Основное уравнение динамики вращающегося тела

План урока №26

Тема урока: Система материальных точек. Внешние и внутренние силы системы. Основное уравнение динамики

Цель урока: Изучить систему материальных точек. Внешние и внутренние силы системы. Основное уравнение динамики

Оборудование: Компьютер, плакаты

Место проведения: Аудитория №55

Порядок проведения

1.Организационный момент

2.Изложение нового материала

3.Закрепление материала

4.Подведение итогов

Ход урока

Основы динамики системы материальных точек

Совокупность материальных точек, связанных между собой силами взаимодействия, называется механической системой.

 

Любое материальное тело в механике рассматривается как меха­ническая система, образуемая совокупностью материальных точек.

Из определения механической системы следует, что движение каждой из точек, входящих в систему, зависит от движения осталь­ныхточек.

Силы, действующие на точки системы, делятся на внешние и внутренние.

Силы взаимодействия между точками этой системы называют внутренними.

К внешним силам относятся силы, действу­ющие со стороны точек, не входящих в эту систему.

Примерами внешних сил являются сила тяжести, сила давления, сила трения и др.

К внутренним силам относятся силы упругости.

Движение механической системы зависит не только от внешних сил, но и от суммарной массы системы

масса отдельных точек механической системы.

Движение системы зависит и от положения центра масс систе­мы — условной точки, в которой сосредоточена вся масса тела. Обыч­но считают, что в центре масс приложены все внешние силы.

Движение центра масс определяет движение всей системы толь­ко при поступательном движении, при котором все точки тела дви­жутся одинаково.

Основное уравнение динамики при поступательном движении тела

Для определения движения тела (системы материальных точек) можно использовать второй закон динамики

где т — суммарная масса тела; а_с — ускорение центра масс тела.

В поле земного притяжения центр масс совпадает с центром тяжести.

Основное уравнение динамики вращающегося тела

Пусть твердое тело под действием внешних сил вращается во­круг оси Oz с угловой скоростью ω (рис. 17.3).

Рассматривая твердое тело как механическую систему, разобьем ее на множество материальных точек с массами Δm_k. Каждая точ­ка движется по окружности радиуса r_k c касательным ускорением а_k^t = εr_k и нормальным ускорением

где ε — угловое уско­рение.

Используем для каждой точки принцип Даламбера и приложим силы инерции:

Система сил, действующих на точку, по принципу Даламбера, находится в равновесии.

Поэтому алгебраическая сумма моментов относительно оси вра­щения должна быть равна нулю:

где Mz — момент внешних сил.

Моменты нормальных сил инерции F_инkⁿ равны нулю, т. к. силы пересекают ось z. Силы, направленные по касательной к окружно­сти, равны

где ε — общая величина, угловое ускорение тела.

Подставив значение силы в формулу для определения моментов, получим

называется моментом инерции тела относи­тельно оси вращения и обозначается

В результате получим выраже­ние основного уравнения динамики вращающего тела:

где Mz — сумма моментов внешних сил относительно оси; ε — угло­вое ускорение тела.

 

Момент инерции тела в этом выражении определяет меру инертности тела при вращении.

По выражению для момента инерции можно определить, что единица измерения этой величины в системе СИ [Jz\ = [тг2] = кг-м2.

Видно, что значение момента инерции зависит от распределе­ния массы относительно оси вращения: при одинаковой массе момент инерции больше, если основная часть массы расположена дальше от оси вращения. Для увеличения момента инерции используют колеса со спицами и отверстиями.

Моменты инерции некоторых тел

Момент инерции сплошного цилиндра (рис. 17.4)

Момент инерции полого тонкостенного цилиндра (рис. 17.5)

Момент инерции прямого тонкого стержня любого поперечного сечения

Момент инерции прямого тонкого стержня любого поперечного сечения

 

 

Момент инерции шара (рис. 17.7)