, , , ( ) . , ; () ( - ), ..
. , .
, , , .
( ) () () .
3 :
1) (, 16); , ( , , );
2) , () Xi fi ; ;
3) , () Xi , (), ().
1. . () , , , , , 3, 709 .
, , ( ) ( , ), . , N. n/N . , .. , . .
|
|
n/N = 0,05 5%, n = 0,05*709 = 35 709. 35 ( 16).
16. () 35 , ..
24,16 | 54,12 | 65,31 | |||
27,06 | 54,91 | 69,24 | |||
29,12 | 55,74 | 71,39 | |||
31,17 | 55,91 | 77,12 | |||
37,08 | 56,07 | 79,12 | |||
39,11 | 56,80 | 84,34 | |||
41,58 | 56,93 | 86,89 | |||
44,84 | 57,07 | 91,74 | |||
46,80 | 58,39 | 96,01 | |||
48,37 | 59,61 | 106,84 | |||
51,44 | 59,95 | 111,16 | |||
52,56 | 62,05 | 2100,00 |
, (, - d) , , . ( / ) ().
(10), X , N n:
= = 2100/35 = 60 (..)
( 4- ) (46):
= = 445,778 (..2)
(32)[13]:
= t , (32)
t , , ; , (33), (34):
= , (33) = , (34)
n ; N .
, , (34), : = = 3,48 (..).
P t [14], ( 30 ), 17:
17.
P | 0,683 | 0,866 | 0,950 | 0,954 | 0,988 | 0,997 | 0,999 |
t | 1,5 | 1,96 | 2,5 | 3,5 |
, , . P = 0,950 (t = 1,96), , 5 100 .
(32): = 1,96*3,48 = 6,82 (..).
(35) , (36) - :
|
|
( ) ( + )(35)
( ) d ( + )(36)
(35):
= 60 6,82 53,18 66,82 (..), 709 0,95 53,18 .. 66,18 ..
2. . , ( ) () . , , [15]. , , . , ; , .
(37) (38):
(37) ,(38)
k ( ); N .
, (N).
, () [16] (39):
,(39)
Xax Xmin .
(37) :
k = 1 + 3,322 lg 35 = 1+ 3,322*1,544 = 6,129 ≈ 6.
() (39):
h = (111,16 24,16)/6 = 87/6 = 14,5 (..).
6 14,5 .. (. 3 . 18).
18. , ..
i | Xi | fi | i | i fi | . fi | | i - | fi | (i - ) 2 fi | (i - ) 3 fi | (i - ) 4 fi |
24,16 38,66 | 31,41 | 157,05 | 147,071 | 4326,001 | -127246,23 | 3742856,97 | |||
38,66 53,16 | 45,91 | 321,37 | 104,400 | 1557,051 | -23222,31 | 346344,16 | |||
53,16 67,66 | 60,41 | 785,33 | 5,386 | 2,231 | -0,92 | 0,38 | |||
67,66 82,16 | 74,91 | 299,64 | 56,343 | 793,629 | 11178,84 | 157461,90 | |||
82,16 96,66 | 89,41 | 357,64 | 114,343 | 3268,572 | 93434,47 | 2670891,13 | |||
96,66 111,16 | 103,91 | 207,82 | 86,171 | 3712,758 | 159966,81 | 6892284,32 | |||
2128,85 | 513,714 | 13660,243 | 114110,66 | 13809838,86 |
. , , , , , . . 8. [17].
. 8. . 9.
. 18 . 8 : , ( ) . , , , .
|
|
( 18 4- ), (. . 9)[18], Xi fi.
3. . , , . , , , [19]. (. 16) 18- 35 56,8 .. : . 35- 10 , . , , , . :
, (40)
;
X0 , ;
h () ;
, ;
fMe .
. 18 35 , .. 18- . (6- ), . (40):
(..).
, 4 , Q . , Q2 . . 18:
(..)
(..)
Q2 = = 59,30 .., , (15,87) , (12,89). , . 8.
, 5 , , 10 , 100 . [20].
, , . . . . 2 ( , ) , . , , . . , ( , ) . . , , . (41):
|
|
, (41)
;
0 ;
fMo ;
fMo-1 ;
fMo+1 ;
h .
. 18 (41):
(..).
, . X ( 5- . 18) (11):
= = 2128,85/35 = 60,82 (..).
(60,82), (59,30) (58,96) . , , .
4. . (42):
. (42)
, . . ( ). , . , 35. . , , (43):
. (43)
. 18 ( 7- . 18), .. (44):
(..).(44)
, 14,678 ..
, : - , , , , () s (45) (46) :
; (45) . (46)
. 18 (46) ( 8- . 18):
(..).
. , , , . . : , .. .
, , (47) ( ) (48) ( ):
; (47) . (48)
, , , (), .. , (49):
. (49)
(49): (..).
, , , . : . /q = 1,021, .
|
|
, , , , (50) (53):
: ; (50)
: ; (51)
: ; (52)
: .(53)
:
= 87/60,82 =1,43, 143%; = 14,678/60,82 = 0,241, 24,1%;
= 19,756/60,82 = 0,32, 32%; d = 14,38/60,82 = 0,236, 23,6%.
, , [21]. , , < 25%, 25% < < 50% > 50%.
, , - (, 33%), [22].
5. . . , , (. 19) ( ).
19.
μ1 | ||
μ2 | ||
μ3 | ||
μ4 |
μ3 , , . , , (54):
. (54)
(54) ( 9- . 18):
= 0,423 > 0, .. .
