Тема 4. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем

Взаємозв’язки між економічними показниками досить часто носять нелінійний характер і побудована лінійна модель в такому випадку буде неадекватна реальній дійсності. Нелінійне програмування використовується для задач планування виробництва, управління ресурсами, контролю якості продукції.

В загальному випадку задача нелінійного програмування має вигляд:

(4.1)

де , – нелінійні залежності цільової функції та обмежень.

Для розв’язування задач нелінійного програмування не існує універсального методу, а тому доводиться застосовувати багато методів та обчислювальних алгоритмів, які в основному ґрунтуються на теорії диференціального числення, і вибір їх залежить від конкретної постановки задачі та форми економіко-математичної моделі.

До нелінійних методів знаходження оптимізаційних рішень відносяться: класичний метод оптимізації (за допомогою множників Лагранжа); метод прямого пошуку (градієнтний метод); випукле (квадратичне) програмування; метод Куна-Такера, та ін.

Часто задачу нелінійного програмування намагаються привести до лінійного виду, але заміна функції призводить до значних похибок, що зображено на рис. 4.1.

Рис. 4.1. Приклад випуклої функції.

В точках х₁ та х₃ значення обох функцій співпадають, а в точці х₂ відрізняються значною мірою.

Ми бачимо, що лінеаризація нелінійних процесів не завжди себе виправдовує і в загальному випадку є досить складною математичною задачею.

При розв’язуванні нелінійних задач використовують наближені методи, більшість яких дають змогу знаходити локальні оптимуми, а вже знайшовши всі локальні оптимуми, методом порівняння значень цільової функції у кожній з точок локального оптимуму можна знайти глобальний. Наприклад, на рис. 4.2 маємо на деякому відрізку локальні оптимуми в точках х ₁, х ₂, х ₄, х ₅, х ₆, х ₇, х ₉ та х ₁₀, а глобальні – в точках х ₃ та х ₈. Проте для практичних розрахунків такий метод не завжди ефективний, тому що часто наближені методи не «вловлюють» глобального оптимуму, особливо коли глобальний оптимум лежить досить близько до локального.

 

Рис. 4.2. Приклад нелінійної функції.

У задачах лінійного програмування точка оптимуму завжди була граничною, а в нелінійних вона може бути або граничною, або такою, що міститься всередині допустимої області розв’язків.

 

Питання для підготовки до іспиту

1. Опишіть характерні можливості використання кількісних методів в економічних дослідженнях.

2. Дайте визначення та схематичне зображення кількісних методів.

3. Охарактеризуйте основні складові моделювання соціально-економічних процесів.

4. Наведіть основні визначення дефініцій «модель» та «моделювання».

5.Опишіть основні етапи моделювання та їх характеристики.

6. Елементи, які входять до складу моделі.

7. Визначення основних складових економіко-математичної моделі.

8. Дисципліни, що складають теоретичну основу математичного моделювання. Опишіть їх структуру.

9. Чинники, якими визначається вид і характер економіко-математичної моделі.

10.Ознаки, покладені в основу класифікації економіко-математичної моделі.

11.Опишіть якісні характеристики основних економічних моделей.

12.Дайте схематичну класифікацію математичних моделей.

13.Загальні принципи економіко-математичного моделювання.

14.Охарактеризуйте поняття концептуальної моделі.

15.Для яких цілей будуються моделі?

16.Предметна область економіко-математичного моделювання.

17.Роль функцій і графіків в економічному моделюванні. Поняття функціональної залежності.

18.Способи завдання і дослідження функції. Приклади кожного способу.

19.Алгоритм дослідження функції.

20.Наведіть приклад функції, яка описує залежість величини попиту від доходу.

21.Загальна математична модель задачі лінійного програмування.

22.Допустимий розв’язок задачі лінійного програмування.

23.Область існування планів.

24.Опорний план, оптимальний план.

25.Елементарні моделі задач лінійного програмування.

26.Стандартні форми запису задач лінійного програмування.

27.Які задачі лінійного програмування можна розв’язувати графічним методом?

28.Алгоритм графічного методу розв’язування задач лінійного програмування.

29.Визначення опуклої множини. Обмежена множина, необмежена можина.

30.Визначення внутрішньої та граничної точок множини.

31.Сутність алгоритму графічного методу розв’язування задач лінійного програмування.

32.Канонічна форма задачі лінійного програмування.

33.Типи задач лінійного програмування, які можна розв’язувати симплексним методом.

34.Теорема про критерій оптимальності симплекс-методу.

35.Сутність алгоритму симплексного методу.

36.Задачі лінійного програмування, які розв’язують методом штучного базису. Сутність методу штучного базису.

37.Сучасні інформаційні технології, які використовуються для розв’язування задач лінійного програмування.

38.Сформулюйте правила та послідовність побудови двоїстої задачі.

39.Основні теореми двоїстості.

40.Економічна інтерпретація двоїстих оцінок.

41.Визначення дефіцитності (недефіцитності) ресурсу із використанням двоїстих оцінок.

42.Визначення рентабельність (нерентабельність) продукції із використанням двоїстих оцінок.

43.Визначення та постановка транспортної задачі.

44.Закрита та відкрита транспортна задача. Зведення відкритої транспортної задачі до транспортної задачі закритого типу.

45.Методи побудови початкового опорного плану транспортної задачі.

46.Критерій оптимальності опорного плану транспортної задачі.

47.Цикл перерахунку транспортної задачі. Правила перерозподілу продукції в межах циклу.

48.Економічні задачі, що зводяться до задач транспортного типу. Однопродуктова задача поточного перспективного планування. Математична модель задачі оптимального розподілу фінансових ресурсів банку. Математична модель задачі формування штатного розпису фірми.

49.Постановка задачі цілочисловою математичного програмування.

50.Приклади економічних задач, що належать до класу задач цілочислового лінійного програмування.

51.Методи, що використовують для знаходження оптимального плану цілочислової задачі. Методи відтинання. Комбінаторні методи цілочислової оптимізації.

52.Сформулюйте постановку та побудуйте математичну модель формування оптимальної інвестиційної програми при заданому бюджеті.

53.Загальна математична модель задачі нелінійного програмування.

54.Проблеми, які виникають при розв’язуванні задач нелінійного програмування.

55.Сутність методу Лагранжа розв’язування задач нелінійного програмування. Функція Лагранжа.

56.Необхідні та достатні умови існування сідлової точки для диференційованої функції.

57.Опуклі (увігнуті) функції.

58.Теорема Куна-Таккера.

59.Математична модель задачі квадратичного програмування, особливості її розв’язування.

60.Постановка задачі динамічного програмування.

61.Приклади економічних задач, що розв’язуються методами динамічного програмування.

62.Характерні особливості математичної моделі динамічного програмування.

Характеристика процесу керування в задачах динамічного програмування.

63.Характерні особливості задач динамічного програмування. Постановка задачі динамічного програмування.

64.Визначення принципу оптимальності Белмана

65.Економічний зміст рекурентних співвідношень в задачах динамічного програмування.

66.Опишіть економічну і математичну постановку задачі оптимального розподілу фінансових ресурсів між інвестиційними проектами.

Додаток 1