обеспечивается соотношением:
Так как исходная система внешних сил (1) эквивалентна нулю, получаем:
{ S ’} = – { S ”} (3)
Это условие соответствует четвертой аксиоме статики о равенстве сил действия и противодействия.
Используя общую методологию теоремы Пуансо о приведении произвольной системы сил к заданному центру и выбрав за полюс приведения центр масс, сечения А', точку С', систему внутренних усилий для левой части { S’ } сводим к главному вектору 
и главному моменту 
внутренних усилий. Аналогично делается для правой отсеченной части, где положение центра масс сечения А”; определяется, соответственно, точкой С " (рис.1 б,в).
| { S’ } ~ { R ’, L ’0}; { S" } ~ { R”, L” 0}, | (4) |
Здесь в соответствие с четвертой аксиомой статики по-прежнему имеют место следующие соотношения:
| R’ = – R” | (5) |
| L’0 = – L”0 |
Таким образом главный вектор и главный момент системы внутренних усилий, возникающие в левой, условно отсеченной части бруса, равны по величине и противоположны по направлению главному вектору и главному моменту системы внутренних усилий, возникающих в правой условно отсеченной части.
График (эпюра) распределения численных значений главного вектора и главного момента вдоль продольной оси бруса и предопределяют, прежде всего, конкретные вопросы прочности, жесткости и надежности конструкций.
Определим механизм формирования компонент внутренних усилий, которые характеризуют простые виды сопротивлений: растяжение-сжатие, сдвиг, кручение и изгиб.
В центрах масс исследуемых сечений С' или С " зададимся соответственно левой (с', х', у', z') или правой (с", х", у", z”) системами координатных осей (рис.1 б, в), которые в отличие от базовой системы координат x, у, z будем называть "следящими". Термин обусловлен их функциональным назначением. А именно: отслеживание изменения положения сечения А (рис.1 а) при условном смещении его вдоль продольной оси бруса, например при: 0 
х’1 а, а x’2 b и т.д., где а и b — линейные размеры границ исследуемых участков бруса.
Зададимся положительными направлениями проекций главного вектора или 
и главного момента 
или 
на координатные оси следящей системы (рис.1 б, в):
| {N’, Q’y, Q’z} {M’x, M’y, M’z}
| (6) |
| {N”, Q”y, Q”z} {M”x, M”y, M”z}
|
При этом положительные направления проекций главного вектора и главного момента внутренних усилий на оси следящей системы координат соответствуют правилам статики в теоретической механике: для силы — вдоль положительного направления оси, для момента — против вращения часовой стрелки при наблюдении со стороны конца оси. Они классифицируются следующим образом:
Nx — нормальная сила, признак центрального растяжения или сжатия;
Мx — внутренний крутящий момент, возникает при кручении;
Qz, Qу — поперечные или перерезывающие силы – признак сдвиговых деформаций,
Му, Мz — внутренние изгибающие моменты, соответствуют изгибу.
Соединение левой и правой мысленно отсеченных частей бруса приводит к известному (3) принципу равенства по модулю и противоположной направленности всех одноименных компонент внутренних усилий, а условие равновесии бруса определяется в виде:
| { P1, P2, P3, …, N ’, N ”, Q ’ y, Q ” y, Q ’ z, Q ” z, M ’ x, M ” x, | |
| M ’ y, M ” y, M ’ z, M ” z, …, Pn-1, Pn } ~ 0 | (7) |
С учетом эквивалентности нулю исходной системы сил (1) имеет место:
| { N ’, N ”, Q ’ y, Q ” y, Q ’ z, Q ” z, М ’ x, M ” x, M ’ y, M ” y, М ’ z, M ” z }~ 0 | (8) |
Как естественное следствие из соотношений 3,4,5 полученное условие является необходимым для того, чтобы одноименные компоненты внутренних усилий попарно образовали подсистемы сил эквивалентные нулю:
| 1. { N ’, N ”} ~ 0 > N ’ = – N ” | (9) |
| 2. { Q ’ y, Q ” y } ~ 0 > Q ’ y = – Q ” y | |
| 3. { Q ’ z, Q ” z } ~ 0 > Q ’ z = – Q ” z | |
| 4. { М ’ x, M ” x } ~ 0 > М ’ x = – M ” x | |
| 5. { M ’ y, M ” y } ~ 0 > M ’ y = – M ” y | |
| 6. { М ’ z, M ” z } ~ 0 > М ’ z = – M ” z |
Общее число внутренних усилий (шесть) в статически определимых задачах совпадает с количеством уравнений равновесия для пространственной системы сил и связано с числом возможных взаимных перемещений одной условно отсеченной части тела по отношению к другой.
Искомые усилия определяются из соответствующих уравнений для любой из отсеченных частей в следящей системе координатных осей. Так, для любой отсеченной части соответствующие уравнения равновесия приобретают вид;
1.  ix = N + P1x + P2x + … + Pkx = 0 > N
| (10) |
| 2. iy = Qy + P1y + P2y + … + Pky = 0 > Qy
| |
| 3. iz = Q + P1z + P2z + … + Pkz = 0 > Qz
| |
4.  x (Pi) = Mx + Mx (Pi) + … + Mx (Pk) = 0 > Mx
| |
| 5. y (Pi) = My + My (Pi) + … + My (Pk) = 0 > My
| |
| 6. z (Pi) = Mz + Mz (Pi) + … + Mz (Pk) = 0 > Mz
|
Здесь для простоты обозначений системы координат с' х' у' z' и с" х" у" т" заменены единой оxуz.
