Правило сложения и правило умножения комбинаций

Данные правила весьма напоминают алгебру событий, и многие читатели уже ознакомились с пунктом №4 справочного материала Основные формулы комбинаторики, где они изложены в общем виде. Постараюсь повторить принципы максимально кратко:

Правило сложения комбинаций

1) Знак «плюс» следует понимать и читать как союз ИЛИ. Вспоминаем демонстрационную задачу с яблоком, грушей и бананом:

+ + = 3 + 3 + 1 = 7 способами можно выбрать хотя бы один фрукт.

То есть, можно взять 1 фрукт (любой из 3-х) ИЛИ какое-нибудь сочетание 2-х фруктов ИЛИ все три фрукта. Заметьте, что сложение комбинаций предполагает безразличие выбора (без разницы будет ли выбран один, два или 3 фрукта).

Рассмотрим более основательный пример:

Задача 7

Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать 2-х человек одного пола?

Решение: в данном случае не годится подсчёт количества сочетаний , поскольку множество комбинаций из 2-х человек включает в себя и разнополые пары.

Условие «выбрать 2-х человек одного пола» подразумевает, что необходимо выбрать двух юношей или двух девушек, и уже сама словесная формулировка указывает на верный путь решения:

способами можно выбрать 2-х юношей;

способами можно выбрать 2-х девушек.

Таким образом, двух человек одного пола (без разницы – юношей или девушек) можно выбрать:

способами.

Ответ: 123 способа

Правило умножения комбинаций:

2) Знак «умножить» следует понимать и читать как союз И.

Рассмотрим ту же студенческую группу, которая пошла на танцы. Сколькими способами можно составить пару из юноши и девушки?

способами можно выбрать 1 юношу;

способами можно выбрать 1 девушку.

Таким образом, 1-го юношу и 1 девушку можно выбрать: × = 10 × 13 = 130 способами.

Когда из каждого множества выбирается по 1-му объекту, то справедлив следующий принцип подсчёта комбинаций: «каждый объект из одного множества может составить пару с каждым объектом другого множества».

То есть, Олег может пригласить на танец любую из 13-ти девушек, Евгений – тоже любую из 13-ти девушек, и аналогичный выбор есть у остальных молодых людей. Итого: 10 × 13 = 130 возможных пар.

Следует отметить, что в данном примере не имеет значения упорядоченность пары; однако если принять во внимание инициативу, то количество комбинаций нужно удвоить, поскольку каждая из 13-ти девушек тоже может пригласить на танец любого из 10-ти юношей. Всё зависит от условия той или иной задачи!

Похожий принцип справедлив и для более сложных комбинаций, например: сколькими способами можно выбрать 2-х юношей и 2-х девушек для участия в сценке КВН?

Союз И недвусмысленно намекает, что комбинации необходимо перемножить: возможных групп артистов.

Иными словами, каждая пара юношей (45 уникальных пар) может выступать с любой парой девушек (78 уникальных пар). А если рассмотреть распределение ролей между участниками, то комбинаций будет ещё больше. …

Правило умножения комбинаций распространяется и на б о льшее количество множителей.

Задача 8

Сколько существует трёхзначных чисел, которые делятся на 5?

Решение: для наглядности обозначим данное число тремя звёздочками: ***

Комбинации будем считать по разрядам – слева направо:

В разряд сотен можно записать любую из цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9). Ноль не годится, так как в этом случае число перестаёт быть трёхзначным.

А вот в разряд десятков («посерединке») можно выбрать любую из 10-ти цифр: .

По условию, число должно делиться на 5. Число делится на 5, если оно заканчивается на 5 либо на 0. Таким образом, в младшем разряде нас устраивают 2 цифры.

Итого, существует: × × 2 = 9 × 10 × 2 = 180 трёхзначных чисел, которые делятся на 5.

При этом произведение × × 2 расшифровывается так: «9 способами можно выбрать цифру в разряд сотен и 10 способами выбрать цифру в разряд десятков и 2 способами в разряд единиц»

Или ещё проще: «каждая из 9-ти цифр в разряде сотен комбинируется с каждой из 10-ти цифр разряда десятков и с каждой из двух цифр в разряде единиц».

Ответ: 180 трехзначных чисел, которые делятся на 5.

А теперь…об обещанном комментарии к задаче №5, в которой Боре, Диме и Володе можно сдать по одной карте способами. Умножение здесь имеет тот же смысл: способами можно извлечь 3 карты из колоды И в каждой выборке переставить их способами.

А теперь задача для самостоятельного решения… сейчас придумаю что-нибудь поинтереснее, …пусть будет про ту же русскую версию блэкджека:

Задача 9

Сколько существует выигрышных комбинаций из 2-х карт при игре в «очко»?

Для тех, кто не знает: выигрывает комбинация 10 + ТУЗ (11 очков) = 21 очко и, давайте будем считать выигрышной комбинацию из 2-х тузов (порядок карт в любой паре не имеет значения).

Краткое решение и ответ в конце урока.

Кстати, не надо считать пример примитивным. Блэкджек – это чуть ли не единственная игра, для которой существует математически обоснованный алгоритм, позволяющий выигрывать у казино. Желающие могут легко найти массу информации об оптимальной стратегии и тактике. Правда, такие мастера довольно быстро попадают в чёрный список всех заведений.

Пришло время закрепить пройденный материал парой солидных задач:

Задача 10

У Васи дома живут 4 кота.

а) сколькими способами можно рассадить котов по углам комнаты?
б) сколькими способами можно отпустить гулять котов?
в) сколькими способами Вася может взять на руки 2-х котов (одного на левую, другого – на правую)?

Решаем: во-первых, вновь следует обратить внимание на то, что в задаче речь идёт о разных объектах (даже если коты – однояйцовые близнецы). Это очень важное условие!

