Растяжение-сжатие, кручение, изгиб

Деформации рассматриваемого тела (элементов конструкции) возникают от приложения внешней силы. При этом изменяются расстояния между частицами тела, что в свою очередь приводит к изменению сил взаимного притяжения между ними. Отсюда, как следствие, возникают внутренние усилия. При этом внутренние усилия определяются универсальным методом сечений (или метод разреза).

Известно, что различают силы внешние и силы внутренние. Внешние усилия (нагрузки) – это количественная мера взаимодействия двух различных тел. К ним относятся и реакции в связях. Внутренние усилия – это количественная мера взаимодействия двух частей одного тела, расположенных по разные стороны сечения и вызванные действием внешних усилий. Внутренние усилия возникают непосредственно в деформируемом теле.

На рис.1 приведена расчетная схема бруса с произвольной комбинацией внешней нагрузки образующую равновесную систему сил:

(1)

Сверху вниз: упругое тело, левая отсеченная часть, правая отсеченная часть
Рис.1. Метод сечений.

При этом, реакции связей определяются из известных уравнений равновесия статики твердого тела:

	(2)

где х₀, у₀, z₀ — базовая система координат осей.

Мысленное разрезание бруса на две части произвольным сечением А (рис.1 a), приводит к условиям равновесия каждой из двух отсеченных частей (рис.1 б,в). Здесь { S’ } и { S" } - внутренние усилия, возникающих соответственно в левой и правой отсеченных частях вследствие действия внешних усилий.

При составлении мысленно отсеченных частей, условие равновесия тела обеспечивается соотношением:

Так как исходная система внешних сил (1) эквивалентна нулю, получаем:

{ S ^’} = – { S ^”} (3)

Это условие соответствует четвертой аксиоме статики о равенстве сил действия и противодействия.

Используя общую методологию теоремы Пуансо о приведении произвольной системы сил к заданному центру и выбрав за полюс приведения центр масс, сечения А^', точку С^', систему внутренних усилий для левой части { S^’ } сводим к главному вектору и главному моменту внутренних усилий. Аналогично делается для правой отсеченной части, где положение центра масс сечения А”; определяется, соответственно, точкой С " (рис.1 б,в).

{ S^’ } ~ { R ^’, L ^’₀}; { S^" } ~ { R^”, L^” ₀},

(4)

Здесь в соответствие с четвертой аксиомой статики по-прежнему имеют место следующие соотношения:

R^’ = – R^”	(5)
L^’₀ = – L^”₀

Таким образом главный вектор и главный момент системы внутренних усилий, возникающие в левой, условно отсеченной части бруса, равны по величине и противоположны по направлению главному вектору и главному моменту системы внутренних усилий, возникающих в правой условно отсеченной части.

График (эпюра) распределения численных значений главного вектора и главного момента вдоль продольной оси бруса и предопределяют, прежде всего, конкретные вопросы прочности, жесткости и надежности конструкций.

Определим механизм формирования компонент внутренних усилий, которые характеризуют простые виды сопротивлений: растяжение-сжатие, сдвиг, кручение и изгиб.

В центрах масс исследуемых сечений С' или С " зададимся соответственно левой (с', х', у', z') или правой (с", х", у", z”) системами координатных осей (рис.1 б, в), которые в отличие от базовой системы координат x, у, z будем называть "следящими". Термин обусловлен их функциональным назначением. А именно: отслеживание изменения положения сечения А (рис.1 а) при условном смещении его вдоль продольной оси бруса, например при: 0 х’₁ а, а x’₂ b и т.д., где а и b — линейные размеры границ исследуемых участков бруса.

Зададимся положительными направлениями проекций главного вектора или и главного момента или на координатные оси следящей системы (рис.1 б, в):

{N^’, Q^’_y, Q^’_z} {M^’_x, M^’_y, M^’_z}	(6)
{N^”, Q^”_y, Q^”_z} {M^”_x, M^”_y, M^”_z}

При этом положительные направления проекций главного вектора и главного момента внутренних усилий на оси следящей системы координат соответствуют правилам статики в теоретической механике: для силы — вдоль положительного направления оси, для момента — против вращения часовой стрелки при наблюдении со стороны конца оси. Они классифицируются следующим образом:

N_x — нормальная сила, признак центрального растяжения или сжатия;

М_x — внутренний крутящий момент, возникает при кручении;

Q_z, Q_у — поперечные или перерезывающие силы – признак сдвиговых деформаций,

М_у, М_z — внутренние изгибающие моменты, соответствуют изгибу.

Соединение левой и правой мысленно отсеченных частей бруса приводит к известному (3) принципу равенства по модулю и противоположной направленности всех одноименных компонент внутренних усилий, а условие равновесии бруса определяется в виде:

{ P₁, P₂, P₃, …, N ^’, N ^”, Q ^’ _y, Q ^” _y, Q ^’ _z, Q ^” _z, M ^’ _x, M ^” _x,
M ^’ _y, M ^” _y, M ^’ _z, M ^” _z, …, P_n-1, P_n } ~ 0	(7)

С учетом эквивалентности нулю исходной системы сил (1) имеет место:

{ N ^’, N ^”, Q ^’ _y, Q ^” _y, Q ^’ _z, Q ^” _z, М ^’ _x, M ^” _x, M ^’ _y, M ^” _y, М ^’ _z, M ^” _z }~ 0

(8)

Как естественное следствие из соотношений 3,4,5 полученное условие является необходимым для того, чтобы одноименные компоненты внутренних усилий попарно образовали подсистемы сил эквивалентные нулю:

1. { N ^’, N ^”} ~ 0 > N ^’ = – N ^”	(9)
2. { Q ^’ _y, Q ^” _y } ~ 0 > Q ^’ _y = – Q ^” _y
3. { Q ^’ _z, Q ^” _z } ~ 0 > Q ^’ _z = – Q ^” _z
4. { М ^’ _x, M ^” _x } ~ 0 > М ^’ _x = – M ^” _x
5. { M ^’ _y, M ^” _y } ~ 0 > M ^’ _y = – M ^” _y
6. { М ^’ _z, M ^” _z } ~ 0 > М ^’ _z = – M ^” _z

Общее число внутренних усилий (шесть) в статически определимых задачах совпадает с количеством уравнений равновесия для пространственной системы сил и связано с числом возможных взаимных перемещений одной условно отсеченной части тела по отношению к другой.

Искомые усилия определяются из соответствующих уравнений для любой из отсеченных частей в следящей системе координатных осей. Так, для любой отсеченной части соответствующие уравнения равновесия приобретают вид;

1. _ix = N + P_1x + P_2x + … + P_kx = 0 > N	(10)
2. _iy = Q_y + P_1y + P_2y + … + P_ky = 0 > Q_y
3. _iz = Q + P_1z + P_2z + … + P_kz = 0 > Q_z
4. _x (P_i) = M_x + M_x (P_i) + … + M_x (P_k) = 0 > M_x
5. _y (P_i) = M_y + M_y (P_i) + … + M_y (P_k) = 0 > M_y
6. _z (P_i) = M_z + M_z (P_i) + … + M_z (P_k) = 0 > M_z

Здесь для простоты обозначений системы координат с' х' у' z' и с" х" у" т" заменены единой оxуz.