Випадкові процеси і часові ряди

Потужним математичним апаратом дослідження зміни соціально-економічних показників у їхній динаміці нині є теорія випадкових (стохастичних) процесів.

Випадковий процес описуються деякою функцією від часу, значення якої в будь -які моменти часу є випадковими величинами.

Реалізацією випадкового процесу називають послідовність результатів спостережень певного економічного процесу в моменти часу .

Динамічним, або часовим рядом (time series) називається послідовність спостережень , одержаних у рівновіддалені моменти часу, а відповідну йому ймовірнісну модель – дискретним випадковим або однофакторним стохастичним процесом.

(Для аналізу часового ряду порядок у послідовності є суттєвим, тобто час виступає одним із визначальних чинників. Це відрізняє часовий ряд від звичайної випадкової вибірки, де індекси вводять лише для зручності ідентифікації. Принциповою відмінністю часового ряду від простих статистичних сукупностей є:

· по-перше, рівні часового ряду не є незалежними: якщо майбутні значення змінної можна визначити, то вони є функцією від минулих значень цієї змінної;

· рівні часового ряду неоднаково розподілен, закон розподілу ймовірностей цих випадкових величин і, зокрема, їхні математичні сподівання та дисперсії, можуть залежати від часу.

Отже, не можна поширювати властивості та правила статистичного аналізувипадкових вибіркових спостережень на часові ряди.)

Нехай для деякого економічного показника є послідовність значень в різні моменти часу: …, y_t_-_k, …, y_t_-2, y_t_-1, y_t, y_t_+1, …, y_t₊_k, …

Лагові змінні – це змінні, вплив яких на залежну змінну характеризується певним запізненням.

Моделі із розподіленими лагами: в якості лагових змінних використовуються лише пояснюючі змінні

Авторегресійні моделі: в якості лагових змінних використовуються залежна змінна

Детерміновані часові ряди – значення спостережень цих рядів точно визначаються деякою математичною функцією, а сама функція є реалізацією досліджуваного процесу.

Випадкові часові ряди – спостереження таких рядів описуються за допомогою функції розподілу ймовірностей.

Стаціонарний процес – це особливий випадковий процес, основні властивості якого є незмінними у часі:

- автоковаріація (коваріація між значеннями і ) залежить від величини лагу

- сталий коефіцієнт автокореляції

«Білий шум» - випадкова послідовність значень , із такими властивостями: математичне сподівання , а її елементи є некорельованими зі сталою дисперсією.