а) Наказание животных. Данной экзекуции подвергаются сразу все коты + важно их расположение, поэтому здесь имеют место перестановки: = 1 × 2 × 3 × 4 = 24 способами можно рассадить котов по углам комнаты.

Повторюсь, что при перестановках имеет значение лишь количество различных объектов и их взаимное расположение. В зависимости от настроения Вася может рассадить животных на диване, подоконнике, за столом, под столом и т.д. – перестановок во всех случаях будет 24. Желающие могут для удобства представить, что коты разноцветные (например, белый, чёрный, рыжий и полосатый) и перечислить все возможные комбинации.

б) Сколькими способами можно отпустить гулять котов?

Предполагается, что коты ходят гулять только через дверь, при этом вопрос подразумевает безразличие по поводу количества животных – на прогулку могут выйти 1, 2, 3 или 4 кота.

Считаем все возможные комбинации:

= 4 способами можно отпустить гулять одного кота (любого из 4-х);

способами можно отпустить гулять двух котов (варианты перечислите самостоятельно);

= 4 способами можно отпустить гулять трёх котов (какой-то один из 4-х сидит дома);

= 1 способом можно выпустить всех котов.

 

Наверное, вы догадались, что полученные значения следует просуммировать:

+ + + = 4 + 6 + 4 + 1 =15 способами можно отпустить гулять котов.

в) Сколькими способами Вася может взять на руки 2-х котов?

Ситуация предполагает не только выбор 2-х животных, но и их размещение по рукам:

= 4 × 3 = 12 способами можно взять на руки 2-х котов.

Второй вариант решения: =6 способами можно выбрать двух котов и = 2 способами посадить каждую пару на руки: × = 6 × 2 = 12.

Ответ: а) 24, б) 15, в) 12

Ну и для очистки совести что-нибудь поконкретнее на умножение комбинаций…. Пусть у Васи дополнительно живёт 5 кошек. Сколькими способами можно отпустить гулять 2-х котов и одну кошку?

То есть, с каждой парой котов можно выпустить каждую кошку.

Ещё одна задача для самостоятельного решения:

Задача 11

В лифт 12-этажного дома сели 3 пассажира. Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со 2-го) этаже. Сколькими способами:

1) пассажиры могут выйти на одном и том же этаже (порядок выхода не имеет значения);
2) люди могут выйти на разных этажах;
3) пассажиры могут выйти из лифта?

ДУМАЙТЕ, используйте формулы и правила сложения/умножения комбинаций. В случае затруднений пассажирам полезно дать имена и порассуждать, в каких комбинациях они могут выйти из лифта.

Полное решение с подробными комментариями в конце урока.

Рассмотренные нами комбинации могут быть с повторениями элементов. Но при решении вероятностных задач мы затрагивать эту ситуацию не будем, поэтому теоретические положения по этим комбинаторным ситуациям рассматривать не будем.

Всем спасибо за активное участие и до скорых встреч!

Решения и ответы:

Задача 2: Сколько четырёхзначных чисел можно составить из четырёх карточек с цифрами 0, 5, 7, 9?

Решение: найдём количество всех возможных перестановок 4-х карточек: = 24.
Когда карточка с нулём располагается на 1-м месте, то число становится трёхзначным, поэтому данные комбинации следует исключить. Пусть ноль находится на 1-м месте, тогда оставшиеся 3 цифры в младших разрядах можно переставить = 3! = 6 способами.

Примечание: т.к. карточек немного, то здесь несложно перечислить все такие варианты:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

Таким образом, из предложенного набора можно составить:
24 – 6 = 18 четырёхзначных чисел
Ответ: 18

 

Задача 4: Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?

Решение: способами можно выбрать 3 карты из 36-ти.
Ответ: 7140

 

Задача 6: В студенческой группе 23 человека. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя?

Решение: = 23 × 22 = 506 способами.
Другой вариант решения: способами можно выбрать 2-х человек из группы и = 2! = 2 способами распределить должности в каждой выборке. Таким образом, старосту и его заместителя можно выбрать × = = 23 × 22 = 506 способами.
Ответ: 506

Задача 9: Сколько существует выигрышных комбинаций из 2-х карт при игре в «очко»?

Выигрывает комбинация 10 + ТУЗ (11 очков) = 21 очко и, давайте будем считать выигрышной комбинацию из 2-х тузов (порядок карт в любой паре не имеет значения).

Решение: × = 4 × 4 = 16 способами может быть сдана десятка и туз («каждая десятка с каждым тузом»);

= способами может быть сдана пара тузов.
Итого: × + = 16 + 6 = 22 выигрышные комбинации.
Ответ: 22

 

Задача 11: В лифт 12-этажного дома сели 3 пассажира. Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со 2-го) этаже. Сколькими способами:

1) все пассажиры могут выйти на одном и том же этаже (порядок выхода не имеет значения);
2) люди могут выйти на разных этажах;
3) пассажиры могут выйти из лифта?

Решение:
1) = 11 способами можно выбрать этаж для выхода всех пассажиров.

2) = 11 × 10 × 9 = 990 способами пассажиры могут выйти на разных этажах.
Второй вариант решения: способами можно выбрать 3 этажа для выхода и = 3! = 6 способами переставить пассажиров по каждой тройке этажей; следовательно, пассажиры могут выйти на разных этажах × = 165 × 6 = 990 способами.

3) Рассуждения таковы: = 11 способами может выйти 1-й пассажир из лифта и = 11 способами может выйти 2-й пассажир и = 11 способами может выйти 3-й пассажир. По правилу умножения комбинаций: × × = 11 × 11 × 11 = 1331 способом могут выйти три человека

Ответ: 1) 11; 2) 990; 3) 1331