. (55):
. (55)
. 18 (55) : = 0,09.
(55) , (54) . , , , (. 9). . 10.
As > 0 |
As < 0 |
. 10.
( . ). (56):
. (56)
, . : , . , , , . , , , ( σ) . , . . 11.
Ex < 0 |
Ex = 0 |
Ex > 0 |
. 11.
. .
(56) ( 10- . 18): , .. , .
: , .. . (57) (58):
; (57) . (58)
(57) (58):
(As = |0,423| < 0,4*2; Ex = |0,41| < 0,78*2), .
6. . , , , , . . .
, , . (59):
(59)
X ;
;
σ ;
;
π = 3,1415 ( );
e = 2,7182 .
, . , .
, σ, σ, , σ, (. . 12).
X |
f(X) |
X |
σ3 |
σ2 |
σ1 |
= const σ1 < σ2 < σ3 |
. 12. σ
f(X) |
< < |
σ = const |
. 13.
, :
1) , = = ;
2) , ( X , );
3) σ ;
4) .
, , - . , () () .
. , , .[23] , , , , , .
(60,82), (59,30) (58,96) .
.
:
1) σ;
2) ( σ) :
;(60)
3) (59) φ (t)[24];
4) m :
,(61)
N , hi () i - .
. 18, 20. (); t 5- 20, φ (t) 8- ( 6- 7- (59)); .
20.
i | Xi | fi | i | φ (t) | mi | |||
24,16 38,66 | 31,41 | -1,4889 | -1,1084 | 0,3301 | 0,0067 | 3,383 | ||
38,66 53,16 | 45,91 | -0,7549 | -0,2850 | 0,7520 | 0,0152 | 7,707 | ||
53,16 67,66 | 60,41 | -0,0210 | -0,0002 | 0,9998 | 0,0202 | 10,246 | ||
67,66 82,16 | 74,91 | 0,7130 | -0,2542 | 0,7756 | 0,0157 | 7,948 | ||
82,16 96,66 | 89,41 | 1,4470 | -1,0468 | 0,3510 | 0,0071 | 3,598 | ||
96,66 111,16 | 103,91 | 2,1809 | -2,3782 | 0,0927 | 0,0019 | 0,950 | ||
33,832 |
f ( ) m ( ) , . 20 (. 14). [25], .
. 14. ()
, , , (), (). , , , .
, χ2, .
χ2 (-) , (62):
, (62)
k ;
fi i - ;
mi .
χ2 , χ2 α ν (. 7).
α , .. (P) , . :
1) α = 0,10, P = 0,90;
2) α = 0,05, P = 0,95 [26];
3) α = 0,01, P = 0,99.
ν :
ν = k z 1,(63)
k ;
z , .
z = 2, () (σ).
χ2 χ2 . , .. χ2<χ2 , , .
χ2 (N >50), 5, .
χ2 21.
21.
i | Xi | fi | mi | fi | mi | |fi mi| | |
24,16 38,66 | 3,383 | 0,773 | 3,383 | 1,617 | |||
38,66 53,16 | 7,707 | 0,065 | 11,090 | 0,910 | |||
53,16 67,66 | 10,246 | 0,740 | 21,336 | 3,664 | |||
67,66 82,16 | 7,948 | 1,961 | 29,284 | 0,284 | |||
82,16 96,66 | 3,598 | 0,045 | 32,882 | 0,118 | |||
96,66 111,16 | 0,950 | 1,160 | 33,832 | 1,168 | |||
33,832 | 4,744 |
(62): χ2 =4,744, ( 7) χ2 =7,8147 α = 0,05 ν= 621=3, 0,95 , , .. , .
χ 2, .. χ 2 ν, (64):
. (64)
, χ 2. < 3, , > 3, , .
(64): = 0,712 < 3, .
λ (D), (65) [27]:
. (65)
λ, P (λ) (. 6) , , . P (λ) 0 1. P (λ) = 1 (.. λ < 0,3) , P (λ) = 0 .
21 , , 3- () D = 3,664. (65): . 6 λ = 0,6: P = 0,86 ( 0,619), .. , 0,86, , , .
, , . ? -, , ( ) . -, . , , - , .
1%- . , (. 22). .
22. ,
1. . 22 , . , , 23.
23. ,
X | f | Xf | (- ) 2 f | m | f | m | |f m| | |
3,022 | 21,7 | 0,244 | 21,7 | 2,3 | ||||
1,665 | 7,7 | 1,778 | 29,4 | 1,4 | ||||
5,413 | 1,4 | 0,257 | 30,8 | 0,8 | ||||
6,997 | 0,2 | 3,200 | ||||||
17,097 | 5,479 |
(11), X , N n: = = 11/31 = 0,355 ().
(46):
= = 0,552 (2).
(33), N : = .
0,95 (32): = 1,96*0,133 = 0,261.
(35): = 0,355 0,261 0,094 0,616 (), , , 0,95 0,094 0,616 1 .
d (.. X =0). (6) : 24/31 = 0,774, 77,4%.
(66) [28] :
= 0,774*(10,774) = 0,175. (66)
(33): = .
0,95 (32): = 1,96*0,075 = 0,147.
(36): d = 0,774 0,147 0,627 d 0,921, , , 0,95 62,7% 92,1%.
2. . () . 15, , .
. 15. ,
3. : = 0, . 23 (f =24).
4. (42) : H = 3 0 = 3, 3 .
(44) :
.
, 0,55.
(46), , 1- : , , .. ( , ).